"Unitarietà" delle matrici di Dirac?

[dissonance]

Leggo su Thaller The Dirac Equation, pag. 112 (Theorem 4.2):

... Next we note that:

[tex]$\lvert - \imath c \underline{\alpha}\cdot \nabla \psi \rvert^2=c^2 \lvert \nabla \psi \rvert^2=c^2\sum_{i, k=1}^4\left\lvert \frac{\partial \psi_i}{\partial x_k}(x)\right\rvert^2[/tex] [...]

dove [tex]\underline{\alpha}=[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3][/tex] sono le matrici di Dirac, in rappresentazione standard:

[tex]$\alpha_i=\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{bmatrix}[/tex] ([tex]\sigma[/tex] sono le matrici di Pauli.)

Come ha fatto a dimostrare che [tex]\underline{\alpha}\cdot \nabla[/tex] conserva il modulo quadro? Mi lascia un po' interdetto... D'altra parte è proprio necessario al risultato che segue.

[alle.fabbri]

Sicuro che la somma in k non vada da 1 a 3? Cioè solo sulle componenti spaziali? In fin dei conti è il modulo quadro del gradiente.
In ogni caso si tratta solo di mettersi lì a fare il conto con un po' di attenzione a tutti gli indici. Ti può essere di aiuto sapere che (convenzione di Einstein sulla somma di indici ripetuti sottintesa)
[tex]$\xi_i \xi_j \sigma_i \sigma_j = \xi_i \xi_j \frac{1}{2} ( \sigma_i \sigma_j + \sigma_j \sigma_i ) = \xi_i \xi_j \delta_{ij} = \xi_i \xi_i $[/tex]
Adesso prova a "smontare" lo spinore di Dirac in due spinori di Pauli nel senso
[tex]$\psi = \left( \begin{matrix} \xi \\ \eta \end{matrix} \right)$[/tex]
la quantità che stai cercando è quindi
[tex]$|-ic \sum_i \alpha_i \partial_i \psi |^2 = \left( i c \sum_i \left( \begin{matrix} \partial_i \xi^\dagger , \partial_i \eta^\dagger \end{matrix} \right) \alpha_i^\dagger \right) \left( - i c \sum_j \alpha_j \left( \begin{matrix} \partial_j \xi \\ \partial_j \eta \end{matrix} \right) \right)$[/tex]
adesso raccogli fuori le somme, sostituisci la forma esplicita delle alpha, fai tutti i prodotti tra le matrici 2x2 e i bispinori, usi la proprietà che ti citavo all'inizio e dovresti aver fatto...

[dissonance]

Grazie alle.fabbri!!! Soprattutto avevo paura che fosse un errore del libro, qualche errorino qua e là c'è... Sull'indice $k$ hai ragione, va da $1$ a $3$, probabilmente l'autore ha omesso di scriverlo. Ok, mi metterò a fare i conti, poi ti faccio sapere.

[dissonance]

Ok, mi metterò a fare i conti, poi ti faccio sapere.

Ci ho messo un po' per fare questi conti: gira e volta se ne è andato un annetto e mezzo!!!

Ma oggi, parlandone col mio relatore di tesi, sono giunto alla conclusione che il risultato è falso. NON è in generale vero che \(\lvert -i\boldsymbol{\alpha}\cdot \nabla \psi\rvert^2=\lvert \nabla \psi \rvert^2\) puntualmente (e sennò si banalizzerebbe tutta una teoria). Invece è vero che

\[\int_{\mathbb{R}^3}\lvert -i\boldsymbol{\alpha}\cdot \nabla \psi\rvert^2\, d^3x=\int_{\mathbb{R}^3} \lvert \nabla \psi \rvert^2\, d^3x.\]

Questo si dimostra usando le relazioni di anticommutazione delle matrici \(\boldsymbol{\alpha}\): \(\{\alpha_k, \alpha_h\}=2\delta_{hk}\) e integrando per parti. Se a qualcuno dovessero servire posso postare i (facili) conti, in ogni caso li potete trovare sulla mia tesi di laurea triennale all'indirizzo http://www.box.com/s/81703cda277af16d4ac4 , Teorema 3.2.5.

[alle.fabbri]

Coooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooosa???????
Eh no!!! Cosí mi uccidi un mito!!!!!!!! Appena avró un po' di tempo ci do un'occhiata perché la cosa é davvero intrigante.
Cosí su due piedi riusciresti ad approfondire un attimo quel "sennó si banalizzerebbe tutta la teoria"?

[dissonance]

"alle.fabbri":"sennó si banalizzerebbe tutta la teoria"?

No, no, non esageriamo! Non tutta la teoria, tutta una teoria. Ci sono dei signori che si stanno occupando di rinvenire e mettere a punto un certo tipo di disuguaglianze relative agli operatori di Dirac, come ad esempio in questo primo paper di una decina di anni fa:

http://basepub.dauphine.fr/xmlui/handle/123456789/6493

e poi hanno continuato a lavorarci, come puoi vedere ad esempio qui:

http://basepub.dauphine.fr/xmlui/handle/123456789/701

E' questa la teoria che si banalizzerebbe con risultati del genere. Prendiamo ad esempio la disuguaglianza (3) del primo paper, pagina 2:

\[\int d^3x\left(\frac{\lvert \sigma \cdot \nabla \phi\rvert^2}{1+1/\lvert x \rvert}+\lvert \phi \rvert^2 \right) \ge \int d^3x \frac{\lvert \phi\rvert^2}{\lvert x \rvert^2}.\]

(Qui le matrici sono le \(\sigma\) e non le \(\alpha\), ma il discorso è analogo, visto che verificano grosso modo le stesse algebre). Se fosse vera l'identità puntuale \(\lvert \sigma \cdot \nabla \phi\rvert^2=\lvert \nabla \phi\rvert^2\), la (3) diventerebbe una disuguaglianza di tipo Hardy standard, nel senso che gli operatori di Dirac non c'entrerebbero più nulla. Non avrebbe senso quindi fare della (3) la star di un paper dedicato agli operatori di Dirac. In questo senso intendevo "si banalizzerebbe una teoria", volevo dire: "se fossero vere identità come \(\lvert \alpha \cdot \nabla \psi\rvert^2=\lvert \nabla \psi \rvert^2\), il lavoro che stanno facendo questi ricercatori sarebbe privo di senso".

Non so se mi sono spiegato. Se ti sembra che io stia parlando da esperto toglitelo dalla testa! Di tutti questi articoli ci capisco si e no il 10%. Comunque la cosa più conveniente è fare un esempio concreto. Adesso devo proprio scappare, ma se trovo un po' di tempo provo a farne qualcuno io. Si tratta solo di fare un po' di conti (come al solito).