Razzo vettore
Ho scovato un esercizio interessante su un 'razzo vettore', ecco il testo con stralci di tentata risoluzione:
Un razzo vettore parte da fermo, rispetto alla superfice terrestre, alla latitudine $theta$ e porta un satellite, di massa m, in un'orbita circolare il cui periodo è $T$ .
Calcolare il lavoro fatto dal razzo vettore.
(Il calcolo va fatto in un sistema inerziale e quindi va considerata inizialmente la velocità di trascinamento dovuta alla rotazione terrestre)
La velocità della terra all'equatore vale: $464 m/s$, a 40° di latitudine invece vale $V_0 * cos theta$ questa sarà la nostra velocità di trascinamento.
La velocità assoluta del razzo è 0 quindi:
$V_(razzo) = V_(rel) + V_(tr)$
dato che la terra ruota in senso antiorario e io suppongo che l'antiorario sia il negativo, la $V_rel = V_(tr)$
quindi l'energia cinetica del razzo iniziale è 0, però vi è l'energia cinetica di trascinamento della terra che va considerata cioè:
$1/2 m (V_tr)^2$.
l'energia potenziale è $U=-G M m/r_t$ dove però il razzo non parte proprio dalla superfice terrestre, ma da una latitudine diversa, non è che bisogna fare $r_t cos theta$?
detto questo, il lavoro dovrebbe variare secondo questa relazione
$L=E(r)-E(r_t)$
dove $E$ sta per energia meccanica, mentre r sta per raggio di orbita.
non avendo il raggio dell'orbita cerco di misurarlo in qualche modo:
momento angolare si conserva:
$V_tr r_t = V_(orbita) * r_(orbita)$
mi trovo la velocità d'orbita:
$ni = 1/T$ da cui:
$omega = 2 p/T = V/R$
ultimo passaggio:
$V_(orbita) = 2 pi R / T$
ho tutto.
ma sembra manchi qualcosa. Che cosa?
P.S
scusate se non ho visto le risposte vecchie ai miei post vecchi! sto poco al pc, causa caldo - preparazione esami.
Grazie come sempre!
Un razzo vettore parte da fermo, rispetto alla superfice terrestre, alla latitudine $theta$ e porta un satellite, di massa m, in un'orbita circolare il cui periodo è $T$ .
Calcolare il lavoro fatto dal razzo vettore.
(Il calcolo va fatto in un sistema inerziale e quindi va considerata inizialmente la velocità di trascinamento dovuta alla rotazione terrestre)
La velocità della terra all'equatore vale: $464 m/s$, a 40° di latitudine invece vale $V_0 * cos theta$ questa sarà la nostra velocità di trascinamento.
La velocità assoluta del razzo è 0 quindi:
$V_(razzo) = V_(rel) + V_(tr)$
dato che la terra ruota in senso antiorario e io suppongo che l'antiorario sia il negativo, la $V_rel = V_(tr)$
quindi l'energia cinetica del razzo iniziale è 0, però vi è l'energia cinetica di trascinamento della terra che va considerata cioè:
$1/2 m (V_tr)^2$.
l'energia potenziale è $U=-G M m/r_t$ dove però il razzo non parte proprio dalla superfice terrestre, ma da una latitudine diversa, non è che bisogna fare $r_t cos theta$?
detto questo, il lavoro dovrebbe variare secondo questa relazione
$L=E(r)-E(r_t)$
dove $E$ sta per energia meccanica, mentre r sta per raggio di orbita.
non avendo il raggio dell'orbita cerco di misurarlo in qualche modo:
momento angolare si conserva:
$V_tr r_t = V_(orbita) * r_(orbita)$
mi trovo la velocità d'orbita:
$ni = 1/T$ da cui:
$omega = 2 p/T = V/R$
ultimo passaggio:
$V_(orbita) = 2 pi R / T$
ho tutto.
ma sembra manchi qualcosa. Che cosa?
P.S
scusate se non ho visto le risposte vecchie ai miei post vecchi! sto poco al pc, causa caldo - preparazione esami.
Grazie come sempre!
Risposte
Secondo me manca una relazione tra il periodo dell'orbita e il raggio dell'orbita.
Il satellite è all'equilibrio in orbita circolare quando la forza centripeta eguaglia la forza dovuta alla gravità.
$(GM)/r^2=\omega^2r=((2\pi)/T)^2r$
Il satellite è all'equilibrio in orbita circolare quando la forza centripeta eguaglia la forza dovuta alla gravità.
$(GM)/r^2=\omega^2r=((2\pi)/T)^2r$
Quindi da questa relazione , posso ricavare direttamente il raggio dell'orbita.
Un mio piccolo dubbio, il raggio iniziale da considerare è il raggio della terra o $r_(terra)*cos theta$.
Un mio piccolo dubbio, il raggio iniziale da considerare è il raggio della terra o $r_(terra)*cos theta$.
"clever":
Quindi da questa relazione , posso ricavare direttamente il raggio dell'orbita.
Un mio piccolo dubbio, il raggio iniziale da considerare è il raggio della terra o $r_(terra)*cos theta$.
Quella che conta agli effetti dell'energia potenziale è la distanza dal centro della terra, mentre agli effetti della velocità iniziale è la distanza dall'asse terrestre.
Ho fatto un pò di ricerche, ma non riesco a capire dire 'un razzo parte a $40$ gradi di latitudine dalla terra' voglia dire che parte da un'altezza $h$ dipendente appunto dalla latitudine. In quel caso 'il raggio' $r_1$ iniziale sarebbe $r_(terra) + h$
Non so se ho capito il tuo dubbio, ma la latitudine serve solo per determinare la velocità iniziale che è $V_0=\omegaRcos\theta$. L'energia potenziale invece è determinata da R e basta.
Si era quello il mio dubbio. Quindi tu usi direttamente la velocità angolare della terra nella tua formula, io avevo pensato di usare
$V_(tr)= V_(terra) * cos theta$
dove la la velocità della terra è quella presa all'equatore, e varia a seconda della latitudine.
$V_(tr)= V_(terra) * cos theta$
dove la la velocità della terra è quella presa all'equatore, e varia a seconda della latitudine.
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