Quesito sulle onde sonore
Salve ragazzi, il quesito è questo: "Avendo una stanza vuota, con nessuna mobilia, e due altoparlanti ai lati della stanza, esiste un punto della suddetta in cui non vi è suono?"
Non ho alcuna informazione riguardante la forma della stanza.
Io ho pensato che, essendo il suono un'onda e non avendo a disposizione nessuna informazione riguardante la grandezza della stanza, supponendo che le sorgenti oscillino in maniera tale che la differenza di fase sia costante, per il principio di sovrapposizione delle onde esisterà almeno un punto in cui si verifica un'interferenza distruttiva.
Tutto non considerando il rimbombo. Voi che ne pensate?
Non ho alcuna informazione riguardante la forma della stanza.
Io ho pensato che, essendo il suono un'onda e non avendo a disposizione nessuna informazione riguardante la grandezza della stanza, supponendo che le sorgenti oscillino in maniera tale che la differenza di fase sia costante, per il principio di sovrapposizione delle onde esisterà almeno un punto in cui si verifica un'interferenza distruttiva.
Tutto non considerando il rimbombo. Voi che ne pensate?
Risposte
In tuitivamente mi trovo a darTi ragione, ma forse vale la penas di fare qualche considerazione a partire dallalegge oraria
$ y_d(x,t)=f(x-vt) $ per un onda che si muove verso destra ( asse orientato da sinistra a destra)
$ y_s(x,t)=f(x+vt) $ per un onda che si muove verso sinistra
affinché non ci sia suono deve essere $ y_d +y_s=0 $
Se la stanza è larga L
$ f(x-vt) + f(L+(x+vt)) = 0$
mi avventuro in qualche calcolo acrobatico
$ f(x-vt) = - f(L+(x+vt)) $
se f è invertibile
$ f^-1(f(x-vt) = - f^-1(f(L+(x+vt))) $
$ x-vt =-( L+(x+vt)) $
$ x-vt =- L-(x+vt) $
da cui $ x=L/2 $
quindi, se non ho scritto corbellerie, al centro della atanza dovresti avere silenzio.
In verità se le onde sono periodiche mi aspetterei più punti. puoi provare per esempio con un onda sinusoidale
$ y_d(x,t)=f(x-vt) $ per un onda che si muove verso destra ( asse orientato da sinistra a destra)
$ y_s(x,t)=f(x+vt) $ per un onda che si muove verso sinistra
affinché non ci sia suono deve essere $ y_d +y_s=0 $
Se la stanza è larga L
$ f(x-vt) + f(L+(x+vt)) = 0$
mi avventuro in qualche calcolo acrobatico
$ f(x-vt) = - f(L+(x+vt)) $
se f è invertibile
$ f^-1(f(x-vt) = - f^-1(f(L+(x+vt))) $
$ x-vt =-( L+(x+vt)) $
$ x-vt =- L-(x+vt) $
da cui $ x=L/2 $
quindi, se non ho scritto corbellerie, al centro della atanza dovresti avere silenzio.
In verità se le onde sono periodiche mi aspetterei più punti. puoi provare per esempio con un onda sinusoidale
"Skylarry":
In tuitivamente mi trovo a darTi ragione, ma forse vale la penas di fare qualche considerazione a partire dallalegge oraria
$ y_d(x,t)=f(x-vt) $ per un onda che si muove verso destra ( asse orientato da sinistra a destra)
$ y_s(x,t)=f(x+vt) $ per un onda che si muove verso sinistra
affinché non ci sia suono deve essere $ y_d +y_s=0 $
Se la stanza è larga L
$ f(x-vt) + f(L+(x+vt)) = 0$
mi avventuro in qualche calcolo acrobatico
$ f(x-vt) = - f(L+(x+vt)) $
se f è invertibile
$ f^-1(f(x-vt) = - f^-1(f(L+(x+vt))) $
$ x-vt =-( L+(x+vt)) $
$ x-vt =- L-(x+vt) $
da cui $ x=L/2 $
quindi, se non ho scritto corbellerie, al centro della atanza dovresti avere silenzio.
In verità se le onde sono periodiche mi aspetterei più punti. puoi provare per esempio con un onda sinusoidale
Posso farti delle domande? Che cosa intendi per $f$? E perché hai scritto $f(L+(x+vt))$? Nel senso, perché inserisci $L$ proprio lì?
f è la generica funzione che descrive l'onda (non è necessariamente sinusoidale).
$ f(L+(x+vt)) $ rappresenta l'onda regressiva che ha origine nel punto X= L
$ f(L+(x+vt)) $ rappresenta l'onda regressiva che ha origine nel punto X= L
"Skylarry":
f è la generica funzione che descrive l'onda (non è necessariamente sinusoidale).
$ f(L+(x+vt)) $ rappresenta l'onda regressiva che ha origine nel punto X= L
Scusa l'ignoranza, ma come posso giustificare il fatto che alla normale equazione dell'onda $ f(x+vt) $ aggiungo $L$
Poi perché serve che le due funzioni siano invertibili? Ponendo $ f=f $ non potrei già semplificare?
"poppilop":
[quote="Skylarry"]f è la generica funzione che descrive l'onda (non è necessariamente sinusoidale).
$ f(L+(x+vt)) $ rappresenta l'onda regressiva che ha origine nel punto X= L
Scusa l'ignoranza, ma come posso giustificare il fatto che alla normale equazione dell'onda $ f(x+vt) $ aggiungo $L$
Poi perché serve che le due funzioni siano invertibili? Ponendo $ f=f $ non potrei già semplificare?[/quote]
Scrivendo l'onda come $y=Asin(2pi)(t/T-x/(\lambda))$
Ragazzi, non credo proprio che ci possa essere un punto al centro della stanza dove c'è silenzio. Le onde sonore non sono onde piane, sono onde longitudinali sferiche, no? E si propagano in tutte le direzioni, quindi sono riflesse da tutte e sei le pareti della stanza, e non una volta sola.
"navigatore":
Ragazzi, non credo proprio che ci possa essere un punto al centro della stanza dove c'è silenzio. Le onde sonore non sono onde piane, sono onde longitudinali sferiche, no? E si propagano in tutte le direzioni, quindi sono riflesse da tutte e sei le pareti della stanza, e non una volta sola.
Si, sono sferiche longitudinali, però non ho alcuna informazione sulle pareti e/o sulla forma. Essendo però delle onde posso applicare il principio di sovrapposizione per il quale un punto ci dovrebbe essere. O erro?
Io dico semplicemente che non lo ritengo fisicamente possibile, ma lo dico "a sensazione". E non sprecherei tempo e fatica per trovare una soluzione matematica col principio di sovrapposizione.
"navigatore":
Io dico semplicemente che non lo ritengo fisicamente possibile, ma lo dico "a sensazione". E non sprecherei tempo e fatica per trovare una soluzione matematica col principio di sovrapposizione.
Purtroppo è un compito che mi è stato assegnato. Ho pagine piene di scarabocchi a riguardo, ma ancora non riesco a dimostrare che il punto $x=L/2$
"Skylarry":
In tuitivamente mi trovo a darTi ragione, ma forse vale la penas di fare qualche considerazione a partire dallalegge oraria
$ y_d(x,t)=f(x-vt) $ per un onda che si muove verso destra ( asse orientato da sinistra a destra)
$ y_s(x,t)=f(x+vt) $ per un onda che si muove verso sinistra
affinché non ci sia suono deve essere $ y_d +y_s=0 $
Se la stanza è larga L
$ f(x-vt) + f(L+(x+vt)) = 0$
mi avventuro in qualche calcolo acrobatico
$ f(x-vt) = - f(L+(x+vt)) $
se f è invertibile
$ f^-1(f(x-vt) = - f^-1(f(L+(x+vt))) $
$ x-vt =-( L+(x+vt)) $
$ x-vt =- L-(x+vt) $
da cui $ x=L/2 $
quindi, se non ho scritto corbellerie, al centro della atanza dovresti avere silenzio.
In verità se le onde sono periodiche mi aspetterei più punti. puoi provare per esempio con un onda sinusoidale
In questo caso però $x=-L/2$ Pensi vada bene lo stesso?
Navigatore hai certamente ragione, ma è pura teoria per fare un esercizio
Scusa l'ignoranza, ma come posso giustificare il fatto che alla normale equazione dell'onda $ f(x+vt) $ aggiungo $L$
Poi perché serve che le due funzioni siano invertibili? Ponendo $ f=f $ non potrei già semplificare?[/quote]
Scrivendo l'onda come $y=Asin(2pi)(t/T-x/(\lambda))$[/quote]
poppolop, se orienti un asse di riferimento da una cassa all'altra qual'è il punto di origine delle onde?
una avrà origine nel punto 0 l'altra nel punto L.
Se le funzioni non sono invertibili non puoi fare l'inverso della funzione.
Scrivendo l'onda progressiva come $y_1=Asin((2k\pi)(t/T-x/(\lambda)))$ , l'onda regressiva sarà $y_2=Asin((2k\pi)(t/T+x/(\lambda)))$
in particolare da dove ha origine l'onda regressiva? Dal punto L quindi $y_2=Asin((2k\pi)(t/T+x/(\lambda)+L))$
ora devi trovare in quale punto $y_1+y_2=0$
$Asin((2k\pi)(t/T-x/(\lambda)))=-Asin((2k_1\pi)(t/T+x/(\lambda)+L))$
$sin((2k\pi)(t/T-x/(\lambda)))=-sin((2k_1\pi)(t/T+x/(\lambda)+L))$
Qu fai attenzione perché per invertire il seno devi restringere il dominio
$(2k\pi)(t/T-x/(\lambda))=-(2k_1\pi)(t/T+x/(\lambda)+L)$
$k(t/T-x/(\lambda))=-k_1(t/T+x/(\lambda)+L)$
$k(t\lambda-xT)=-k_1(t\lambda+xT+L\lambdaT)$
$-kxT-k_1xT=-k_1(t\lambda+L\lambdaT)+ k(t\lambda)$
$-kx-k_1x=-k_1/T (t\lambda+L\lambdaT)+ k(t\lambda)$
$x=-k_1/(T(-k-k_1)) (t\lambda+L\lambdaT)+ k(t\lambda)$
con k e $k_1$ numeri naturali.Hai infiniti punti in cui la teroia prevederebbe il silenzio inteso interferenza distruttiva in opposizione di fase.
"poppilop":
[quote="poppilop"][quote="Skylarry"]f è la generica funzione che descrive l'onda (non è necessariamente sinusoidale).
$ f(L+(x+vt)) $ rappresenta l'onda regressiva che ha origine nel punto X= L
Scusa l'ignoranza, ma come posso giustificare il fatto che alla normale equazione dell'onda $ f(x+vt) $ aggiungo $L$
Poi perché serve che le due funzioni siano invertibili? Ponendo $ f=f $ non potrei già semplificare?[/quote]
Scrivendo l'onda come $y=Asin(2pi)(t/T-x/(\lambda))$[/quote]
poppolop, se orienti un asse di riferimento da una cassa all'altra qual'è il punto di origine delle onde?
una avrà origine nel punto 0 l'altra nel punto L.
Se le funzioni non sono invertibili non puoi fare l'inverso della funzione.
Scrivendo l'onda progressiva come $y_1=Asin((2k\pi)(t/T-x/(\lambda)))$ , l'onda regressiva sarà $y_2=Asin((2k\pi)(t/T+x/(\lambda)))$
in particolare da dove ha origine l'onda regressiva? Dal punto L quindi $y_2=Asin((2k\pi)(t/T+x/(\lambda)+L))$
ora devi trovare in quale punto $y_1+y_2=0$
$Asin((2k\pi)(t/T-x/(\lambda)))=-Asin((2k_1\pi)(t/T+x/(\lambda)+L))$
$sin((2k\pi)(t/T-x/(\lambda)))=-sin((2k_1\pi)(t/T+x/(\lambda)+L))$
Qu fai attenzione perché per invertire il seno devi restringere il dominio
$(2k\pi)(t/T-x/(\lambda))=-(2k_1\pi)(t/T+x/(\lambda)+L)$
$k(t/T-x/(\lambda))=-k_1(t/T+x/(\lambda)+L)$
$k(t\lambda-xT)=-k_1(t\lambda+xT+L\lambdaT)$
$-kxT-k_1xT=-k_1(t\lambda+L\lambdaT)+ k(t\lambda)$
$-kx-k_1x=-k_1/T (t\lambda+L\lambdaT)+ k(t\lambda)$
$x=-k_1/(T(-k-k_1)) (t\lambda+L\lambdaT)+ k(t\lambda)$
con k e $k_1$ numeri naturali.Hai infiniti punti in cui la teroia prevederebbe il silenzio inteso interferenza distruttiva in opposizione di fase.
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