Reazioni vincolari asta rigida
Buonasera, mi ricapita di dover fare meccanica razionale dopo anni e ho un dubbio riguardo le reazioni vincolari; vi spiego il problema: supponiamo di avere un semplice sistema piano con un'asta di lunghezza L vincolata nel suo estremo A nell'origine degli assi (dunque può solo ruotare).
La cosa certa è che devo usare la II equazione cardinale della dinamica \(\displaystyle \mathbf{\dot{K}} = \mathbf{M^{(e,a)}} + \mathbf{\Psi^{(e,v)}} \) con la quale ottengo l'equazione pura del moto proiettando lungo l'asse z e le reazioni vincolari proiettando lungo l'asse x e y.
So che essendo un vincolo perfetto (cerniera cilindrica), esso sta sul piano (ha componenti solo lungo i e j), ma come trovo il momento di questo vincolo? Supponendo di chiamare \(\displaystyle \mathbf{\Phi} = \Phi_1\mathbf{i} + \Phi_2\mathbf{j}\) il vincolo, come calcolo il momento? O meglio: qual è il vettore posizione per il calcolo del momento? OB e quindi sarebbe \(\displaystyle OB \wedge \mathbf{\Psi} \)?
Spero di essere stato esaustivo nella spiegazione del problema (nel caso avessi ragione: accetto spiegazioni più approfondite del caso
)
La cosa certa è che devo usare la II equazione cardinale della dinamica \(\displaystyle \mathbf{\dot{K}} = \mathbf{M^{(e,a)}} + \mathbf{\Psi^{(e,v)}} \) con la quale ottengo l'equazione pura del moto proiettando lungo l'asse z e le reazioni vincolari proiettando lungo l'asse x e y.
So che essendo un vincolo perfetto (cerniera cilindrica), esso sta sul piano (ha componenti solo lungo i e j), ma come trovo il momento di questo vincolo? Supponendo di chiamare \(\displaystyle \mathbf{\Phi} = \Phi_1\mathbf{i} + \Phi_2\mathbf{j}\) il vincolo, come calcolo il momento? O meglio: qual è il vettore posizione per il calcolo del momento? OB e quindi sarebbe \(\displaystyle OB \wedge \mathbf{\Psi} \)?
Spero di essere stato esaustivo nella spiegazione del problema (nel caso avessi ragione: accetto spiegazioni più approfondite del caso
)
Risposte
Il vincolo non da momento. Solo 2 forze, incognite, lungo x e y.
L'eq. cardinale, riferita al polo di rotazione A assume la forma $[dvecK]/[dt]=vec[M]$, dove $vecM$ e' il momento di tutte le forze esterne applicate al corpo. Nel caso specifico, se l'asta e' su un piano orizzontale, il momento e' nullo. Il che significa che il corpo si muove di velocita angolare costante (al limite nulla, se le condizioni iniziali ci dicono che e' nulla).
La reazione vincolare R si trovano, nell'ipotesi che il corpo stia ruotando con velocita angolare diversa da 0, imponendo $vecR=-omega^2Lvecnu$ dove $vecnu$ e' il versore dal vettore $vec(B-A)$
L'eq. cardinale, riferita al polo di rotazione A assume la forma $[dvecK]/[dt]=vec[M]$, dove $vecM$ e' il momento di tutte le forze esterne applicate al corpo. Nel caso specifico, se l'asta e' su un piano orizzontale, il momento e' nullo. Il che significa che il corpo si muove di velocita angolare costante (al limite nulla, se le condizioni iniziali ci dicono che e' nulla).
La reazione vincolare R si trovano, nell'ipotesi che il corpo stia ruotando con velocita angolare diversa da 0, imponendo $vecR=-omega^2Lvecnu$ dove $vecnu$ e' il versore dal vettore $vec(B-A)$
Scusa non l'ho specificato, l'asta è su un piano verticale Oxy. Da quello che mi risulta comunque, il vincolo da momento, in questo caso..
Il vincolo non da' momento. A meno che non ci sia attrito.
Se scegli un polo diverso dal vincolo, allora la FORZE di reazione del vincolo danno un momento.
Se scegli come asse z l'asse uscente dal foglio, allora l'equazione diventa:
$[dvecK]/[dt]=-mgLcosthetavec(e_3)$, dove $theta$ e' l'angolo che la sbarra lunga 2L forma con x e $vec(e_3)$ il versore dell'asse z.
Se scegli un polo diverso dal vincolo, allora la FORZE di reazione del vincolo danno un momento.
Se scegli come asse z l'asse uscente dal foglio, allora l'equazione diventa:
$[dvecK]/[dt]=-mgLcosthetavec(e_3)$, dove $theta$ e' l'angolo che la sbarra lunga 2L forma con x e $vec(e_3)$ il versore dell'asse z.
Scusa se insisto, ma nell'esercizio svolto (che non ho ben capito), chiamando con \(\displaystyle \mathbf{\Psi} \) il risultante dei momenti delle reazioni vincolari, scrive:
\(\displaystyle \mathbf{\Psi_O^O} = 0 \); \(\displaystyle \mathbf{\Psi_O^B} = OB\wedge\mathbf{\Phi_B} \), dove \(\displaystyle \mathbf{\Phi_B} = \Phi_B\mathbf{k} \). Quindi esce così:
\(\displaystyle \mathbf{\Psi_O^B} = OB\wedge\mathbf{\Phi_B} = L(cos\theta\mathbf{i} + sen\theta\mathbf{j})\wedge\Phi_B\mathbf{k} = ... \)
Come mai scrive così? Nel caso sia giusto, perché il vincolo ha direzione k?
\(\displaystyle \mathbf{\Psi_O^O} = 0 \); \(\displaystyle \mathbf{\Psi_O^B} = OB\wedge\mathbf{\Phi_B} \), dove \(\displaystyle \mathbf{\Phi_B} = \Phi_B\mathbf{k} \). Quindi esce così:
\(\displaystyle \mathbf{\Psi_O^B} = OB\wedge\mathbf{\Phi_B} = L(cos\theta\mathbf{i} + sen\theta\mathbf{j})\wedge\Phi_B\mathbf{k} = ... \)
Come mai scrive così? Nel caso sia giusto, perché il vincolo ha direzione k?
Non lo capisco nemmeno io.
dove e' O? Quale polo sceglie? Perche ci sono forze lungo l'asse z ($Phi_Bveck$)????
Un po' difficile orientarsi se non si hanno in mano tutti i pezzi del puzzle.
dove e' O? Quale polo sceglie? Perche ci sono forze lungo l'asse z ($Phi_Bveck$)????
Un po' difficile orientarsi se non si hanno in mano tutti i pezzi del puzzle.
Non ho mai visto una notazione piú brutta...
"Vulplasir":
Non ho mai visto una notazione piú brutta...
Concordo con te. Io ho fatto il classico e qui mi confondo persino io, tra $Psi$ e $Phi$.
O sarebbe l'origine degli assi che coincide con l'estremo A dell'asta fissato nell'origine O. Come polo usa sempre O (ci sono altre forze in gioco che ho omesso per semplificare, ma i momenti li calcola tutti con polo O)
Allora le reazioni vincolari non danno momento: il braccio e' nullo. Le altre forze, non sapendo come sono disposte, potrebbero o potrebbero non dare momento, questo non te lo possiamo dire se non le indichi.
La forza peso da' momento $vecM=vec(OC)xxmvecg$ (C e' il centro di massa dell'asta, distante L se l'asta e' lunga 2L e ovviamente la sua densita' e' costante.
La forza peso da' momento $vecM=vec(OC)xxmvecg$ (C e' il centro di massa dell'asta, distante L se l'asta e' lunga 2L e ovviamente la sua densita' e' costante.
Facendola anni fa ricordo poco, però non mi sembra sia come dici.. Le altre forze non le ho scritte perché non interessano allo scopo. Se fosse come dici tu, allora tutte le proiezioni della seconda equazione cardinale della dinamica non presenterebbero vincoli. A me sembra strano, dalla teoria infatti, risulta che l'equazione pura della dinamica è data da \(\displaystyle I_{Oz}\frac{d^2\theta}{dt^2} = M_z^{e,a} \), cioè dal momento d'inerzia rispetto all'asse z per l'accelerazione dell'angolo, uguale alla proiezione sull'asse z del momento risultante. Questo avviene proprio perché nelle altre due componenti della 2° eq. cardinale della dinamica, compaiono i vincoli.
Come facciamo combaciare le due teorie?
Come facciamo combaciare le due teorie?
Le equazioni non presentano vincoli.
L'equazione pura che scrivi tu e' esattamente quella che scrivo io, combaciano perfettamente; per favore rileggi i miei post attentamente. In quei post io asserisco che, se l'unica forza agente sulla sbarra e' il peso, scelto come polo l'asse z, io scrivo:
$M_zveck=I_oddotthetaveck$
Il momento del peso e' $-mgLcosthetaveck$ e non c'e' altro.
Quindi, proiettando su z, $M_z=-mgLcostheta=I_oddottheta$
L'equazione pura che scrivi tu e' esattamente quella che scrivo io, combaciano perfettamente; per favore rileggi i miei post attentamente. In quei post io asserisco che, se l'unica forza agente sulla sbarra e' il peso, scelto come polo l'asse z, io scrivo:
$M_zveck=I_oddotthetaveck$
Il momento del peso e' $-mgLcosthetaveck$ e non c'e' altro.
Quindi, proiettando su z, $M_z=-mgLcostheta=I_oddottheta$
Beninteso, sulla sbarra agisce anche la reazione vincolare $vecR$, che e' una forza di modulo e direzione incognite. Ma siccome io son furbetto, sceglo l'asse passante per la cerniera e quindi il momento di R e' nullo.
Però il secondo punto dell'esercizio chiede di trovare le reazioni vincolari. Come dovrei fare allora?
Lungo x deve essere $R_x=-momega^2Lcostheta$
Lungo y deve essere $R_y-mg=-momega^2Lsintheta$
Lungo y deve essere $R_y-mg=-momega^2Lsintheta$
Qual è il ragionamento generale che hai usato? Quale equazione vettoriale hai proiettato? Scusami ancora, ma credo che motivata quest'ultima risposta, non avrò più dubbi
Il corpo ruota. Il baricentro ha accelerazione centripeta (lungo l'asta, verso O) pari a $omega^2L$.
L'equazione vettoriale e' $R_xveci+R_yvecj-mgvecj=momega^2Lvectau$ con $vectau$ versore centripeto.
La scomposizione e' fatta lungo x e lungo y.
L'equazione vettoriale e' $R_xveci+R_yvecj-mgvecj=momega^2Lvectau$ con $vectau$ versore centripeto.
La scomposizione e' fatta lungo x e lungo y.
Domando scusa.
C'e' anche l'accelerazione tangenziale! Ero rimasto fermo con la testa al moto circolare uniforme nel piano orizzontale dei primi post.
Quindi va aggiunto a secondo membro il termine $mLddotthetavecmu$ con $vecmu$ versore tangenziale diretto nel verso del moto, che andra' opportunamente scomposto lungo x e y (te lo lascio fare per esercizio)
C'e' anche l'accelerazione tangenziale! Ero rimasto fermo con la testa al moto circolare uniforme nel piano orizzontale dei primi post.
Quindi va aggiunto a secondo membro il termine $mLddotthetavecmu$ con $vecmu$ versore tangenziale diretto nel verso del moto, che andra' opportunamente scomposto lungo x e y (te lo lascio fare per esercizio)
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