Questioni Cinematiche
ciao ragazzi! ho bisogno del vostro aiuto...
sto trovando delle difficoltà nella comprensione dell'applicazione delle formule per il calcolo dell'energia cinetica
(Teorema di Konig $T=1/2I_a theta'^2+1/2 m(v_G)^2$ e\o $T=1/2I_a theta'^2$:quando si usa la prima e quando la seconda?)
quello che sono riuscito a capire è che nel caso di moto traslatorio la formula è la classica $T=1/2 m(v_G)^2$
vi pongo quindi all'attenzione l'esempio dell'immagine...
l'asta AB ha come centro di rotazione il punto $C_(AB)$ intersezione delle ortogonali ai carrelli
QUINDI... poichè è noto tale centro (analiticamente e graficamente definito) l'equazione da applicare è $T=1/2I_(C_(AB))theta'^2$ in quanto il sistema rigido "asta" ruota con velocita angolare $theta'$ attorno a questo punto fisso $C_(AB)$?
per l'asta OC mi viene da pensare "lo stesso ragionamento" infatti l'asta, poichè incernierata in O, ruota attorno a quel punto (suo centro di rotazione) quindi... anche in questo caso $T=1/2I_O theta'^2$ ?
potete aiutarmi a capire?
inoltre avete da consigliare qualche raccolta di esempi applicativi dei vari casi ? oppure del materiale in cui sia spiegato in modo chiaro (il mio materiale non mi sta aiutando...
)Grazie ancora per tutto
Risposte
Purtroppo la figura non si vede.La formula $K=1/2I_a\omega^2$ e' di carattere generale.Esso sfrutta il fatto che ,dato un sistema ruotante attorno ad un asse qualsiasi,
si deve calcolare l'energia cinetica dei punti rispetto all'asse e cioe':$sum_( i )1/2m_iv_i^2= 1/2sum_( i )m_i(r_i\omega)^2=1/2(sum_( i )m_ir_i^2)\omega^2=1/2I_a\omega^2$.Il teorema di Koenig asseriva che l'energia di un sistema il cui c.d.m.si muove in generale come un sistema non inerziale
in moto traslatorio rispetto ad un sistema fisso e':$K=1/2mv_c^2+sum_( i )1/2m_iv_i'^2$ dove $v'_i$ e' la velocita' di un punto del sistema rispetto al c.d.m.
ma $m_iv'_i^2=m_i\omega^2r'_i^2=I_c\omega^2$ e quindi il teorema di Koenig diventa:$K=1/2mv_c^2+I_c\omega^2$.$I_c$ e' il momento d'inerzia
rispetto all'asse (istantaneo di rotazione) passante per il c.d.m.che e' sempre noto per particolari oggetti(disco,asta,sfera...).
Se conosci il Teorema di Huygens-Steiner che esprime il fatto che ,quando un sistema ruota per un asse $a$ diverso da quello del c.d.m.,
il momento di inerzia rispetto ad un asse $a$ parallelo a quello passante per il c.d.m. $c$ distanti uno dall'altro $d$ e':$I_a=I_c+md^2$.Sostituisci questa espressione
a $K=1/2I_a\omega^2$ ottieni:$K=1/2(I_c+md^2)\omega^2=1/2I_c\omega^2+1/2md^2\omega^2=1/2mv_c^2+I_c\omega^2$.Quindi o utilizzi uno o l'altro
Esempio:
Calcola l'energia di un disco di raggio $R$ ,massa $m$ che ruota con velocita' angolare $\omega$ intorno ad un asse passante per la circonferenza del disco(cioe' a distanza $R$ dal centro)
1) utilizziamo Koenig:$K=1/2mv_c^2+I_c\omega^2$.
$K=1/2m(\omegaR)^2+1/2I_c\omega^2=1/2m(\omegaR)^2+1/2*(1/2mR^2)\omega^2=3/4m\omega^2R^2$,sfruttando il fatto che la velocita' del c.d.m.
e':$v_c=\omegaR$
2)utilizza :$K=1/2I_a\omega^2$ sfruttando Huygens-Steiner
$I_a=I_c+mR^2=1/2mR^2+mR^2$ e quindi:
$K=1/2(1/2mR^2+mR^2)\omega^2=3/4m\omega^2R^2$
si deve calcolare l'energia cinetica dei punti rispetto all'asse e cioe':$sum_( i )1/2m_iv_i^2= 1/2sum_( i )m_i(r_i\omega)^2=1/2(sum_( i )m_ir_i^2)\omega^2=1/2I_a\omega^2$.Il teorema di Koenig asseriva che l'energia di un sistema il cui c.d.m.si muove in generale come un sistema non inerziale
in moto traslatorio rispetto ad un sistema fisso e':$K=1/2mv_c^2+sum_( i )1/2m_iv_i'^2$ dove $v'_i$ e' la velocita' di un punto del sistema rispetto al c.d.m.
ma $m_iv'_i^2=m_i\omega^2r'_i^2=I_c\omega^2$ e quindi il teorema di Koenig diventa:$K=1/2mv_c^2+I_c\omega^2$.$I_c$ e' il momento d'inerzia
rispetto all'asse (istantaneo di rotazione) passante per il c.d.m.che e' sempre noto per particolari oggetti(disco,asta,sfera...).
Se conosci il Teorema di Huygens-Steiner che esprime il fatto che ,quando un sistema ruota per un asse $a$ diverso da quello del c.d.m.,
il momento di inerzia rispetto ad un asse $a$ parallelo a quello passante per il c.d.m. $c$ distanti uno dall'altro $d$ e':$I_a=I_c+md^2$.Sostituisci questa espressione
a $K=1/2I_a\omega^2$ ottieni:$K=1/2(I_c+md^2)\omega^2=1/2I_c\omega^2+1/2md^2\omega^2=1/2mv_c^2+I_c\omega^2$.Quindi o utilizzi uno o l'altro
Esempio:
Calcola l'energia di un disco di raggio $R$ ,massa $m$ che ruota con velocita' angolare $\omega$ intorno ad un asse passante per la circonferenza del disco(cioe' a distanza $R$ dal centro)
1) utilizziamo Koenig:$K=1/2mv_c^2+I_c\omega^2$.
$K=1/2m(\omegaR)^2+1/2I_c\omega^2=1/2m(\omegaR)^2+1/2*(1/2mR^2)\omega^2=3/4m\omega^2R^2$,sfruttando il fatto che la velocita' del c.d.m.
e':$v_c=\omegaR$
2)utilizza :$K=1/2I_a\omega^2$ sfruttando Huygens-Steiner
$I_a=I_c+mR^2=1/2mR^2+mR^2$ e quindi:
$K=1/2(1/2mR^2+mR^2)\omega^2=3/4m\omega^2R^2$
quindi in sostanza mi stai dicendo (giusto per capire se ho capito bene) che
nel momento in cui un corpo ruoto attorno ad un punto fisso e\o asse qualsiasi, la sua energia cinetica si calcola indifferentemente o con la formula generale $T= 1/2 I_a theta'^2$ o con il teorema di konig $T= 1/2 I_G theta'^2 + 1/2 m(v_G)^2$ sfruttando le informazioni del baricentro (velocità e momento d'inerzia)?
appena lho fatto mi sono sentito un bambino che scartava il suo regalo preferito!
mi complicavo la vita e mi bloccavo senza motivo...
Grazie Mille!
per correttezza posto il link dell'immagine così mi confermi il mio ragionamento (generale)
http://img818.imageshack.us/i/meccanica.jpg/
Uploaded with ImageShack.us
...
ho rivisto l'esercizio ma c'è qualcosa che non va!(speriamo si veda l'immagine)
per quanto riguarda l'asta OC il procedimento sia con quella generale che con quella del teorama porta allo stesso risultato come mi rallegravo sopra
invece riproponendo la stessa cosa per l'asta AB questo non avviene! perchè?... cè qualche passaggio che mi manca?
lì quell'asta ruota attorno al suo centro di rotazione assoluto $C_(AB)$ questo influisce in qualcosa?
...ricadono le tenebre!
nel momento in cui un corpo ruoto attorno ad un punto fisso e\o asse qualsiasi, la sua energia cinetica si calcola indifferentemente o con la formula generale $T= 1/2 I_a theta'^2$ o con il teorema di konig $T= 1/2 I_G theta'^2 + 1/2 m(v_G)^2$ sfruttando le informazioni del baricentro (velocità e momento d'inerzia)?
appena lho fatto mi sono sentito un bambino che scartava il suo regalo preferito!
mi complicavo la vita e mi bloccavo senza motivo... Grazie Mille!
per correttezza posto il link dell'immagine così mi confermi il mio ragionamento (generale)
http://img818.imageshack.us/i/meccanica.jpg/
Uploaded with ImageShack.us
...
ho rivisto l'esercizio ma c'è qualcosa che non va!(speriamo si veda l'immagine)
per quanto riguarda l'asta OC il procedimento sia con quella generale che con quella del teorama porta allo stesso risultato come mi rallegravo sopra
invece riproponendo la stessa cosa per l'asta AB questo non avviene! perchè?... cè qualche passaggio che mi manca?
lì quell'asta ruota attorno al suo centro di rotazione assoluto $C_(AB)$ questo influisce in qualcosa?
...ricadono le tenebre!
forse mi rispondo da solo (però dovete confermarmi il fattaccio! Xp)
per la famossissima asta AB sappiamo che il suo centro di rotazione si ottiene istante per istante nel punto di intersezione delle normali ai carrelli
ma durante il "moto" del sistema tale punto non rimane fisso ma varia (trasla) la sua posizione rispetto al sistema di riferimento (fisso)
ecco perchè (confermatemi se è così)
nel caso in cui il corpo non ha punti fissi la sua energia cinetica si ottiene attraverso la formula del teorema di Konig
spero di non avere detto qualche sciuocchezzuola XD
attendo vostre ed ancora Grazie!
per la famossissima asta AB sappiamo che il suo centro di rotazione si ottiene istante per istante nel punto di intersezione delle normali ai carrelli
ma durante il "moto" del sistema tale punto non rimane fisso ma varia (trasla) la sua posizione rispetto al sistema di riferimento (fisso)
ecco perchè (confermatemi se è così)
nel caso in cui il corpo non ha punti fissi la sua energia cinetica si ottiene attraverso la formula del teorema di Konig
spero di non avere detto qualche sciuocchezzuola XD
attendo vostre ed ancora Grazie!
l'immagine non si vede per cui non so che dire anche perche' non so neanche che vuoi dire con carrelli
"legendre":
l'immagine non si vede per cui non so che dire anche perche' non so neanche che vuoi dire con carrelli
nn ci voglio credere! ma io la vedo?!?ho messo pure il link?!
per carrello mi riferisco al vincolo carrello che consente lo spostamento lungo una direzione!provo a mettere un link diverso della figura
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... canica.jpg
se nn funziona questo provo a mettere la striscia anteprima immagine su forum
e se nn funziona provo pure con quest'altro
dopo di cio nn so che dire...
"geckissimo":
forse mi rispondo da solo (però dovete confermarmi il fattaccio! Xp)
per la famossissima asta AB sappiamo che il suo centro di rotazione si ottiene istante per istante nel punto di intersezione delle normali ai carrelli
ma durante il "moto" del sistema tale punto non rimane fisso ma varia (trasla) la sua posizione rispetto al sistema di riferimento (fisso)
ecco perchè (confermatemi se è così)
nel caso in cui il corpo non ha punti fissi la sua energia cinetica si ottiene attraverso la formula del teorema di Konig
spero di non avere detto qualche sciuocchezzuola XD
attendo vostre ed ancora Grazie!
In generale puoi sempre calcolare l'energia cinetica di un corpo rigido come $1/2 I omega^2$, la $omega$ sarà la velocità angolare del sistema solidale al corpo rispetto al sistema fisso, mentre $I$ è il momento di inerzia rispetto all'asse di istantanea rotazione. Altrimenti non conoscendo l'asse di istantanea rotazione si può usare il teorema di Konig per cui l'energia cinetica è pari all'energia cinetica del corpo rispetto ad un sistema di riferimento solidale al centro di massa (per cui tale energia cinetica può essere calcolata come $1/2 I omega^2$ con $I$ momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa e diretto come $omega$, visto che tale asse è proprio l'asse di istantanea rotazione se considero il moto del corpo rispetto al riferimento solidale col centro di massa) più l'energia cinetica che avrebbe il corpo rispetto al sistema di riferimento fisso se tutta la massa del corpo fosse concentrata nel centro di massa.
PS: Io le figure le vedo.
allora, per definizione l'energia cinetica è $1/2mv^2$, in qualsiasi caso, lo è per definizione.
poi tutto dipende dall'espressione della velocità, infatti una volta nota quest'ultima basta inserirla nella formula dell'energia cinetica per risolverla in funzione dei dati disponibili.
infatti $Ec = 1/2Iw^2$ è gia stato ricavato semplicemente ponendo a sistema $v=wr$ e ricavando I per definizione.
cosi allo stesso modo il teorema di Konig, asserisce che l'energia cinetica di un sistema è pari all'energia cinetica del c.d.m + l'energia conetica dei punti del sistema rispetto al c.d.m (cioè la somma delle e. cinetiche dei vari punti calcolate sostituendo a $v$ nella formula dell'e. cinetica la velocità relativa del punto rispetto al cdm), non si è inventato nulla, viene tutto dalla definizione di e. cinetica e di centro di massa.
infatti la velocità di ogni punto del sistema si puo' esprimere come la somma della velocità del c.d.m ($vec (V)g$) e la velocità relativa del punto rispetto al cdm ($vec (V)r$), quindi $(AA Qi) vec(V)i = vec(V)g + vec(V)ri$ e data la definizione di energia cinetica di un sistema, ossia $T = sum miVi^2 $ sostituendo la precedente si ha $T = sum mi(vec(V)g + vec(V)ri)^2 $ e sviluppando viene il teorema,
questo per dirti che devi prima capire qual'è l'espressione della velocità e poi utilizzare la definizione
poi tutto dipende dall'espressione della velocità, infatti una volta nota quest'ultima basta inserirla nella formula dell'energia cinetica per risolverla in funzione dei dati disponibili.
infatti $Ec = 1/2Iw^2$ è gia stato ricavato semplicemente ponendo a sistema $v=wr$ e ricavando I per definizione.
cosi allo stesso modo il teorema di Konig, asserisce che l'energia cinetica di un sistema è pari all'energia cinetica del c.d.m + l'energia conetica dei punti del sistema rispetto al c.d.m (cioè la somma delle e. cinetiche dei vari punti calcolate sostituendo a $v$ nella formula dell'e. cinetica la velocità relativa del punto rispetto al cdm), non si è inventato nulla, viene tutto dalla definizione di e. cinetica e di centro di massa.
infatti la velocità di ogni punto del sistema si puo' esprimere come la somma della velocità del c.d.m ($vec (V)g$) e la velocità relativa del punto rispetto al cdm ($vec (V)r$), quindi $(AA Qi) vec(V)i = vec(V)g + vec(V)ri$ e data la definizione di energia cinetica di un sistema, ossia $T = sum miVi^2 $ sostituendo la precedente si ha $T = sum mi(vec(V)g + vec(V)ri)^2 $ e sviluppando viene il teorema,
questo per dirti che devi prima capire qual'è l'espressione della velocità e poi utilizzare la definizione
"Faussone":
PS: Io le figure le vedo.
Allora non sono pazzo!
ritornando al discorso a quanto dite le formule sono applicativamente le stesse l'unica cosa che bisogna tenere bene in mente è come ben dice cyd
"cyd":
tutto dipende dall'espressione della velocità, infatti una volta nota quest'ultima basta inserirla nella formula dell'energia cinetica per risolverla in funzione dei dati disponibili.
probabilmente allora sbaglierò qualcosa sulla velocità relativa del punto $C_(AB)$
se non vi è di troppo peso, potreste aiutarmi a capire sta velocità relativamente all'esercizio dell'immagine? ve ne sarei molto grato
(gli unici dati del problema sono $AB=2l, OC=l, m_(AB)=2m, m_(OC)=m$)
Grazie come sempre!
1)Purtroppo non riesco proprio a vederlo il link.Qual'e' il mio problema?
2)riesco a vedere la figura che hai messo e a questo punto ho 2 domande
a)la sbarra AB ruota intorno ad O distante a OC dal suo c.d.m. attorno ad un asse ortogonale al piano xy?
b)questa rotazione la esegue anche la sbarra OC?
2)riesco a vedere la figura che hai messo e a questo punto ho 2 domande
a)la sbarra AB ruota intorno ad O distante a OC dal suo c.d.m. attorno ad un asse ortogonale al piano xy?
b)questa rotazione la esegue anche la sbarra OC?
cosa chiede il problema?
ps. c è il centro istantaneo di rotazione, durante il modo c percorre un arco di circonferenza di raggio=lunghezza asta attorno ad O (rispetto O)
ps. c è il centro istantaneo di rotazione, durante il modo c percorre un arco di circonferenza di raggio=lunghezza asta attorno ad O (rispetto O)
1) non lo so!
il sistema è un cinematismo ad un grado di libertà
2a) l'asta AB non ruota attorno ad O ma attorno al suo centro che si ottiene come intersezione delle ortogonali agli assi condotte dai punti A e B (poichè vi sono due carrelli)
2b) la manovella OC è incernierata in O ed in C vi è un altro carrello che è vincolato a scorrere sull'asta AB
il problema chiede di trovare le equazioni differenziali del moto del sistema applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica (ecco perchè mi serve sapere l'energia cinetica e mi sto impuntando di capiere i vari casi di applicazione delle formule sopra discusse)
il sistema è un cinematismo ad un grado di libertà
2a) l'asta AB non ruota attorno ad O ma attorno al suo centro che si ottiene come intersezione delle ortogonali agli assi condotte dai punti A e B (poichè vi sono due carrelli)
2b) la manovella OC è incernierata in O ed in C vi è un altro carrello che è vincolato a scorrere sull'asta AB
il problema chiede di trovare le equazioni differenziali del moto del sistema applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica (ecco perchè mi serve sapere l'energia cinetica e mi sto impuntando di capiere i vari casi di applicazione delle formule sopra discusse)
Hmmm... il sistema è sì una volta labile ma è anche iperstatico, quindi non può muoversi restando indeformato... non saprei.....
"Faussone":
Hmmm... il sistema è sì una volta labile ma è anche iperstatico... non saprei.....
sono due aste 6 gradi di liberta meno 1 del carrello in A ed 1 in B e meno 2 con la cerniera in O...ne rimane solo
però riflettendo bene le molteplicità dei vincoli efficaci risultano minori dei gradi di libertà del sistema (quindi labile) inoltre le molteplicità dei vincoli generali risultano minori delle effettive molteplicità efficaci (quindi iperstatico)
en beh?! che si fa?!cambia qualcosa?
Non capisco in A B e C quelli sono carrelli o pattini? Io li ho interpretati come pattini cioé consideravo bloccata anche la rotazione (quindi li vedevo come vincoli doppi, ma in tal caso in effetti il sistema non sarebbe neanche labile a pensarci bene), se la rotazione non è bloccata allora ok, ma quel simbolo per i carrelli non è molto chiaro secondo me....
"Faussone":
Non capisco in A B e C quelli sono carrelli o pattini? Io li ho interpretati come pattini cioé consideravo bloccata anche la rotazione (quindi li vedevo come vincoli doppi, ma in tal caso in effetti il sistema non sarebbe neanche labile a pensarci bene), se la rotazione non è bloccata allora ok, ma quel simbolo per i carrelli non è molto chiaro secondo me....
lo capisco anche per me è non molto chiaro simbolicamente (sono abituato al classico triangolino con le rotelle sotto)! cmq il testo dice che scorrono il punto A sull'asse y e il punto B sull'asse x
mo riporto il testo così aggiungiamo dettagli e sfumature
un' asta AB di massa 2m e lunghezza 2l ha i due estremi vincolati a scorrere sugli assi y e x. una manovella OC di massa m e lunghezza l ha un estremo incernierato nell'origine O degli assi mentre l'altro estremo è vincolato a scorrere sull'asta AB.
nel punto A è applicata una forza P parallela all'asse y diretta verso il basso. supponendo i vincoli privi di attrito:
determinare, applicando il principio dei lavori virtuali, le posizioni di equilibrio
determinare, applicando la conservazione dell'energia meccanica, l'equazione differenziale del moto del sistema
il mio problema sta nel secondo quesito
Grazie di tutto ragazzi!
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