Quesito teorico sul pendolo di Foucault
Ciao a tutti,
tutti conosciamo il celebre esperimento del pendolo di Foucault eseguito al Pantheon di Parigi.
Leggendo questo su wikipedia mi sono confuso un po':
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Il mio dubbio nasce dal fatto che mi sembra di capire che la forza di Coriolis devii il pendolo, infatti io credevo che la spiegazione fosse questa:
Il pendolo è fissato a un PERNO GIREVOLE e in accordo con le leggi Newtoniane non modifica il suo piano oscillante. Poichè vi è un moto di rotazione Terrestre, la terra gira mentre il pendolo grazie al fatto di essere fissato a un perno girevole mantiene immodificato il suo piano di oscillazione. Quindi per un osservatore solidale al sistema Terrestre è il pendolo ad aver ruotato l'angolo di oscillazione (in senso contrario a quello della rotazione terrestre).
C'è qualcosa di sbagliato in quello che ho scritto?
Cosa accadrebbe se il pendolo non fosse fissato a un perno girevole ma fosse vincolato al tetto e quindi fosse solidale al sistema Terrestre?
Grazie in anticipo
tutti conosciamo il celebre esperimento del pendolo di Foucault eseguito al Pantheon di Parigi.
Leggendo questo su wikipedia mi sono confuso un po':
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Il mio dubbio nasce dal fatto che mi sembra di capire che la forza di Coriolis devii il pendolo, infatti io credevo che la spiegazione fosse questa:
Il pendolo è fissato a un PERNO GIREVOLE e in accordo con le leggi Newtoniane non modifica il suo piano oscillante. Poichè vi è un moto di rotazione Terrestre, la terra gira mentre il pendolo grazie al fatto di essere fissato a un perno girevole mantiene immodificato il suo piano di oscillazione. Quindi per un osservatore solidale al sistema Terrestre è il pendolo ad aver ruotato l'angolo di oscillazione (in senso contrario a quello della rotazione terrestre).
C'è qualcosa di sbagliato in quello che ho scritto?
Cosa accadrebbe se il pendolo non fosse fissato a un perno girevole ma fosse vincolato al tetto e quindi fosse solidale al sistema Terrestre?
Grazie in anticipo
Risposte
Quindi per un osservatore solidale al sistema Terrestre è il pendolo ad aver ruotato l'angolo di oscillazione (in senso contrario a quello della rotazione terrestre)
No, non è sbagliato , ma la frase sottolineata dovrebbe essere : " ...ruotato il piano di oscillazione ..."
Questo ragionamento , è valido quando tratti il moto del pendolo in un riferimento inerziale ( la Terra non lo è) , che per semplicità si può assumere , quando il pendolo è al Polo Nord , con origine nel punto di sospensione $O$ , sull'asse terrestre . Spostando il pendolo dalla posizione verticale , la forza peso $\vecP$ e la tensione $\vecT $ determinano l'equazione del moto :
$m*(d\vecv)/(dt) = \vecP + \vecT $ ------(1)
Scostando il pendolo dalla verticale , per dar luogo a piccole oscillazioni , la velocità relativa iniziale rispetto al laboratorio terrestre è nulla , e così è praticamente nulla la velocità di trascinamento perchè lo scostamento dall'asse è trascurabile .
Dunque la velocità iniziale assoluta è praticamente nulla . Allora , moltiplicando scalarmente i due membri dell'equazione per $(\vecr\times\vecP)$ ( dove $\vecr$ è il vettore (A-O) , essendo A la massa pendolare) , risulta che :
$ (\vecr\times\vecP)*m(d\vecv)/(dt) = (\vecr\times\vecP)*\vecP + (\vecr\times\vecP)*\vecT = 0 $ -----(2)
in quanto i due addendi al secondo membro sono entrambi nulli . Perciò si ha :
$ (d\vecv)/(dt)*(\vecr\times\vecP) = 0 $ ------(3)
Ora , se si esegue la derivata di $ \vecv*(\vecr\times\vecP) $ , si arriva al risultato che essa è nulla , tenendo presente la (3) . PErciò deve essere :
$ \vecv*(\vecr\times\vecP) = costante = 0 $ ------(4)
perchè inizialmente $\vecv_in = 0 $
Perciò , durante tutto il moto , deve essere : $ \vecv $ perpendicolare a $ (\vecr\times \vecP) $ ------(5)
Pertanto i vettori $\vecv , \vecr , \vecP $ sono complanari durante tutto il moto , e il moto avviene in un piano fisso nel riferimento inerziale scelto.
Agli stessi risultati si arriva trattando il problema in un sistema di riferimento non inerziale , solidale con la Terra . In questo caso occorre aggiungere le forze inerziali , cioè trascurando il termine in $\omega^2$ , si aggiunge la Forza di Coriolis ( terzo termine a lprimo membro ) , a cui è imputabile la rotazione del piano :
$ \vecP + \vecT -2m\vec\omega\times\vecv = m(d\vecv)/dt $
A scanso di equivoci , questa dimostrazione è quella del testo di Fisica di Mencuccini - Silvestrini.
Al di là delle spiegazioni formali, è il caso forse di chiarire che le due interpretazioni non sono in contrasto. Semplicemente, la prima è quella che darebbe un osservatore solidale alla superficie terrestre e pertanto non inerziale, la seconda è la spiegazione di un osservatore inerziale (per il quale la Terra gira sul suo asse).
La forza di Coriolis, in quanto forza apparente o forza d'inerzia, è significativa per il solo primo osservatore.
Per quanto riguarda la domanda relativa a come deve essere vincolato il pendolo, la questione è un po' di dettaglio (effettivamente spesso nei libri non viene chiarita). In pratica, dato che nel modello semplificato si assume che il pendolo sia ideale, anche la fune che collega il corpo puntiforme che oscilla al soffitto è ideale. Un filo ideale determina come unico vincolo (quando è teso) il mantenimento del punto a distanza fissa dal centro di rotazione (lo vincola a stare su una sfera ideale senza attrito). Nella realtà sperimentale il filo è un oggetto fisico (con dimensioni trasversali e deformabilità torsionale) che non può attorcigliarsi attorno al suo asse all'infinto. Pertanto, se l'esperimento dura poco (qualche ora) come sia effettivamente vincolato il filo al soffitto non è importante se il filo è sottile e abbastanza lungo. Viceversa, comincia a diventare importante se vuoi far compiere al piano di oscillazione molti giri rispetto alla Terra (esperimento che dura vari giorni). In questo caso al soffitto dovresti mettere uno snodo sferico in modo da non contrastare il fenomeno.
Spero di essere stato chiaro.
La forza di Coriolis, in quanto forza apparente o forza d'inerzia, è significativa per il solo primo osservatore.
Per quanto riguarda la domanda relativa a come deve essere vincolato il pendolo, la questione è un po' di dettaglio (effettivamente spesso nei libri non viene chiarita). In pratica, dato che nel modello semplificato si assume che il pendolo sia ideale, anche la fune che collega il corpo puntiforme che oscilla al soffitto è ideale. Un filo ideale determina come unico vincolo (quando è teso) il mantenimento del punto a distanza fissa dal centro di rotazione (lo vincola a stare su una sfera ideale senza attrito). Nella realtà sperimentale il filo è un oggetto fisico (con dimensioni trasversali e deformabilità torsionale) che non può attorcigliarsi attorno al suo asse all'infinto. Pertanto, se l'esperimento dura poco (qualche ora) come sia effettivamente vincolato il filo al soffitto non è importante se il filo è sottile e abbastanza lungo. Viceversa, comincia a diventare importante se vuoi far compiere al piano di oscillazione molti giri rispetto alla Terra (esperimento che dura vari giorni). In questo caso al soffitto dovresti mettere uno snodo sferico in modo da non contrastare il fenomeno.
Spero di essere stato chiaro.
MircoFN,
sei stato chiarissimo , come al solito .
Però credo che il 2° quesito posto fosse un altro , è cioè : se blocchiamo l'attacco del pendolo ( cioè lo snodo sferico ideale ) in modo tale da impedire che il pendolo oscilli liberamente in tutti i piani , quindi lo costringiamo a oscillare sempre nello stesso piano iniziale , che evidentemente ruota con la Terra , che tipo di moto descrive il pendolo stesso ?
sei stato chiarissimo , come al solito .
Però credo che il 2° quesito posto fosse un altro , è cioè : se blocchiamo l'attacco del pendolo ( cioè lo snodo sferico ideale ) in modo tale da impedire che il pendolo oscilli liberamente in tutti i piani , quindi lo costringiamo a oscillare sempre nello stesso piano iniziale , che evidentemente ruota con la Terra , che tipo di moto descrive il pendolo stesso ?
Grazie, in effetti il mio dubbio è proprio quello che ha scritto navigatore nell'ultimo post!
Avrei anche un'altra domanda (scusatemi ;D):
Ho letto che prima del pendolo di Foucault Galileo ebbe la prima ""conferma"" del suo presentimento riguardo la rotazione terrestre facendo cadere dalla torre di Pisa delle biglie e vedendo che il punto di impatto sul terreno era leggermento discostato dalla verticale. Quindi mentre cadevano le biglie la terra aveva ruotato! Successivamente Newton rifece lo stesso esperimento raggiungendo risultati migliori.
Il mio dubbio è questo:
Chiamiamo $S$ il sistema di riferimento inerziale e $S_t$ il sistema di riferimento terrestre.
$S_t$ sappiamo che si muove di moto circolare uniforme rispetto ad $S$.
Galileo ha in mano le sue biglie e si trovano giustamente nel sistema $S_t$ e dunque rispetto al sistema $S$ sia Galileo che le biglie hanno una certa velocità pari a quella di rotazione terrestre $omegaR$.
Quando Galileo lascia le biglie è vero che rispetto a $S$ inerziale $S_t$ ruota ma anche le biglie lanciate hanno la stessa velocità di rotazione!!
Quindi Galileo dovrebbe proprio trovare le biglie sulla verticale, invece le avrebbe trovate discostate dalla verticale nel caso non avessero avuto una velocità di rotazione (ovvero se Galileo fosse stato al momento del lancio in un sistema inerziale solidale a $S$)! ??
Non è così??
Grazie in anticipo
Avrei anche un'altra domanda (scusatemi ;D):
Ho letto che prima del pendolo di Foucault Galileo ebbe la prima ""conferma"" del suo presentimento riguardo la rotazione terrestre facendo cadere dalla torre di Pisa delle biglie e vedendo che il punto di impatto sul terreno era leggermento discostato dalla verticale. Quindi mentre cadevano le biglie la terra aveva ruotato! Successivamente Newton rifece lo stesso esperimento raggiungendo risultati migliori.
Il mio dubbio è questo:
Chiamiamo $S$ il sistema di riferimento inerziale e $S_t$ il sistema di riferimento terrestre.
$S_t$ sappiamo che si muove di moto circolare uniforme rispetto ad $S$.
Galileo ha in mano le sue biglie e si trovano giustamente nel sistema $S_t$ e dunque rispetto al sistema $S$ sia Galileo che le biglie hanno una certa velocità pari a quella di rotazione terrestre $omegaR$.
Quando Galileo lascia le biglie è vero che rispetto a $S$ inerziale $S_t$ ruota ma anche le biglie lanciate hanno la stessa velocità di rotazione!!
Quindi Galileo dovrebbe proprio trovare le biglie sulla verticale, invece le avrebbe trovate discostate dalla verticale nel caso non avessero avuto una velocità di rotazione (ovvero se Galileo fosse stato al momento del lancio in un sistema inerziale solidale a $S$)! ??
Non è così??
Grazie in anticipo
...... Quindi mentre cadevano le biglie la terra aveva ruotato!....
A prima vista , si potrebbe ingenuamente pensare che , siccome la Terra ruota da Ovest verso Est , nel tempo impiegato dalla biglia a cadere la Terra si sia spostata sotto di essa , e quindi la biglia a terra dovrebbe trovarsi a "Ovest" del punto in verticale sotto il punto di rilascio alla cima della torre....
E invece , guarda un pò , succede che ,nell'emisfero Nord, proprio per la accelerazione di Coriolis , il punto di impatto si trova spostato più ad Est , cioè dove uno non se lo aspetterebbe ! MA per vederlo ,bisogna fare una trattazione analitica - vettoriale del moto ...
La deviazione verso Est è data da : $ 1/3*((2h)/g)^(3/2)*g*\omega* cos\phi $
dove $h$ è l'altezza e $\phi$ la latitudine . Ovviamente , all'equatore l'effetto è massimo .
Una spiegazione 'inerziale' è abbastanza facile. Quando lasci il corpo in caduta (se non sei al polo) la sua velocità periferica verso est è un po' maggiore di quella del punto a terra sulla sua verticale perché il corpo è necessariamente un po' più lontano dall'asse di rotazione.
Questa differenza di velocità si conserva nel tempo di caduta e produce un apparente spostamento verso est della traiettoria (sia nell'emisfero boreale sia in quello australe).
Ovviamente, il calcolo non considera l'effetto dell'aria che anche a vento nullo è trascinata dalla Terra e influenza il fenomeno. In ipotesi ideali, qualche tempo fa, ho calcolato che se Galileo, come dice la leggenda, avesse fatto l'esperimento dalla Torre di Pisa l'effetto sarebbe stato dell'ordine del millimetro (spero di non ricordare male, ma il calcolo lo puoi fare per esercizio). Dubito quindi che all'epoca avesse gli strumenti per verificarlo.
Molte di queste sono leggende. Per esempio, il famoso pendolo del Duomo che Galilei avrebbe usato per identificare la legge dell'isocronismo (forse annoiato dalla predica del vescovo) è in realtà stato messo in opera dopo la sua morte.
Questa differenza di velocità si conserva nel tempo di caduta e produce un apparente spostamento verso est della traiettoria (sia nell'emisfero boreale sia in quello australe).
Ovviamente, il calcolo non considera l'effetto dell'aria che anche a vento nullo è trascinata dalla Terra e influenza il fenomeno. In ipotesi ideali, qualche tempo fa, ho calcolato che se Galileo, come dice la leggenda, avesse fatto l'esperimento dalla Torre di Pisa l'effetto sarebbe stato dell'ordine del millimetro (spero di non ricordare male, ma il calcolo lo puoi fare per esercizio). Dubito quindi che all'epoca avesse gli strumenti per verificarlo.
Molte di queste sono leggende. Per esempio, il famoso pendolo del Duomo che Galilei avrebbe usato per identificare la legge dell'isocronismo (forse annoiato dalla predica del vescovo) è in realtà stato messo in opera dopo la sua morte.
Ah capito,
comunque Galileo credeva che la deviazione sarebbe stata verso Ovest come se fosse stata lanciata in un sistema inerziale oppure verso Est?
comunque Galileo credeva che la deviazione sarebbe stata verso Ovest come se fosse stata lanciata in un sistema inerziale oppure verso Est?
In un bellissimo dialogo Galileiano c'è la descrizione del moto delle mosche all'interno di un nave che si muove in mare calmo per spiegare il principo d'inerzia. Dubito che Galileo potesse quindi scivolare su una buccia di banana così evidente e pensare che il corpo dovesse cadere verso ovest.
Grazie mille veramente, molto interessante!
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