Raggio di curvatura dell'ellisse
Ciao a tutti.
Sappiamo che il raggio di curvatura è il raggio del cerchio osculatore, ossia di quel cerchio che approssima meglio la curvatura esistente in un determinato punto di una curva.
Io vorrei sapere se è possibile calcolare il raggio di curvatura non relativo ad un punto specifico dell'ellisse, ma relativo alla ellisse nel suo complesso, ossia se esiste una specifica formula che consenta di determinare il raggio del cerchio osculatore che meglio approssima la curvatura dell'intera ellisse, ovviamente conoscendo asse minore, asse maggiore ed eccentricità dell'ellisse.
Sappiamo che il raggio di curvatura è il raggio del cerchio osculatore, ossia di quel cerchio che approssima meglio la curvatura esistente in un determinato punto di una curva.
Io vorrei sapere se è possibile calcolare il raggio di curvatura non relativo ad un punto specifico dell'ellisse, ma relativo alla ellisse nel suo complesso, ossia se esiste una specifica formula che consenta di determinare il raggio del cerchio osculatore che meglio approssima la curvatura dell'intera ellisse, ovviamente conoscendo asse minore, asse maggiore ed eccentricità dell'ellisse.
Risposte
"milzar":
Io vorrei sapere se è possibile calcolare il raggio di curvatura non relativo ad un punto specifico dell'ellisse, ma relativo alla ellisse nel suo complesso, ossia se esiste una specifica formula che consenta di determinare il raggio del cerchio osculatore che meglio approssima la curvatura dell'intera ellisse
Non esiste una "curvatura dell'intera ellisse": la curvatura cambia da un punto all'altro.
La curvatura è una proprietà locale di una curva, non globale
Non si può creare una sorta di curvatura media?
Cioè calcolo la curvatura massima (estremità dell'asse maggiore), la curvatura minima (l'estremità dell'asse minore), e faccio la media?
Cioè calcolo la curvatura massima (estremità dell'asse maggiore), la curvatura minima (l'estremità dell'asse minore), e faccio la media?
Sicuramente si potrà trovare una curvatura media, ma non credo che sia così semplice come la metti tu; almeno, se vuoi fare una media pesata, cioè contare ogni valore per quanto è rappresentato nell'insieme: così a pelle, direi che i punti a curvatura bassa sono di più di quelli a curvatura alta
Allora il problema è questo.
Se una pallina percorre, su di un piano senza attrito, un percorso guidato di forma ellittica, come posso calcolare l'accelerazione centripeta?
La formula dell'accelerazione centripeta, infatti, è ac = V2/r, dove però r è il raggio della circonferenza, ma questa non è una circonferenza.
Va bene uguale se come valore di r metto il semiasse maggiore?
C'è un post di navigatore di qualche anno fa che dice che, in un caso come questo, si deve mettere come r il raggio di curvatura esistente in un determinato punto della curva per avere l'accelerazione centripeta, ma a me serve l'accelerazione centripeta media subita dalla pallina durate la sua traiettoria ellittica.
causa-moto-circolare-t108677.html
Se una pallina percorre, su di un piano senza attrito, un percorso guidato di forma ellittica, come posso calcolare l'accelerazione centripeta?
La formula dell'accelerazione centripeta, infatti, è ac = V2/r, dove però r è il raggio della circonferenza, ma questa non è una circonferenza.
Va bene uguale se come valore di r metto il semiasse maggiore?
C'è un post di navigatore di qualche anno fa che dice che, in un caso come questo, si deve mettere come r il raggio di curvatura esistente in un determinato punto della curva per avere l'accelerazione centripeta, ma a me serve l'accelerazione centripeta media subita dalla pallina durate la sua traiettoria ellittica.
causa-moto-circolare-t108677.html
Chiaramente puoi definire una curvatura media come ti pare, ciò non significa che essa risponda al problema che chiedi, ossia al calcolo dell'accelerazione centripeta media.
L'accelerazione centripeta di un punto materiale a velocità $vecv$ che si trova in un punto della sua traiettoria con raggio di curvatura $r$ è pari a $veca_c=v^2/rvecN$. dove $vecN$ è un versore ortogonale alla tangente alla traiettoria in quel punto e diretto verso il centro di curvatura, ossia il centro della circonferenza osculatrice in quel punto.
E' chiaro che se vuoi calcolare l'accelerazione centripeta media devi prima definire cosa intendi per accelerazione centripeta media, e non mi pare che sia un concetto che abbia molto senso
L'accelerazione centripeta di un punto materiale a velocità $vecv$ che si trova in un punto della sua traiettoria con raggio di curvatura $r$ è pari a $veca_c=v^2/rvecN$. dove $vecN$ è un versore ortogonale alla tangente alla traiettoria in quel punto e diretto verso il centro di curvatura, ossia il centro della circonferenza osculatrice in quel punto.
E' chiaro che se vuoi calcolare l'accelerazione centripeta media devi prima definire cosa intendi per accelerazione centripeta media, e non mi pare che sia un concetto che abbia molto senso
Potrà sembrarti strano, ma a me serve l'accelerazione centripeta media.
A tal fine avrebbe senso calcolare l'accelerazione centripeta nel punto di massima curvatura (estremi dell'asse maggiore), poi l'accelerazione centripeta nel punto di minima curvatura (estremi dell'asse minore), ovviamente in entrambi i casi col metodo del cerchio osculatore, e poi fare la media tra i due valori?
A tal fine avrebbe senso calcolare l'accelerazione centripeta nel punto di massima curvatura (estremi dell'asse maggiore), poi l'accelerazione centripeta nel punto di minima curvatura (estremi dell'asse minore), ovviamente in entrambi i casi col metodo del cerchio osculatore, e poi fare la media tra i due valori?
Avrebbe senso qualsiasi cosa per calcolare "l'accelerazione centripeta media", perché è un concetto che non esiste da nessuna parte e che mi pare non abbia alcun significato. La velocità media si calcola come la differenza tra il vettore posizione finale e quello iniziale fratto il tempo, l'accelerazione media si calcola come la velocità vettoriale finale meno quella iniziale fratto il tempo...l'accelerazione centripeta media sinceramente non vedo quale significato possa avere, e forse non ce l'ha e si tratta di un errore del testo o di chi ti ha proposto il problema.
È una questione di approssimazione.
Potrebbe avere più senso parlare di raggio di curvatura medio? Inteso cioè come la media tra il raggio del cerchio osculatore nel punto di curvatura massima e raggio del cerchio osculatore nel punto di curvatura minima?
Potrebbe avere più senso parlare di raggio di curvatura medio? Inteso cioè come la media tra il raggio del cerchio osculatore nel punto di curvatura massima e raggio del cerchio osculatore nel punto di curvatura minima?
Non esiste una definizione di accelerazione centripeta media, quindi è impossibile sapere cosa chiede il testo (a parte il fatto che molto probabilmente hai capito male il testo e non chiede niente che abbia a che fare con una presunta accelerazione centripeta media), ovviamente, dato che non esiste, ci si può sbizzarrire a darne una definizione...volendo puoi definirla come la velocità media al quadrato fratto il raggio di curvatura medio, e ovviamente neanche il raggio di curvatura medio di una curva esiste, quindi ci si può ancora sbizzarrire a darne una definizione...potrebbe per esempio essere la media aritmetica tra il raggio massimo e quello minimo...insomma è tutto un potrebbe
"Vulplasir":
potrebbe per esempio essere la media aritmetica tra il raggio massimo e quello minimo...insomma è tutto un potrebbe
Intendi il raggio di curvatura massimo e raggio di curvatura minimo? Cioè, rispettivamente, il raggio del cerchio osculatore nel punto di minima curvatura, ed il raggio del cerchio osculatore nel punto di massima curvatura?
Si, il raggio di curvatura massimo e minimo
Considera un'ellisse di asse maggiore $2a$ , disposto sull'asse $x$ , e asse minore $2b$ disposto sull'asse $y$ , come normalmente si fa nella rappresentazione canonica. L'equazione canonica dell'ellisse ti è nota, suppongo.
Con centro nell'origine, traccia due circonferenze concentriche, di raggi risp. $a$ e $b$ . Traccia poi una semiretta uscente da $O$ , che incontra la circonferenza di raggio $b$ nel punto $C$ ,e la circonferenza di raggio $a$ nel punto $B$ (vedi figura seguente)
L'angolo che la semiretta forma con l'asse $x$ si chiama "angolo di eccentricità" $t$ . In funzione di questo angolo , si possono esprimere le coordinate del punto $P$ :
$x = a cost $
$y = bsent $
e queste non sono altro che le equazioni parametriche dell'ellisse, con parametro $t$ . Nota esplicitamente che l'angolo $t$ non è uguale all'angolo polare $\theta$ .
Il raggio di curvatura $R$ , nel punto $P$ generico , si trova coi metodi della geometria differenziale , e risulta , in funzione del parametro $t$ :
$R = ((a^2sen^2t + b^2cos^2t)^(3/2) )/(ab) $
i raggi di curvatura minimo e massimo si hanno ovviamente in corrispondenza degli estremi dei semiassi dell'ellisse , e risulta :
per $t =0 : R_(min) = b^2/a$
per $t= \pi/2 : R_(max) = a^2/b $
Supponiamo ora che un punto materiale percorra l'ellisse a partire dal punto $A$ in figura; il parametro $t$ sia ora il tempo .
Il vettore velocità è in ciascun punto tangente alla conica , e le sue componenti cartesiane si determinano derivando rispetto al tempo le equazioni parametriche dette cioè :
$v_x = dotx = -a\sent$
$v_y = doty = b\cost$
quindi , come vettore : $ vecv = -asenthati + bcosthatj $ . Il modulo è ovvio.
Analogamente , si possono trovare le componenti cartesiane dell'accelerazione :
$a_x =ddotx = -acost = -x$
$a_y = ddoty = -bsent = - y$
e quindi si può scrivere il vettore $veca$ e calcolarne il modulo. Ma è più interessante scrivere l'accelerazione come somma vettoriale dell'accelerazione tangenziale e di quella centripeta :
$ veca = veca_t + veca_n = dotvhatT + v^2/RhatN$
siccome tutti gli elementi necessari , in un dato punto, sono noti o calcolabili , il calcolo dell'accelerazione centripeta non presenta difficoltà , se non di calcolo.
Ciò detto, perchè parli di "accelerazione centripeta media" ? Ti hanno già fatto notare che l'accelerazione è funzione del punto, quindi qual è lo scopo della richiesta ?
PS : ho trovato spiegazioni, figure ed animazioni molto belle del prof. Lorenzo Roi :
http://www.lorenzoroi.net/geomDiff/index.html
http://matematica.unibocconi.it/articol ... onda-parte
le figure animate, disegnate con Geogebra, contengono uno slider : cliccando sul segno + alla fine dello slider, si vede come cambia la figura stessa .
Con centro nell'origine, traccia due circonferenze concentriche, di raggi risp. $a$ e $b$ . Traccia poi una semiretta uscente da $O$ , che incontra la circonferenza di raggio $b$ nel punto $C$ ,e la circonferenza di raggio $a$ nel punto $B$ (vedi figura seguente)
L'angolo che la semiretta forma con l'asse $x$ si chiama "angolo di eccentricità" $t$ . In funzione di questo angolo , si possono esprimere le coordinate del punto $P$ :
$x = a cost $
$y = bsent $
e queste non sono altro che le equazioni parametriche dell'ellisse, con parametro $t$ . Nota esplicitamente che l'angolo $t$ non è uguale all'angolo polare $\theta$ .
Il raggio di curvatura $R$ , nel punto $P$ generico , si trova coi metodi della geometria differenziale , e risulta , in funzione del parametro $t$ :
$R = ((a^2sen^2t + b^2cos^2t)^(3/2) )/(ab) $
i raggi di curvatura minimo e massimo si hanno ovviamente in corrispondenza degli estremi dei semiassi dell'ellisse , e risulta :
per $t =0 : R_(min) = b^2/a$
per $t= \pi/2 : R_(max) = a^2/b $
Supponiamo ora che un punto materiale percorra l'ellisse a partire dal punto $A$ in figura; il parametro $t$ sia ora il tempo .
Il vettore velocità è in ciascun punto tangente alla conica , e le sue componenti cartesiane si determinano derivando rispetto al tempo le equazioni parametriche dette cioè :
$v_x = dotx = -a\sent$
$v_y = doty = b\cost$
quindi , come vettore : $ vecv = -asenthati + bcosthatj $ . Il modulo è ovvio.
Analogamente , si possono trovare le componenti cartesiane dell'accelerazione :
$a_x =ddotx = -acost = -x$
$a_y = ddoty = -bsent = - y$
e quindi si può scrivere il vettore $veca$ e calcolarne il modulo. Ma è più interessante scrivere l'accelerazione come somma vettoriale dell'accelerazione tangenziale e di quella centripeta :
$ veca = veca_t + veca_n = dotvhatT + v^2/RhatN$
siccome tutti gli elementi necessari , in un dato punto, sono noti o calcolabili , il calcolo dell'accelerazione centripeta non presenta difficoltà , se non di calcolo.
Ciò detto, perchè parli di "accelerazione centripeta media" ? Ti hanno già fatto notare che l'accelerazione è funzione del punto, quindi qual è lo scopo della richiesta ?
PS : ho trovato spiegazioni, figure ed animazioni molto belle del prof. Lorenzo Roi :
http://www.lorenzoroi.net/geomDiff/index.html
http://matematica.unibocconi.it/articol ... onda-parte
le figure animate, disegnate con Geogebra, contengono uno slider : cliccando sul segno + alla fine dello slider, si vede come cambia la figura stessa .
Shackle ti ringrazio molto per l'impegno profuso, si vede che, oltre ad essere molto preparato, sei anche molto appassionato della materia, e ringrazio anche Vulplasir e mgrau.
Forse non sono stato chiarissimo.
E' possibile definire il concetto di curvatura media di una curva?
Ho trovato questo link, dove dice che si può fare
http://www2.unipr.it/~basgio93/2004/XII/index.htm
La curva C dice che è più curva di C1, anche se sembra controintuitivo, ma in effetti è così, perché la curva C è tutta curva, mentre la curva C1 tende ad essere una retta agli estremi.
Il sito continua dicendo che la curvatura media è data dall'angolo formato dalle due rette tangenti in A e B, fratto la lunghezza dell'arco, e siccome la curva C è più breve della curva C1, la sua curvatura media è maggiore della curva C1.
Quindi, se si riuscisse a calcolare la curvatura media dell'ellisse, si potrebbe calcolare anche il raggio di curvatura medio dell'ellisse, che, come noto, è il reciproco della curvatura (1/K).
Una volta ottenuto il raggio di curvatura medio dell'ellisse, potrei calcolare l'accelerazione centripeta media, mettendo nella formula dell'accelerazione centripeta il raggio di curvatura medio.
Sarebbe corretto?
Poi ho trovato anche questo teorema geometrico:
https://books.google.it/books?id=LmdBAA ... te&f=false
Qui c'è scritto che “Il raggio curvatura dell'ellisse è uguale al cubo della normale corrispondente diviso per la quarta parte del quadrato del parametro”.
E' possibile calcolare la raggio di curvatura dell'intera ellisse in questo modo diciamo geometrico?
Grazie.
Forse non sono stato chiarissimo.
E' possibile definire il concetto di curvatura media di una curva?
Ho trovato questo link, dove dice che si può fare
http://www2.unipr.it/~basgio93/2004/XII/index.htm
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
La curva C dice che è più curva di C1, anche se sembra controintuitivo, ma in effetti è così, perché la curva C è tutta curva, mentre la curva C1 tende ad essere una retta agli estremi.
Il sito continua dicendo che la curvatura media è data dall'angolo formato dalle due rette tangenti in A e B, fratto la lunghezza dell'arco, e siccome la curva C è più breve della curva C1, la sua curvatura media è maggiore della curva C1.
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Quindi, se si riuscisse a calcolare la curvatura media dell'ellisse, si potrebbe calcolare anche il raggio di curvatura medio dell'ellisse, che, come noto, è il reciproco della curvatura (1/K).
Una volta ottenuto il raggio di curvatura medio dell'ellisse, potrei calcolare l'accelerazione centripeta media, mettendo nella formula dell'accelerazione centripeta il raggio di curvatura medio.
Sarebbe corretto?
Poi ho trovato anche questo teorema geometrico:
https://books.google.it/books?id=LmdBAA ... te&f=false
Qui c'è scritto che “Il raggio curvatura dell'ellisse è uguale al cubo della normale corrispondente diviso per la quarta parte del quadrato del parametro”.
E' possibile calcolare la raggio di curvatura dell'intera ellisse in questo modo diciamo geometrico?
Grazie.
"milzar":
Il sito continua dicendo che la curvatura media è data dall'angolo formato dalle due rette tangenti in A e B, fratto la lunghezza dell'arco, e siccome la curva C è più breve della curva C1, la sua curvatura media è maggiore della curva C1.
Si tratta evidentemente di una definizione arbitraria, e se ne potrebbero inventare altre a piacere.
Con ciò non voglio dire che questa definizione non abbia una sua diffusione, magari in un qualche contesto particolare (mi viene in mente, nella costruzione di strade?)
Comunque nel caso di una curva chiusa non è applicabile, visto che non ci sono gli estremi dove prendere le tangenti
Scusami, oggi sono fuori casa , non posso leggere e scrivere. Stasera leggerò . Nel frattempo, mgrau ha gia risposto, e chissà che non lo faccia anche vulplasir, loro sono più freschi .
A prima vista , sembra che il primo link faccia riferimento a proprietà globali di una curva aperta, non locali .
Ciao
A prima vista , sembra che il primo link faccia riferimento a proprietà globali di una curva aperta, non locali .
Ciao
Il link è esplicito, parla di curvatura media, non so però se è corretto dividere l'angolo formato tra le due tangenti per la lunghezza dell'arco.
Se fosse corretto, si potrebbe dividere l'ellisse in quattro archi uguali, i cui estremi coinciderebbero con i punti di intersezione tra assi e ellisse (i 4 punti cardinali dell'ellisse per intenderci).
Questi 4 archi ovviamente avrebbero la stessa curvatura e la stessa lunghezza, in virtù della simmetria dell'ellisse.
Si prende un solo arco, si tracciano le due tangenti passanti per i due punti estremi dell'arco, che formerebbero un angolo di 90 gradi, si calcola la lunghezza dell'arco, si mette in rapporto il primo con la seconda e si ottiene la curvatura media dell'ellisse, no?
Se fosse corretto, si potrebbe dividere l'ellisse in quattro archi uguali, i cui estremi coinciderebbero con i punti di intersezione tra assi e ellisse (i 4 punti cardinali dell'ellisse per intenderci).
Questi 4 archi ovviamente avrebbero la stessa curvatura e la stessa lunghezza, in virtù della simmetria dell'ellisse.
Si prende un solo arco, si tracciano le due tangenti passanti per i due punti estremi dell'arco, che formerebbero un angolo di 90 gradi, si calcola la lunghezza dell'arco, si mette in rapporto il primo con la seconda e si ottiene la curvatura media dell'ellisse, no?
Sono riuscito a leggere il primo link . Io mi sbaglierò , ma c'è qualcosa che non mi torna . A proposito della figura 2 , da te evidenziata , dice appunto che :
mi pare assurdo ragionare in questi termini. La curvatura media, secondo quanto detto, sarebbe inversamente proporzionale alla lunghezza dell'arco di curva .
E se io unisco A a B , mediante un segmento di retta, appena raccordato ai due estremi con due archetti di circonferenza di raggio $0.5 cm$, tangenti in A e B agli assi tracciati, che succede ? Ho una "curva" mistilinea , il cui tratto più lungo è un segmento rettilineo , e i due tratti finali sono i due archetti circolari; si può calcolare esattamente la lunghezza della curva (non mi va di farlo, però ) . Chiaramente, la curvatura locale è nulla per un bel pezzo, tranne che agli estremi dove c'è l'archetto circolare . Siccome questa curva mistilinea ha lunghezza senz'altro inferiore a $C$ , dovrò dedurre che la curvatura media è maggiore di quella di $C$ , e di $C'$ ?
Mi sembra un po' assurdo. Ma bisognerebbe fare una dimostrazione matematica, non affidarsi all'intuito.
Ribadisco, come detto anche da altri , che la curvatura è un concetto locale .
Se poi vuoi calcolare una curvatura media lungo un arco, credo che ti debba affidare al "teorema della media" , che si studia nel calcolo integrale, e che non ricordo più .
Ciao.
.... la curvatura media è data dall'angolo formato dalle due rette tangenti in A e B, fratto la lunghezza dell'arco, e siccome la curva C è più breve della curva C1, la sua curvatura media è maggiore della curva C1.
mi pare assurdo ragionare in questi termini. La curvatura media, secondo quanto detto, sarebbe inversamente proporzionale alla lunghezza dell'arco di curva .
E se io unisco A a B , mediante un segmento di retta, appena raccordato ai due estremi con due archetti di circonferenza di raggio $0.5 cm$, tangenti in A e B agli assi tracciati, che succede ? Ho una "curva" mistilinea , il cui tratto più lungo è un segmento rettilineo , e i due tratti finali sono i due archetti circolari; si può calcolare esattamente la lunghezza della curva (non mi va di farlo, però ) . Chiaramente, la curvatura locale è nulla per un bel pezzo, tranne che agli estremi dove c'è l'archetto circolare . Siccome questa curva mistilinea ha lunghezza senz'altro inferiore a $C$ , dovrò dedurre che la curvatura media è maggiore di quella di $C$ , e di $C'$ ?
Mi sembra un po' assurdo. Ma bisognerebbe fare una dimostrazione matematica, non affidarsi all'intuito.
Ribadisco, come detto anche da altri , che la curvatura è un concetto locale .
Se poi vuoi calcolare una curvatura media lungo un arco, credo che ti debba affidare al "teorema della media" , che si studia nel calcolo integrale, e che non ricordo più .
Ciao.
No vedi che più avanti fa anche l'ipotesi del tratto mistilineo, una parabola il cui tratto apicale è una retta. Lo risolve in modo diverso e più complesso rispetto al metodo del rapporto tra l'angolo formato dalle due rette tangenti e la lunghezza dell'arco (ricorre ai limiti ecc...).
Grazie comunque.
Grazie comunque.
No vedi che più avanti fa anche l'ipotesi del tratto mistilineo, una parabola il cui tratto apicale è una retta. Lo risolve in modo diverso e più complesso rispetto al metodo del rapporto tra l'angolo formato dalle due rette tangenti e la lunghezza dell'arco (ricorre ai limiti ecc...)
Ovviamente, perché appunto la curvatura è una proprietà locale, ossia vale solo in un intorno di un punto, se ti allontani troppo dal punto considerato, non ha nessunissimo senso parlare di curvatura, se non in modo "intuitivo", come dire, quella strada è più curva di quell'altra...ecco, per dire questo, come fa quel link, si usa un concetto intuitivo di curvatura media, che però non ha niente di rigoroso e di fondato, l'unica cosa vera è che la curvatura in un punto si ottiene come "limite" della curvatura media di un archetto di curva attorno a quel punto...ma se non si fa il limite, la curvatura media non rappresenta nulla e non ha nessun significato.
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