Rappresentazione di interazione oscillatore armonico
Salve
In MQ si è trattato la rappresentazione di interazione in particolare associato a due oscillatori armonici.
Sappiamo che l'hamiltoniana è data dalla somma di due pezzi: hermitiano $H_0$ e il potenziale $V(t)$ dipendente dal tempo.
Questi due pezzi da quanto ho capito, hanno due valenze diverse in tale somma, cioè, il primo è una somma a sua volta di tutti gli hermitiani possibili del sistema fisico, mentre il secondo è più 'delicato' ovvero è difficile risolverlo sempre e spesso lo si deve approssimare.
un possibile esempio è quella di prendere due oscillatori armonici $H_1$ e $H_2$
$H_1 + H_2 = (p_1)^2 /(2m_1) +1/2 m_1 \omega_1 (x_1)^2 + (p_2)^2 /(2m_2) +1/2 m_2 \omega_2 (x_2)^2 +\alpha x_1 x_2$
ora devo dire quale sia $H_0$ e quale sia $V(t)$
$H_0 = (p_1)^2 /(2m_1) +1/2 m_1 \omega_1 (x_1)^2 + (p_2)^2 /(2m_2) +1/2 m_2 \omega_2 (x_2)^2$
$V(t) = \alpha x_1 x_2$
ora $\alpha x_1 x_2$ da dove esce fuori? non ho ben compreso se $\alpha$ sia arbitrario o meno. L'unica cosa che ho capito è che essa verrà approssimata con il metodo della teoria delle perturbazioni
detto questo.
Domande:
1) la funzione d'onda di interazione si scrive cosi $|psi_H> = e^(i/h H_0 t) |\psi_S>$ ?
2) L'osservabile di interazione si scrive come: $O_(int) = U O_S U^(+)$
[edit: esce il simbolo di integrale...deve uscire O_(int) dove int sta per 'integrazione'
cosa sta ad indicare matematicamente e fisicamente tale definizione?
In MQ si è trattato la rappresentazione di interazione in particolare associato a due oscillatori armonici.
Sappiamo che l'hamiltoniana è data dalla somma di due pezzi: hermitiano $H_0$ e il potenziale $V(t)$ dipendente dal tempo.
Questi due pezzi da quanto ho capito, hanno due valenze diverse in tale somma, cioè, il primo è una somma a sua volta di tutti gli hermitiani possibili del sistema fisico, mentre il secondo è più 'delicato' ovvero è difficile risolverlo sempre e spesso lo si deve approssimare.
un possibile esempio è quella di prendere due oscillatori armonici $H_1$ e $H_2$
$H_1 + H_2 = (p_1)^2 /(2m_1) +1/2 m_1 \omega_1 (x_1)^2 + (p_2)^2 /(2m_2) +1/2 m_2 \omega_2 (x_2)^2 +\alpha x_1 x_2$
ora devo dire quale sia $H_0$ e quale sia $V(t)$
$H_0 = (p_1)^2 /(2m_1) +1/2 m_1 \omega_1 (x_1)^2 + (p_2)^2 /(2m_2) +1/2 m_2 \omega_2 (x_2)^2$
$V(t) = \alpha x_1 x_2$
ora $\alpha x_1 x_2$ da dove esce fuori? non ho ben compreso se $\alpha$ sia arbitrario o meno. L'unica cosa che ho capito è che essa verrà approssimata con il metodo della teoria delle perturbazioni
detto questo.
Domande:
1) la funzione d'onda di interazione si scrive cosi $|psi_H> = e^(i/h H_0 t) |\psi_S>$ ?
2) L'osservabile di interazione si scrive come: $O_(int) = U O_S U^(+)$
[edit: esce il simbolo di integrale...deve uscire O_(int) dove int sta per 'integrazione'
cosa sta ad indicare matematicamente e fisicamente tale definizione?
Risposte
\(2.\) Matematicamente, nella rappresentazione matriciale gli operatori \(O_{int}\) e \(O_{s}\) sono congruenti link. Nella rappresentazione di Schroedinger significa che devi applicarli alla funzione d'onda in quell'ordine, a meno che non commutino.
Quindi $U$ funge da matrice invertibile, e $U^(+)$ sarebbe la sua trasposta (coniugata?) dato che stiamo in campo complesso, le suddette matrici sono infinito dimensionali (comprese quelle degli operatori osservabili)?
inoltre, sempre dello stesso argomento, la rappresentazione di interazione (Dirac) da quanto ho capito è una via di mezzo tra la rappresentazione di Sh. e di Heisemberg. e viene usato sopratutto quando il termine $V(t)$ è trascurabile\approssimabile con qualcosa che si conosce?
inoltre, sempre dello stesso argomento, la rappresentazione di interazione (Dirac) da quanto ho capito è una via di mezzo tra la rappresentazione di Sh. e di Heisemberg. e viene usato sopratutto quando il termine $V(t)$ è trascurabile\approssimabile con qualcosa che si conosce?
"ludwigZero":Non so cosa rappresentino le matrici in questione ma in generale gli elementi di matrice di una osservabile possono essere anche finiti.link
Quindi $U$ funge da matrice invertibile, e $U^(+)$ sarebbe la sua trasposta (coniugata?) dato che stiamo in campo complesso, le suddette matrici sono infinito dimensionali (comprese quelle degli operatori osservabili)?
Non lo conosco come argomento.
inoltre, sempre dello stesso argomento, la rappresentazione di interazione (Dirac) da quanto ho capito è una via di mezzo tra la rappresentazione di Sh. e di Heisemberg. e viene usato sopratutto quando il termine $V(t)$ è trascurabile\approssimabile con qualcosa che si conosce?
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