Rapporto fra accelerazione tang. e centr. costante
Ho un problema dove mi viene chiesto di calcolare le equazioni del moto sapendo che l'acc. tangenziale e l'acc. centripeta di un punto sono in rapporto uguale a $k$.
Ho provato a risolvere così:
\(\displaystyle \ddot{s}/ \dot{s}^2 = k/R \)
Ho provato a sostituire:
\(\displaystyle ds/dt=v(t) \)
\(\displaystyle \ d v(t)/dt =\frac{k}{R} v(t)^2\Rightarrow \frac{dv(t)}{v(t)^2}=\frac{k}{R}dt\)
Non sono sicuro di aver fatto bene, quindi mi sono bloccato anche perchè non saprei come continuare. Grazie dell'aiuto.
Ho provato a risolvere così:
\(\displaystyle \ddot{s}/ \dot{s}^2 = k/R \)
Ho provato a sostituire:
\(\displaystyle ds/dt=v(t) \)
\(\displaystyle \ d v(t)/dt =\frac{k}{R} v(t)^2\Rightarrow \frac{dv(t)}{v(t)^2}=\frac{k}{R}dt\)
Non sono sicuro di aver fatto bene, quindi mi sono bloccato anche perchè non saprei come continuare. Grazie dell'aiuto.
Risposte
Sì ci sei. Ora integra il primo membro considerando $v$ come variabile ed il secondo $t$ come variabile. Ricava $v(t)$ ed integra ancora. Ti verrà un logaritmo.
PS: personalmente io aborro spezzare i differenziali perché la ritengo una cosa matematicamente oscena che (non è questo il caso) può portare anche in errori concettuali grossi. Ma tant'è...
PS: personalmente io aborro spezzare i differenziali perché la ritengo una cosa matematicamente oscena che (non è questo il caso) può portare anche in errori concettuali grossi. Ma tant'è...
Attenzione , non è detto che il moto sia circolare , cioè $R="cost" $ . Potrebbe trattarsi di una traiettoria curvilinea qualsiasi , con $R= R(s) $ e quindi , naturalmente $R=R(t) $ , ma non sappiamo quale sia questa funzione.
Vero, in effetti l'ho dato per scontato leggendo l'equazione che aveva già scritto ma sì, se la domanda è generale come quella il raggio di curvatura non è determinato. Ma a quel punto non è possibile esplicitare l'equazione del moto e non avrebbe senso la domanda. Penso sia sottinteso che il raggio è costante, comunque vediamo se ci dà qualche informazione in più.
Si, certo, non è possibile esplicitare l'equazione del moto se $R(t)$ non è data. Per cui assumere R = cost è un ripiego, un accordo tra le parti.
Certi esercizi del cavolo non hanno proprio alcun significato fisico , si riducono a puri contorcimenti matematici, e contribuiscono solo a far odiare la fisica da parte di molte persone ... Che senso fisico ha questo esercizio? Nessuno.
Certi esercizi del cavolo non hanno proprio alcun significato fisico , si riducono a puri contorcimenti matematici, e contribuiscono solo a far odiare la fisica da parte di molte persone ... Che senso fisico ha questo esercizio? Nessuno.
Grazie per le risposte. Si il punto si muove di moto circolare, è scritto nel problema che non ho riportato nella sua interezza, non ci avevo nemmeno pensato che potesse essere un moto diverso.
Non riesco ad andare avanti dopo la prima integrazione. A me viene, ipotizzando $v_0$ come velocità al $t=0$:
\(\displaystyle \frac{1}{v} =\frac{1}{v_0}-\frac{k}{R}t\)
Adesso dovrei rifare l'integrale ma come procedo? Integrando $\frac{1}{v}$ rispetto al tempo? Io ottengo, se non ho fatto errori, ipotizzando sempre $x_0$ come prima:
\(\displaystyle x=x_0++e^\frac{t}{v_0}+e^\frac{-kt^2}{2R} \)
Io però ho un risultato diverso che dovrebbe essere:
\(\displaystyle \rho(t)=R,\theta(t)=-\frac{1}{k} log(1-k\dot\theta t) +\theta_0\)
Ho sicuramente sbagliato ad integrare, ma non riesco a capire il procedimento che purtroppo non è dato.
Vorrei inoltre capire il sistema che si potrebbe prendere evitando di spezzare i differenziali come fatto da me. Meglio capire 2 strade e poi saperle usare entrambe piuttosto che usare sempre la stessa strada che potrebbe portare ad errori.
ps: è un esercizio di meccanica razionale, non è fisica pura ma più matematica applicata direi.
"Nikikinki":
Sì ci sei. Ora integra il primo membro considerando $ v $ come variabile ed il secondo $ t $ come variabile. Ricava $ v(t) $ ed integra ancora. Ti verrà un logaritmo.
PS: personalmente io aborro spezzare i differenziali perché la ritengo una cosa matematicamente oscena che (non è questo il caso) può portare anche in errori concettuali grossi. Ma tant'è...
Non riesco ad andare avanti dopo la prima integrazione. A me viene, ipotizzando $v_0$ come velocità al $t=0$:
\(\displaystyle \frac{1}{v} =\frac{1}{v_0}-\frac{k}{R}t\)
Adesso dovrei rifare l'integrale ma come procedo? Integrando $\frac{1}{v}$ rispetto al tempo? Io ottengo, se non ho fatto errori, ipotizzando sempre $x_0$ come prima:
\(\displaystyle x=x_0++e^\frac{t}{v_0}+e^\frac{-kt^2}{2R} \)
Io però ho un risultato diverso che dovrebbe essere:
\(\displaystyle \rho(t)=R,\theta(t)=-\frac{1}{k} log(1-k\dot\theta t) +\theta_0\)
Ho sicuramente sbagliato ad integrare, ma non riesco a capire il procedimento che purtroppo non è dato.
Vorrei inoltre capire il sistema che si potrebbe prendere evitando di spezzare i differenziali come fatto da me. Meglio capire 2 strade e poi saperle usare entrambe piuttosto che usare sempre la stessa strada che potrebbe portare ad errori.
ps: è un esercizio di meccanica razionale, non è fisica pura ma più matematica applicata direi.
Niente è irrilevante in fisica, ricordalo. La prossima volta posta il testo completo 
Ricava prima la velocità e poi integra, perché ti autoinfliggi complicazioni ? Non è decisamente più semplice integrare
$v(t)=1/(1/v_0-k/R t)$ ? Ti consiglio di moltiplicare a numeratore e denominatore per $v_0$, in modo da avere
$(v_0)/(1-v_0k/Rt)$
ed a questo punto il logaritmo ti si lancia proprio in faccia
Vediamo se ti torna il risultato , poi ti faccio vedere come trattare queste semplici equazioni in modo matematicamente corretto.
Ricava prima la velocità e poi integra, perché ti autoinfliggi complicazioni ? Non è decisamente più semplice integrare
$v(t)=1/(1/v_0-k/R t)$ ? Ti consiglio di moltiplicare a numeratore e denominatore per $v_0$, in modo da avere
$(v_0)/(1-v_0k/Rt)$
ed a questo punto il logaritmo ti si lancia proprio in faccia
Vediamo se ti torna il risultato , poi ti faccio vedere come trattare queste semplici equazioni in modo matematicamente corretto.
Ho provato con il tuo suggerimento, ma credo che qualcosa mi manchi. A me viene fuori qualcosa di diverso, io trovo una $x$ invece di un sistema di coordinate polari. In questo momento non mi torna il risultato.
Devi sempre avere consapevolezza di quello che fai e mai avere paura di esprimere il risultato trovato. Probabilmente sei arrivato in fondo al conto in modo giusto ma hai desistito solo perché nel gioco della matematica ti sei perso quel senso fisico, seppur effettivamente vago come diceva Shackle, dell'esercizio.
Siamo giunti a $v(t)=(v_0)/(1-v_0k/Rt)$ . Anzi permettimi di moltiplicare ancora per $-k/R$ in modo da avere
$v(t)=(-v_0k/R)/(1-v_0k/Rt)*1/(-k/R)$ . Integriamo a destra e sinistra con i soliti giri di valzer di differenziali, tanto ormai abbiamo iniziato così
$\int_(s_0)^(s(t)) ds=s(t)-s_0=\int_0^t (-v_0k/R)/(1-v_0k/Rt')*1/(-k/R) dt'=-R/k\int_0^t (-v_0k/R)/(1-v_0k/Rt')dt'=-R/k ln(1-v_0k/Rt)$ quindi $s(t)=-R/k ln(1-v_0k/Rt)+s_0=R(-1/k ln(1-v_0k/Rt)+s_0/R)$
Ora in generale $s(t)=\theta(t)\rho(t)$ ed uguagliandola alla relazione trovata, scrivendo $\theta(0)=s_0/R$ e $dot{\theta}(0)=v_0/R$ puoi riconoscere che
$\rho(t)=R$ e $\theta(t)=-1/k ln(1-kdot{\theta}(0)t)+\theta(0)$
A meno di errori, è chiaro il ragionamento?
Siamo giunti a $v(t)=(v_0)/(1-v_0k/Rt)$ . Anzi permettimi di moltiplicare ancora per $-k/R$ in modo da avere
$v(t)=(-v_0k/R)/(1-v_0k/Rt)*1/(-k/R)$ . Integriamo a destra e sinistra con i soliti giri di valzer di differenziali, tanto ormai abbiamo iniziato così
$\int_(s_0)^(s(t)) ds=s(t)-s_0=\int_0^t (-v_0k/R)/(1-v_0k/Rt')*1/(-k/R) dt'=-R/k\int_0^t (-v_0k/R)/(1-v_0k/Rt')dt'=-R/k ln(1-v_0k/Rt)$ quindi $s(t)=-R/k ln(1-v_0k/Rt)+s_0=R(-1/k ln(1-v_0k/Rt)+s_0/R)$
Ora in generale $s(t)=\theta(t)\rho(t)$ ed uguagliandola alla relazione trovata, scrivendo $\theta(0)=s_0/R$ e $dot{\theta}(0)=v_0/R$ puoi riconoscere che
$\rho(t)=R$ e $\theta(t)=-1/k ln(1-kdot{\theta}(0)t)+\theta(0)$
A meno di errori, è chiaro il ragionamento?
Ecco dove stavo sbagliando, mi ero dimenticato che avevo iniziato con $s$ e mi sono perso a metà strada. Ho imparato almeno che forse era più utile lavorare con $\dot s$ e poi mantenere quella, così alla fine non avrei fatto confusione su cosa stavo integrando. Non era semplice riconoscere subito $\dot\theta$ e $\theta(0)$. Ottimo occhio. Io ci avrei messo un sacco a riconoscere quelle frazioni, sopratutto $\theta(0)$ che non è così immediato da vedere per me. Alla fine torna. Adesso sono curioso nel vedere come trattare queste semplici equazioni in modo matematicamente corretto.
[ot]
Lodevole intenzione, però l'usanza di spezzare le derivate nei differenziali componenti è molto praticata, anche se mal vista dai matematici che la chiamano il metodo dell'urang-outang.
Quella regola ha il vantaggio di snellire i calcoli, non è una dimostrazione, non è rigorosa, è semplicemente pratica. Non so se in qualche raro caso porti a risultati errati, so che in fisica in genere funziona. Ciò detto spero di non aver offeso nessuno, ma se qualcuno si dovesse indignare sono pronto a ritrattare tutto (salvo comportarmi da urang-outang senza più confessarlo apertamente
)[/ot]
"Mito125":
Adesso sono curioso nel vedere come trattare queste semplici equazioni in modo matematicamente corretto.
Lodevole intenzione, però l'usanza di spezzare le derivate nei differenziali componenti è molto praticata, anche se mal vista dai matematici che la chiamano il metodo dell'urang-outang.
Quella regola ha il vantaggio di snellire i calcoli, non è una dimostrazione, non è rigorosa, è semplicemente pratica. Non so se in qualche raro caso porti a risultati errati, so che in fisica in genere funziona. Ciò detto spero di non aver offeso nessuno, ma se qualcuno si dovesse indignare sono pronto a ritrattare tutto (salvo comportarmi da urang-outang senza più confessarlo apertamente
)[/ot]
Restando in ambito zoologico, è sicuramente esauriente questa dissertazione di FP sul metodo urang-utang (entra nel vivo della questione a pag.13).
In poche povere parole e sperando di non dire troppe fesserie, dovendo risolvere l'equazione a variabili separabili:
la si scrive nella forma:
a questo punto si integrano rispetto a $t$ ambo i membri: $int 1/f(x)*(dx)/(dt)dt=int g(t)dt" "$e nell'integrale a primo membro si opera la sostituzione di variabile:
per effetto della quale l'uguaglianza di cui sopra diventa: (2)$" "int 1/f(x)dx=int g(t)dt" "$. A questo punto l'urang-utang (che può essere, ad esempio, un fisico) si sente autorizzato a pensare che questo corrisponda al fatto che si sia presa la (1), si siano moltiplicati ambo i membri per $dt$ (ovviamente semplificando a primo membro, con giustificato sgomento dei matematici che assistono all'abominio), ottenendo quindi l'uguaglianza:$" "1/f(x)dx=g(t)dt" "$; se davanti a ciascuno dei due membri si piazza un segno di integrale, ecco che salta fuori la (2).
Di fatto, il metodo dell'orango è denso di abusi formali ma porta alla stessa conclusione della procedura "pulita", quindi certa gentaglia (i fisici, ad esempio, me compreso ) lo usa correntemente.
In poche povere parole e sperando di non dire troppe fesserie, dovendo risolvere l'equazione a variabili separabili:
$" "(dx)/(dt)=f(x)*g(t)" "$
la si scrive nella forma:
(1)$" "1/f(x)*(dx)/(dt)=g(t)" "$;
a questo punto si integrano rispetto a $t$ ambo i membri: $int 1/f(x)*(dx)/(dt)dt=int g(t)dt" "$e nell'integrale a primo membro si opera la sostituzione di variabile:
$" "t to x(t)" "Rightarrow" "dx=(dx)/(dt)dt" "$,
per effetto della quale l'uguaglianza di cui sopra diventa: (2)$" "int 1/f(x)dx=int g(t)dt" "$. A questo punto l'urang-utang (che può essere, ad esempio, un fisico) si sente autorizzato a pensare che questo corrisponda al fatto che si sia presa la (1), si siano moltiplicati ambo i membri per $dt$ (ovviamente semplificando a primo membro, con giustificato sgomento dei matematici che assistono all'abominio), ottenendo quindi l'uguaglianza:$" "1/f(x)dx=g(t)dt" "$; se davanti a ciascuno dei due membri si piazza un segno di integrale, ecco che salta fuori la (2).
Di fatto, il metodo dell'orango è denso di abusi formali ma porta alla stessa conclusione della procedura "pulita", quindi certa gentaglia (i fisici, ad esempio, me compreso
) lo usa correntemente.
Ok, per me è chiusa qui, non conoscevo questo metodo come il metodo dell'orango, adesso so qualcosa in più. Per me, che purtroppo sono molto limitato in matematica, è un metodo che può essere applicato senza problemi visto che è un corso di meccanica razionale e non di matematica. Grazie a tutti per avermi aiutato in questo esercizio molto matematico e di pensiero
"Mito125":
Ok, per me è chiusa qui, non conoscevo questo metodo come il metodo dell'orango, adesso so qualcosa in più. Per me, che purtroppo sono molto limitato in matematica, è un metodo che può essere applicato senza problemi visto che è un corso di meccanica razionale e non di matematica. Grazie a tutti per avermi aiutato in questo esercizio molto matematico e di pensiero
Bene, l'importante è avere coscienza di quel che si fa. Oranghi o babbuini che siano.
In realtà volevo mostrarti un procedimento un po' differente e più generale, in questo esercizio del tutto superfluo poiché abbiamo giusto quadrato quindi separando subito le variabili si sa integrare, ma se l'eq diff non lineare è autonoma come in questo caso, comunque sia fatta la funzione che coinvolge le sue derivate (e non) è possibile ricondursi ad equazioni di primo grado estremamente semplici che di certo si sanno risolvere rispetto magari a dover integrare una funzione complicata . Le equazioni autonome, dove per capirci non appare esplicitamente il tempo, sono molto ricorrenti in fisica proprio perché molte leggi naturali non dipendono dal tempo in cui sono considerate, anche se i suoi oggetti sì. Ma se dici che non hai molta dimestichezza meglio desistere. Rischierei solo di confonderti, lasciandoti con l'idea di averti mostrato lo stesso identico procedimento usato prima ma più lungo. Buon proseguimento 
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