Quesito piuttosto banale
Tre sferette conduttrici identiche di massa m sono sospese nel vuoto ad un punto comune mediante fili non conduttori identici di lunghezza l.A ciascuna di esse si comunica la stessa carica elettrica q.
Per quale ragione esse si dispongono all’equilibrio ai vertici di un triangolo equilatero? Scrivere la relazione tra il lato di tale triangolo, la massa m, la carica elettrica q delle palline,e la lunghezza l dei fili trascurando il loro peso.Applicare la relazione al caso m=0,5grammi,l=1metro,q=10 franklin.
Si dia una dimostrazione del tutto rigorosa sul perché della disposizione a triangolo isoscele
Per quale ragione esse si dispongono all’equilibrio ai vertici di un triangolo equilatero? Scrivere la relazione tra il lato di tale triangolo, la massa m, la carica elettrica q delle palline,e la lunghezza l dei fili trascurando il loro peso.Applicare la relazione al caso m=0,5grammi,l=1metro,q=10 franklin.
Si dia una dimostrazione del tutto rigorosa sul perché della disposizione a triangolo isoscele
Risposte
Il problema è semplice ma istruttivo perché consente di apprendere un metodo molto generale per individuare le configurazioni di equilibrio della gran parte dei sistemi fisici di interesse (con vincoli scleronomi e sottoposti a sollecitazioni conservative).
Si tratta di scrivere in funzione della posizione delle cariche (in generale in funzione delle coordinate generalizzate che identificano la configurazione del sistema) l'espressione dell'energia potenziale del sistema, poi, per il principio variazionale, si minimizza questa energia, i valori delle coordinate in corrispondenza delle quali l'energia risulta minima sono le condizioni di equilibrio.
Si tratta di scrivere in funzione della posizione delle cariche (in generale in funzione delle coordinate generalizzate che identificano la configurazione del sistema) l'espressione dell'energia potenziale del sistema, poi, per il principio variazionale, si minimizza questa energia, i valori delle coordinate in corrispondenza delle quali l'energia risulta minima sono le condizioni di equilibrio.
se hai tempo potresti darmi un abbozzo di soluzione??
Non sono molto pratico con il principio di variazione e sono riuscito a risolvere il quesito solo per via intuitiva
grazie
Non sono molto pratico con il principio di variazione e sono riuscito a risolvere il quesito solo per via intuitiva
grazie
Scusa se non curo la forma.
La questione è semplice: per il primo punto trascuriamo l'effetto che l'energia della forza peso ha sul sistema, in quanto altro non farà che abbassare la quota delle tre cariche le quali per ragioni di simmetria saranno complanari; l'energia di ogni singola particella è data dal potenziale elettrostatico generato in quel punto dalle altre due cariche moltiplicato per la carica; ovviamente le cariche avranno distanza eguale dal centro (tenderanno i fili al massimo, in modo che le tensione di essi equilibri la componente radiale della forza repulsiva data dalle altre cariche) quindi le variabili saranno l'angolo formato da due delle cariche con la terza che supponiamo arbitrariamente fissa nell'origine (ciò evidentemente non toglie generalità al problema). Ancora per ragioni di simmetria questi due angoli dovranno essere uguali, dunque le variabili si riducono a una.
In funzione di questo angolo scriviamo l'espressione dell'energia totale del sistema data dalla somma delle energie delle singole cariche, che, perdonami, per pigrizia non scrivo.
Ora si tratta di minimizzare questo valore, derivando rispetto all'unica variabile e ponendo la derivata uguale a zero (del resto se ci pensi la derivata dell'energia rispetto alla posizione è la forza, e noi stiamo imponendo che la forza sia zero, cioè che il sistema si trovi all'equilibrio).
Il valore dell'angolo trovato in questo modo dovrebbe essere pigreco/3.
La questione è semplice: per il primo punto trascuriamo l'effetto che l'energia della forza peso ha sul sistema, in quanto altro non farà che abbassare la quota delle tre cariche le quali per ragioni di simmetria saranno complanari; l'energia di ogni singola particella è data dal potenziale elettrostatico generato in quel punto dalle altre due cariche moltiplicato per la carica; ovviamente le cariche avranno distanza eguale dal centro (tenderanno i fili al massimo, in modo che le tensione di essi equilibri la componente radiale della forza repulsiva data dalle altre cariche) quindi le variabili saranno l'angolo formato da due delle cariche con la terza che supponiamo arbitrariamente fissa nell'origine (ciò evidentemente non toglie generalità al problema). Ancora per ragioni di simmetria questi due angoli dovranno essere uguali, dunque le variabili si riducono a una.
In funzione di questo angolo scriviamo l'espressione dell'energia totale del sistema data dalla somma delle energie delle singole cariche, che, perdonami, per pigrizia non scrivo.
Ora si tratta di minimizzare questo valore, derivando rispetto all'unica variabile e ponendo la derivata uguale a zero (del resto se ci pensi la derivata dell'energia rispetto alla posizione è la forza, e noi stiamo imponendo che la forza sia zero, cioè che il sistema si trovi all'equilibrio).
Il valore dell'angolo trovato in questo modo dovrebbe essere pigreco/3.
La risultante $vec(R)$ delle forze di repulsione che ciascuna sferetta
subisce dalle rimanenti 2 e' in modulo (vedi fig.1):
$R=sqrt((k^2q^2)/(r^4)+(k^2q^2)/(r^4)-2(k^2q^2)/(r^4)cos120°)=(kq^2)/(r^2)sqrt3$
dove $k=1/(4piepsilon_o)$
All'equilibrio, per ogni sferetta la risultante tra $vec(R)$ ed il suo peso $vec(P)$ e' diretta secondo il filo e le tre risultanti s'incontrano idealmente in V (vedi fig.2)
in modo da formare un tetraedro di base il triangolo equilatero.
Evidentemente risulta:
$bar(AO)=r/(sqrt3),bar(VO)=sqrt(l^2-(r^2)/3$
Dalla similitudine dei triangoli AMN e VAO (fig.3) si ha:
$(bar(AM))/(bar(MN))=(bar(AO))/(bar(VO))$
Ovvero :
$R/P=(r//(sqrt3))/(sqrt(l^2-(r^2)/3)$
Da cui,tenuto conto del valore di R e di P si ha la richiesta relazione:
$mgr^3=kq^2sqrt(9l^2-3r^2)$
Che le 3 sferette si debbano disporre ai vertici di un triangolo equilatero
(giacente in un piano orizzontale) lo si puo' elementarmente provare
osservando che una qualsiasi altra configurazione (per es. a triangolo isoscele)
attribuirebbe a qualcuna delle tre sferette una diversa incidenza nell'equilibrio
e cio' e' escluso dalla completa equivalenza delle sferette in peso,carica e lunghezza
dei fili che le sorreggono.
Spero di non aver fatto errori.
karl
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