Rappresentazione matrice metrica
Ciao a tutti, studiando meccanica razionale dal libro di Sergio Benenti (che si può trovare a questo link in pdf: http://www2.dm.unito.it/~benenti/mmm/mmm.pdf), trovo difficoltà a capire una particolare notazione per rappresentare la matrice metrica. Vi riporto il testo (a pag. 6):
Ora, questa notazione dovrebbe avere a che fare con il calcolo della norma visto che una proprietà di una matrice metrica è che essa è tale che \(\displaystyle |v|^2=g_(ij)v_iv_j \), ma non capisco di preciso cosa rappresenta il simbolo \(\displaystyle ds \) e cosa\(\displaystyle dq_i \) e\(\displaystyle dq_j \)... Di conseguenza, non riesco a capire neanche il passaggio successivo:
Qualcuno potremme spiegarmi? Grazie mille!
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Fisica.[/xdom]
Rispetto ad un qualunque sistema di coordinate (cartesiane o curvilinee) una metrica `e
dunque rappresentata dalla matrice \(\displaystyle [g_(ij)] \), ma può essere rappresentata da una scrittura
del tipo:
\(\displaystyle ds^2=g_(ij) dq_idq_j \)
Ora, questa notazione dovrebbe avere a che fare con il calcolo della norma visto che una proprietà di una matrice metrica è che essa è tale che \(\displaystyle |v|^2=g_(ij)v_iv_j \), ma non capisco di preciso cosa rappresenta il simbolo \(\displaystyle ds \) e cosa\(\displaystyle dq_i \) e\(\displaystyle dq_j \)... Di conseguenza, non riesco a capire neanche il passaggio successivo:
Questa seconda notazione rende in effetti automatico il calcolo delle componenti della
metrica. Infatti, posto che in coordinate cartesiane ortonormali si ha
\(\displaystyle ds^2 =\sum_{α=1}^{3}(dx^α)^2 \)
Qualcuno potremme spiegarmi? Grazie mille!
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Fisica.[/xdom]
Risposte
Dunque... ti do una spiegazione piuttosto informale... Pensa allo spazio ordinario, riguardato, al solito, come spazio affine reale euclideo tridimensionale, in cui sia stato introdotto un riferimento cartesiano ortonormale \( (\mathrm{O},(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})) \). Conveniamo di chiamare \( (x,y,z) \) le coordinate di un generico punto dello spazio. Allora, se prendi i punti \( P_{0} = (x_0,y_0,z_0) \) e \( P = (x_0 + dx, y_0 + dy, z_0 + dz) \), la quantità
\[ ds^2 := dx^2 + dy^2 + dz^2 \]
rappresenta il quadrato della distanza tra il punto \(P_0 \) e il punto \( P \), ossia la lunghezza del segmento di retta che li congiunge. Sei d'accordo?
Adesso, facciamo l'ipotesi che lo spazio in cui stiamo lavorando non sia più lo spazio ordinario... d'altra parte, noi spesso ce lo dimentichiamo, ma viviamo su un oggetto che approssimativamente è una superficie sferica! Allora, si porrà il problema di trovare un modo per:
(a) assegnare delle coordinate ai punti del nostro spazio. Queste coordinate si dicono coordinate generalizzate, o lagrangiane. Ad esempio, sulla nostra cara superficie terrestre ci sono le coordinate geografiche (latitudine e longitudine), la cui assegnazione individua in modo preciso e univoco un posto!
(b) dire quanto vale la distanza \( ds \) tra due punti del suddetto spazio. Ovviamente, questa definizione dovrà necessariamente tenere conto della geometria intrinseca dello spazio in cui operiamo. Infatti, non puoi pensare di andare da un punto ad un altro della superficie terrestre camminando su segmenti di retta, ma dovrai muoverti su archi di circonferenza!
La nozione di metrica risponde a queste esigenze. Ovviamente, questa è una discussione qualitativa! Una discussione più dettagliata e formale prevede un po' di nozioni di geometria differenziale, varietà, varietà riemanniane etc... Ovviamente, si tratta di nozioni che trovi su qualsiasi testo di geometria differenziale, ma un buon testo di meccanica dovrebbe chiarirti almeno quello che serve a te. Ora, non ricordo come approccia la cosa Benenti, ma se alla luce di quanto ti ho detto in termini qualitativi ti sorge qualche domanda tecnica precisa chiedi pure!
P.S.: non l'ho scritto esplicitamente, ma le \( (q_j) \) di cui parli sono proprio le coordinate generalizzate sulla varietà (diciamo superficie per capirci meglio) su cui stai operando. Ad esempio, su di una sfera prenderai \( q_1 = \theta \) e \( q_2 = \varphi \), dove \( \varphi \) è la longitudine e \( \theta \) è la colatitudine.
\[ ds^2 := dx^2 + dy^2 + dz^2 \]
rappresenta il quadrato della distanza tra il punto \(P_0 \) e il punto \( P \), ossia la lunghezza del segmento di retta che li congiunge. Sei d'accordo?
Adesso, facciamo l'ipotesi che lo spazio in cui stiamo lavorando non sia più lo spazio ordinario... d'altra parte, noi spesso ce lo dimentichiamo, ma viviamo su un oggetto che approssimativamente è una superficie sferica! Allora, si porrà il problema di trovare un modo per:
(a) assegnare delle coordinate ai punti del nostro spazio. Queste coordinate si dicono coordinate generalizzate, o lagrangiane. Ad esempio, sulla nostra cara superficie terrestre ci sono le coordinate geografiche (latitudine e longitudine), la cui assegnazione individua in modo preciso e univoco un posto!
(b) dire quanto vale la distanza \( ds \) tra due punti del suddetto spazio. Ovviamente, questa definizione dovrà necessariamente tenere conto della geometria intrinseca dello spazio in cui operiamo. Infatti, non puoi pensare di andare da un punto ad un altro della superficie terrestre camminando su segmenti di retta, ma dovrai muoverti su archi di circonferenza!
La nozione di metrica risponde a queste esigenze. Ovviamente, questa è una discussione qualitativa! Una discussione più dettagliata e formale prevede un po' di nozioni di geometria differenziale, varietà, varietà riemanniane etc... Ovviamente, si tratta di nozioni che trovi su qualsiasi testo di geometria differenziale, ma un buon testo di meccanica dovrebbe chiarirti almeno quello che serve a te. Ora, non ricordo come approccia la cosa Benenti, ma se alla luce di quanto ti ho detto in termini qualitativi ti sorge qualche domanda tecnica precisa chiedi pure!
P.S.: non l'ho scritto esplicitamente, ma le \( (q_j) \) di cui parli sono proprio le coordinate generalizzate sulla varietà (diciamo superficie per capirci meglio) su cui stai operando. Ad esempio, su di una sfera prenderai \( q_1 = \theta \) e \( q_2 = \varphi \), dove \( \varphi \) è la longitudine e \( \theta \) è la colatitudine.
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