Ragionamento su accelerazione uniforme
Buona sera. Avrei bisogno di un aiuto per concludere un ragionamento in merito ad un risultato che ho contemplato riguardo alle equazioni della cinematica.
Si abbia una massa con velocità nulla al tempo \(\displaystyle t=0 \), e la si voglia a accelerare fino a \(\displaystyle 2 m/s \) in uno spazio (ad esempio) di 1 metro. Adesso si voglia accelerare la stessa massa, partendo sempre da velocità nulla, fino alla velocità di 3 m/s nella stessa quantità di spazio. Ebbene, la accelerazione necessaria a compiere queste azioni varia con il QUADRATO della velocità.
Infatti dall'equazione dello spazio percorso nel moto accelerato uniforme, relativo al nostro caso:
\(\displaystyle s= 1/2 a t^2 \)
ma d'altronde:
\(\displaystyle v=a*t \)
pertanto, fissato un certo spazio \(\displaystyle s \), si ha:
\(\displaystyle v= \)$sqrt(2*a*s)$
ovvero:
\(\displaystyle a=v^2/2s \)
Quindi in termini di equazioni il risultato sopra espresso appare chiaro. Tuttavia stavo cercando di comprendere razionalmente, in termini più fisici che non matematici, come mai se desidero aumentare di un solo metro al secondo la mia velocità alla fine dello spazio fissato (1 metro) ho bisogno di aumentare in modo quadratico la accelerazione.
Inoltre sottolineo che se voglio accelerare la massa in 1 metro fino a \(\displaystyle 2 m/s \) e poi fino a \(\displaystyle 3 m/s \), la differenza tra le accelerazioni necessarie a questi due risultati varrà \(\displaystyle 2,5 m/s^2 \), mentre se voglio accelerare la massa (ad esempio ) prima a \(\displaystyle 50 m/s \) e poi a\(\displaystyle 51 m/s \) (quindi sempre incrementando di un metro al secondo la velocità) la differenza tra le accelerazioni necessarie sarà di ben \(\displaystyle 50,5 m/s^2 \). Quindi più aumentiamo la velocità desiderata alla fine dello spazio di 1 metro, e più per aumentare di un metro al secondo tale velocità occorre un enorme aumento di accelerazione.
Come possiamo spiegarci questo risultato? Forse, a parità di spazio percorso, la velocità ha un effetto quadratico sulla accelerazione necessaria perchè abbiamo un valore più alto di velocità da raggiungere ma meno tempo per farlo?
Si abbia una massa con velocità nulla al tempo \(\displaystyle t=0 \), e la si voglia a accelerare fino a \(\displaystyle 2 m/s \) in uno spazio (ad esempio) di 1 metro. Adesso si voglia accelerare la stessa massa, partendo sempre da velocità nulla, fino alla velocità di 3 m/s nella stessa quantità di spazio. Ebbene, la accelerazione necessaria a compiere queste azioni varia con il QUADRATO della velocità.
Infatti dall'equazione dello spazio percorso nel moto accelerato uniforme, relativo al nostro caso:
\(\displaystyle s= 1/2 a t^2 \)
ma d'altronde:
\(\displaystyle v=a*t \)
pertanto, fissato un certo spazio \(\displaystyle s \), si ha:
\(\displaystyle v= \)$sqrt(2*a*s)$
ovvero:
\(\displaystyle a=v^2/2s \)
Quindi in termini di equazioni il risultato sopra espresso appare chiaro. Tuttavia stavo cercando di comprendere razionalmente, in termini più fisici che non matematici, come mai se desidero aumentare di un solo metro al secondo la mia velocità alla fine dello spazio fissato (1 metro) ho bisogno di aumentare in modo quadratico la accelerazione.
Inoltre sottolineo che se voglio accelerare la massa in 1 metro fino a \(\displaystyle 2 m/s \) e poi fino a \(\displaystyle 3 m/s \), la differenza tra le accelerazioni necessarie a questi due risultati varrà \(\displaystyle 2,5 m/s^2 \), mentre se voglio accelerare la massa (ad esempio ) prima a \(\displaystyle 50 m/s \) e poi a\(\displaystyle 51 m/s \) (quindi sempre incrementando di un metro al secondo la velocità) la differenza tra le accelerazioni necessarie sarà di ben \(\displaystyle 50,5 m/s^2 \). Quindi più aumentiamo la velocità desiderata alla fine dello spazio di 1 metro, e più per aumentare di un metro al secondo tale velocità occorre un enorme aumento di accelerazione.
Come possiamo spiegarci questo risultato? Forse, a parità di spazio percorso, la velocità ha un effetto quadratico sulla accelerazione necessaria perchè abbiamo un valore più alto di velocità da raggiungere ma meno tempo per farlo?
Risposte
Una volta feci una domanda analoga a un prof. Mi disse: pensi in termini di variazione dell’energia cinetica. La formula dice che, in tutti i casi, la variazione è $1/2m(v_2^2-v_1^2)$ . A parte il fattore costante m/2 , si ha : $(v_2-v_1)(v_2+v_1)$ . Ora , il primo fattore (differenza di velocità) è sempre 1 , sia che si passa da 2 a 3 , sia che si passa da 50 a 51. Ma il secondo fattore (somma ) nel primo caso è 5 , nel secondo è 101.
Insomma, è la variazione di energia che ci frega!
Insomma, è la variazione di energia che ci frega!
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