Raggiungimento apice giro della morte
Buonasera, nel punto b dell'esercizio riportato in calce si richiede di calcolare la massima compressione della molla affinché il corpo "fuso" $ m_1+m_2 $ riesca a raggiungere il punto B (punto più alto della semicirconferenza).
Nella soluzione viene usata la seconda legge di Newton e viene imposto che la reazione vincolare sia positiva nel punto B, da cui poi si trova la velocità che deve avere nel punto A e quindi la compressione della molla utilizzando la conservazione dell'energia meccanica.
Questa soluzione la capisco, però non sono d'accordo che vada bene in questo esercizio. La utilizzerei se mi venisse chiesto di far compiere al corpo puntiforme un intero giro della morte rimanendo sempre attaccato alla superficie.
In questo caso è sufficiente che il corpo $ m_1+m_2 $ raggiunga il punto B. Ciò che accade dopo non ci interessa: se ad esempio dal punto B comincia a cadere formando una specie di parabola anzichè un cerchio di raggio R, va bene comunque. Di conseguenza, imporrei la conservazione dell'energia meccanica (forza peso conservativa e reazione vincolare non fa lavoro) con la seguente equazione:
$E_i = E_f rArr 1/2(m_1+m_2)V^2 = (m_1+m_2)2R$, con $V$ velocità nel punto A del corpo $ m_1+m_2 $.
Perché questa non va bene? Perché non ci basta che la velocità nel punto A sia sufficiente a permettere di raggiungere l'altezza di 2R, ovvero il punto B?
Nella soluzione viene usata la seconda legge di Newton e viene imposto che la reazione vincolare sia positiva nel punto B, da cui poi si trova la velocità che deve avere nel punto A e quindi la compressione della molla utilizzando la conservazione dell'energia meccanica.
Questa soluzione la capisco, però non sono d'accordo che vada bene in questo esercizio. La utilizzerei se mi venisse chiesto di far compiere al corpo puntiforme un intero giro della morte rimanendo sempre attaccato alla superficie.
In questo caso è sufficiente che il corpo $ m_1+m_2 $ raggiunga il punto B. Ciò che accade dopo non ci interessa: se ad esempio dal punto B comincia a cadere formando una specie di parabola anzichè un cerchio di raggio R, va bene comunque. Di conseguenza, imporrei la conservazione dell'energia meccanica (forza peso conservativa e reazione vincolare non fa lavoro) con la seguente equazione:
$E_i = E_f rArr 1/2(m_1+m_2)V^2 = (m_1+m_2)2R$, con $V$ velocità nel punto A del corpo $ m_1+m_2 $.
Perché questa non va bene? Perché non ci basta che la velocità nel punto A sia sufficiente a permettere di raggiungere l'altezza di 2R, ovvero il punto B?
Risposte
La tua soluzione sarebbe corretta (occhio al typo) solo se la massa fosse vincolata alla guida semicircolare, in quanto basterebbe che raggiunga B con velocità nulla, in questo caso invece, mancando questo vincolo, la velocità in B, come anche per ogni altro punto del movimento, deve essere tale che l'accelerazione centripeta sia (in modulo) superiore alla componente radiale dell'accelerazione gravitazionale "g".
Prova ad usare la velocità iniziale dedotta dalla tua relazione per andare a determinare il punto di distacco dalla guida[nota]E, volendo, anche la successiva traiettoria.[/nota], per esempio indicando con $\alpha$ l'angolo formato dal raggio che congiunge la massa al centro del cerchio rispetto ad un raggio orizzontale.
Prova ad usare la velocità iniziale dedotta dalla tua relazione per andare a determinare il punto di distacco dalla guida[nota]E, volendo, anche la successiva traiettoria.[/nota], per esempio indicando con $\alpha$ l'angolo formato dal raggio che congiunge la massa al centro del cerchio rispetto ad un raggio orizzontale.
Per calcolare il punto di distacco ho utilizzato i seguenti dati numerici: $m_1 = m_2 = 1kg$, $k = 10N/m$, $R = 1m$
2° legge di Newton in un generico punto (compreso tra A e B): $ (m_1+m_2)gcos(alpha)+N = m_1+m_2(V^2/R) $
Quando la reazione vincolare si annulla, il corpo si distacca:
$rArr N = (m_1+m_2)(-gcos(alpha)+V^2/R)=0 rArr gcos(alpha)R=V^2=sqrt((gR)/(m_1k))2(m_1+m_2) rArr alpha = cos^(-1)((2(m_1+m_2))/(sqrt(gRm_1k)))= 66°$
Quindi a 66° gradi si stacca cominciando il suo moto verso sinistra e verso il basso (tipo parabola). Quello che non mi spiego però è perché, se ho imposto dall'eq. dell'energia che raggiunga l'altezza di 2R, non ci arriva. Sembra come se nell'equazione non abbia considerato qualcosa oppure come se l'energia non si conservi (e quindi ho dimenticato il lavoro delle forze non conservative).
2° legge di Newton in un generico punto (compreso tra A e B): $ (m_1+m_2)gcos(alpha)+N = m_1+m_2(V^2/R) $
Quando la reazione vincolare si annulla, il corpo si distacca:
$rArr N = (m_1+m_2)(-gcos(alpha)+V^2/R)=0 rArr gcos(alpha)R=V^2=sqrt((gR)/(m_1k))2(m_1+m_2) rArr alpha = cos^(-1)((2(m_1+m_2))/(sqrt(gRm_1k)))= 66°$
Quindi a 66° gradi si stacca cominciando il suo moto verso sinistra e verso il basso (tipo parabola). Quello che non mi spiego però è perché, se ho imposto dall'eq. dell'energia che raggiunga l'altezza di 2R, non ci arriva. Sembra come se nell'equazione non abbia considerato qualcosa oppure come se l'energia non si conservi (e quindi ho dimenticato il lavoro delle forze non conservative).
"Lorenzo_99":
Quando la reazione vincolare si annulla, il corpo si distacca
Non è che come condizione limite devi imporre lo stesso anche nel punto ad altezza 2R?
"ingres":
Non è che come condizione limite devi imporre lo stesso anche nel punto ad altezza 2R?
Come ho scritto nel primo post quella soluzione l'ho capita ma l'avrei applicata in un esercizio differente.
Ciò che voglio comprendere è perché l'equazione che ho scritto con la conservazione dell'energia non va bene. Si dimostra che l'oggetto si stacca prima, ok, però visto che l'energia si conserva, vale $ 1/2(m_1+m_2)V^2 = (m_1+m_2)2R$ ($V$ velocità nel punto A del corpo $ m_1+m_2 $). Dunque perché non arriva a 2R, cioè nel punto B? Dov'è l'errore nell'usare questa equazione?
In altre parole: perché avrei dovuto puntare sull'usare $N > 0$ invece della sola conservazione dell'energia?
Perchè con la conservazione dell'energia nel punto di distacco il moto prosegue con l'andamento parabolico classico al di fuori del percorso circolare.
Raggiungerà un apice (sicuramente non in B e non ad altezza 2R perchè nell'apice la velocità in orizzontale si sarà conservata) e poi scenderà. Se vuoi ottenere una traiettoria circolare devi imporre una condizione aggiuntiva.
Raggiungerà un apice (sicuramente non in B e non ad altezza 2R perchè nell'apice la velocità in orizzontale si sarà conservata) e poi scenderà. Se vuoi ottenere una traiettoria circolare devi imporre una condizione aggiuntiva.
Potremmo dire quindi che l'equazione della conservazione dell'energia è valida. Raggiunge però l'altezza 2R se la reazione vincolare rimane positiva.
Analogamente a quando si ha una molla posta a distanza $d$ e si vuole sapere di quanto verrà compressa da un corpo, con velocità iniziale $V$, che scivola su un piano scabro. Si fanno i conti per trovare di quanto viene compressa la molla, ma poi si deve verificare che la velocità iniziale sia sufficiente a fargli almeno raggiungere la molla (chiaramente il procedimento è inverso, ovvero si verifica prima che il corpo raggiunga la molla e poi si calcola la variazione di elongazione, ma non mi vengono a mente esempi migliori in questo momento che prevedono una determinata soluzione SE certi vincoli sono rispettati).
Analogamente a quando si ha una molla posta a distanza $d$ e si vuole sapere di quanto verrà compressa da un corpo, con velocità iniziale $V$, che scivola su un piano scabro. Si fanno i conti per trovare di quanto viene compressa la molla, ma poi si deve verificare che la velocità iniziale sia sufficiente a fargli almeno raggiungere la molla (chiaramente il procedimento è inverso, ovvero si verifica prima che il corpo raggiunga la molla e poi si calcola la variazione di elongazione, ma non mi vengono a mente esempi migliori in questo momento che prevedono una determinata soluzione SE certi vincoli sono rispettati).
"Lorenzo_99":
Potremmo dire quindi che l'equazione della conservazione dell'energia è valida. Raggiunge però l'altezza 2R se la reazione vincolare rimane positiva.
L'equazione di conservazione dell'energia è sicuramente valida, ma la traiettoria circolare fa si che nell'apice ci sia ancora velocità, sia pure in orizzontale, e quindi in partenza devi "spendere" di più rispetto al caso in cui il blocco sia stato direttamente lanciato in verticale.
Se vuoi un esempio un poco migliore di una situazione in cui la soluzione deve comunque rispettare un vincolo di prerequisito, considera un cuneo liscio di forma triangolare (ovvero due piani inclinati affiancati) di altezza h. Evidentemente un corpo lanciato sul primo ridiscende sul secondo e visto che non vi sono attriti proseguirà dopo il cuneo con la stessa velocità che aveva all'inizio. Ma questo è vero solo se la velocità iniziale rispetta la condizione $v_0 gt sqrt(2gh)$, perchè altrimenti, raggiunto un certo punto in salita, il corpo si ferma e torna indietro.
Giusto per precisare cosa intendevo suggerirti chiedendoti di calcolare il punto di distacco, mi stavo semplicemente riferendo al caso di una massa $m$ che si trovi in A alla velocità iniziale ottenuta con la tua relazione, ovvero a una
$v_0^2=4Rg$
per poi andare a scrivere la generica velocità $v$ in un generico punto P sulla guida, a partire dalla conservazione dell'energia, usando l'angolo $\alpha$ fra PO e un raggio orizzontale
$v_0^2-v^2=2gR(1+\sin\alpha)$
e da questa determinare l'angolo $\alpha$ corrispondente al punto di distacco P, nel quale il modulo della componente radiale dell'accelerazione di gravità (funzione crescente di $\alpha$) uguaglia il valore dell'accelerazione centripeta relativa a quel moto circolare
$v^2/R=g\sin\alpha$ $\quad -> \quad \sin \alpha=2/3$
nei punti successivi a P, ovvero per $\sin \alpha>2/3$, la diminuzione della velocità e la crescente componente centripeta dell'accelerazione gravitazionale tenderanno a ridurre il raggio di curvatura e di conseguenza la massa si separerà dalla guida; da P in poi avremo quindi la classica traiettoria parabolica.
NB Chiaramente la velocità iniziale $v_0$ poteva essere lasciata come parametro nella soluzione, ma io volevo semplificare al massimo il discorso.
$v_0^2=4Rg$
per poi andare a scrivere la generica velocità $v$ in un generico punto P sulla guida, a partire dalla conservazione dell'energia, usando l'angolo $\alpha$ fra PO e un raggio orizzontale
$v_0^2-v^2=2gR(1+\sin\alpha)$
e da questa determinare l'angolo $\alpha$ corrispondente al punto di distacco P, nel quale il modulo della componente radiale dell'accelerazione di gravità (funzione crescente di $\alpha$) uguaglia il valore dell'accelerazione centripeta relativa a quel moto circolare
$v^2/R=g\sin\alpha$ $\quad -> \quad \sin \alpha=2/3$
nei punti successivi a P, ovvero per $\sin \alpha>2/3$, la diminuzione della velocità e la crescente componente centripeta dell'accelerazione gravitazionale tenderanno a ridurre il raggio di curvatura e di conseguenza la massa si separerà dalla guida; da P in poi avremo quindi la classica traiettoria parabolica.
NB Chiaramente la velocità iniziale $v_0$ poteva essere lasciata come parametro nella soluzione, ma io volevo semplificare al massimo il discorso.
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