Quesito moto armonico
Buonasera a tutti,
ho un problema con il seguente esercizio:
Un corpo si muove di moto armonico unidimensionale, con una frequenza angolare $\omega$. Sapendo che posizione e velocità iniziali sono dati da $x(t = 0) = a, v(t = 0) = b$, la sua legge oraria è data a $x(t)=A sin((\omega)t+\phi)$, calcolare $A$ e $tan(\phi)$.
Purtroppo i miei appunti sull'argomento sono piuttosto criptici e scarni tanto da non conferirmi le conoscenze necessarie per riuscire a risolvere l'esercizio.
Ho cercato sui libri che ho e credo di aver trovato il modo per calcolarmi $tan(\phi)$ che dovrebbe essere:
$tan(\phi) = (v(0))/(x(0)) = (b/a)( \omega )$
Non sono riuscita però a capire come calcolarmi l'ampiezza $A$.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille
ho un problema con il seguente esercizio:
Un corpo si muove di moto armonico unidimensionale, con una frequenza angolare $\omega$. Sapendo che posizione e velocità iniziali sono dati da $x(t = 0) = a, v(t = 0) = b$, la sua legge oraria è data a $x(t)=A sin((\omega)t+\phi)$, calcolare $A$ e $tan(\phi)$.
Purtroppo i miei appunti sull'argomento sono piuttosto criptici e scarni tanto da non conferirmi le conoscenze necessarie per riuscire a risolvere l'esercizio.
Ho cercato sui libri che ho e credo di aver trovato il modo per calcolarmi $tan(\phi)$ che dovrebbe essere:
$tan(\phi) = (v(0))/(x(0)) = (b/a)( \omega )$
Non sono riuscita però a capire come calcolarmi l'ampiezza $A$.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
Ciao @N3L4N17 !
Noto che è il tuo primo messaggio, per cui ti do il benvenuto su questo forum, dove sono sicuro troverai tantissime persone pronte ad aiutarti !
Purtroppo per te, però, a questa domanda ti rispondo io
. Scherzo, ovviamente, e spero di riuscire a chiarire i tuoi dubbi.
Allora, cominciamo dalla risposta a $tan(phi)$. Mi pare che tu abbia invertito a e b e che la formula giusta sia $tan(phi)=a/b*omega$, ma vediamo come ricavarcela. Dovresti sapere che la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo (se non lo sai perché non hai ancora fatto le derivate non preoccuparti, te lo dico io, ma solo per completezza), per cui $v(t)=(dx(t))/(dt)=omega*Acos(wt+phi)$. Se ancora non hai fatto le derivate non importa, perché sicuramente questa formula nel moto armonico l'hai vista. A questo punto mettiamo insieme la legge oraria e la formula della velocità in un sistema:
dove ho già sostituito ad x, t e v i valori iniziali dati, rispettivamente a, 0 e b.
Ora, dividendo la prima per la seconda si ha:$sin(phi)/(omegacos(phi))=a/b->tan(phi)=a/b*omega$ ed abbiamo trovato $tan(phi)$. A questo punto, per trovare A, scegliamo una delle due equazioni del sistema e la ricaviamo (il sistema è a due equazioni in due incognite, $A$ e $phi$, per cui, trovata la $tan(phi)$ conosciamo anche $phi$ attraverso l'arcotangente): scegliendo la prima equazione si ha: $A=a/sin(phi)=a/sin(arctan(a/b*omega))$. Ora, questo è già un risultato, ma le formule goniometriche ci permettono di scriverlo ancora meglio, poiché sappiamo che $sin(arctan(x))=x/sqrt(1+x^2)$ per cui, nel nostro caso si ha $sin(arctan(a/b*omega))=(a/b*omega)/sqrt(1+a^2/b^2*omega^2)$ per cui la formula precedente diventa $A=a/((a/b*omega)/sqrt(1+a^2/b^2*omega^2))=(b*sqrt(1+a^2/b^2*omega^2))/omega$, sperando di aver fatto bene tutti i calcoli
.
Un suggerimento: quando ottieni una formula della quale non sei sicura, come ad esempio quella della tangente in cui hai invertito numeratore e denominatore, fai l'analisi dimensionale, che a me personalmente torna spesso utilissima e ti fa capire se la formula che hai scritto può avere senso o no. Prendiamo il tuo caso, hai scritto $tan(phi)=b/a*omega$. L'analisi dimensionale ci dice che a è una posizione e b una velocità, per cui si ha: $tan(phi)=[m/s]/[m]*[(rad)/s]=[rad*m^2/s^2]$, chiaramente non un'unità di misura di una tangente che è adimensionale; facendo invece l'analisi dimensionale della formula corretta si ha $tan(phi)=a/b*omega=[m]/[m/s]*[(rad)/s]=\text(numero puro)$, essendo il radiante adimensionale.
Spero di essere stato chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
Noto che è il tuo primo messaggio, per cui ti do il benvenuto su questo forum, dove sono sicuro troverai tantissime persone pronte ad aiutarti !
Purtroppo per te, però, a questa domanda ti rispondo io
. Scherzo, ovviamente, e spero di riuscire a chiarire i tuoi dubbi.Allora, cominciamo dalla risposta a $tan(phi)$. Mi pare che tu abbia invertito a e b e che la formula giusta sia $tan(phi)=a/b*omega$, ma vediamo come ricavarcela. Dovresti sapere che la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo (se non lo sai perché non hai ancora fatto le derivate non preoccuparti, te lo dico io, ma solo per completezza), per cui $v(t)=(dx(t))/(dt)=omega*Acos(wt+phi)$. Se ancora non hai fatto le derivate non importa, perché sicuramente questa formula nel moto armonico l'hai vista. A questo punto mettiamo insieme la legge oraria e la formula della velocità in un sistema:
${ ( Asin(phi)=a ),( wAcos(phi)=b ):}$
dove ho già sostituito ad x, t e v i valori iniziali dati, rispettivamente a, 0 e b.
Ora, dividendo la prima per la seconda si ha:$sin(phi)/(omegacos(phi))=a/b->tan(phi)=a/b*omega$ ed abbiamo trovato $tan(phi)$. A questo punto, per trovare A, scegliamo una delle due equazioni del sistema e la ricaviamo (il sistema è a due equazioni in due incognite, $A$ e $phi$, per cui, trovata la $tan(phi)$ conosciamo anche $phi$ attraverso l'arcotangente): scegliendo la prima equazione si ha: $A=a/sin(phi)=a/sin(arctan(a/b*omega))$. Ora, questo è già un risultato, ma le formule goniometriche ci permettono di scriverlo ancora meglio, poiché sappiamo che $sin(arctan(x))=x/sqrt(1+x^2)$ per cui, nel nostro caso si ha $sin(arctan(a/b*omega))=(a/b*omega)/sqrt(1+a^2/b^2*omega^2)$ per cui la formula precedente diventa $A=a/((a/b*omega)/sqrt(1+a^2/b^2*omega^2))=(b*sqrt(1+a^2/b^2*omega^2))/omega$, sperando di aver fatto bene tutti i calcoli
.Un suggerimento: quando ottieni una formula della quale non sei sicura, come ad esempio quella della tangente in cui hai invertito numeratore e denominatore, fai l'analisi dimensionale, che a me personalmente torna spesso utilissima e ti fa capire se la formula che hai scritto può avere senso o no. Prendiamo il tuo caso, hai scritto $tan(phi)=b/a*omega$. L'analisi dimensionale ci dice che a è una posizione e b una velocità, per cui si ha: $tan(phi)=[m/s]/[m]*[(rad)/s]=[rad*m^2/s^2]$, chiaramente non un'unità di misura di una tangente che è adimensionale; facendo invece l'analisi dimensionale della formula corretta si ha $tan(phi)=a/b*omega=[m]/[m/s]*[(rad)/s]=\text(numero puro)$, essendo il radiante adimensionale.
Spero di essere stato chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
Ciao @BayMax
Grazie mille per il benvenuto e per la risposta molto più che esaustiva
Ti dirò che le derivate le ho già studiate, ciò nonostante, questo argomento mi ha gettato nella confusione più totale.
Si tratta di un esame di fisica estremamente vasto che comprende meccanica, termodinamica, elettrostatica ed elettromagnetismo ed il professore è a dir poco sibillino nelle spiegazioni. Purtroppo nei libri , troppo spesso, non si trova materiale sufficiente a chiarire le idee tant'è che quella formula della tangente l'ho trovata sul libro "Halliday, Resnick, Walker" in un esercizio svolto. Magari ho frainteso io qualcosa ma la formula era scritta in questo modo.
Sicuramente in futuro, grazie al tuo suggerimento sull'analisi dimensionale, potrò verificare immediatamente l'esattezza/inesattezza di una formula utilizzata.
Volevo chiederti, giacché sei stato infinitamente illuminante con la tua spiegazione circa il mio quesito, se puoi suggerirmi un un testo su cui poter studiare.
Grazie ancora
Grazie mille per il benvenuto e per la risposta molto più che esaustiva
Ti dirò che le derivate le ho già studiate, ciò nonostante, questo argomento mi ha gettato nella confusione più totale.
Si tratta di un esame di fisica estremamente vasto che comprende meccanica, termodinamica, elettrostatica ed elettromagnetismo ed il professore è a dir poco sibillino nelle spiegazioni. Purtroppo nei libri , troppo spesso, non si trova materiale sufficiente a chiarire le idee tant'è che quella formula della tangente l'ho trovata sul libro "Halliday, Resnick, Walker" in un esercizio svolto. Magari ho frainteso io qualcosa ma la formula era scritta in questo modo.
Sicuramente in futuro, grazie al tuo suggerimento sull'analisi dimensionale, potrò verificare immediatamente l'esattezza/inesattezza di una formula utilizzata.
Volevo chiederti, giacché sei stato infinitamente illuminante con la tua spiegazione circa il mio quesito, se puoi suggerirmi un un testo su cui poter studiare.
Grazie ancora
Ciao BayMax
solo stasera sono riuscita a rivedere l'esercizio e se non ho sbagliato i conti mi trovo $\sqrt{b^2+a^2\omega^2}/\omega$
Il problema è che non corrisponde a nessuna delle soluzioni proposte dall'esercizio... che sono:
1 $A=\sqrt[a^2+(b^2)/\omega^2]$
2 $A=\sqrt[b^2+(a^2)/\omega^2]$
3 $A=\sqrt[a^2+b^2]$
Scusatemi ma questo esercizio mi sta letteralmente giustiziando i neuroni
solo stasera sono riuscita a rivedere l'esercizio e se non ho sbagliato i conti mi trovo $\sqrt{b^2+a^2\omega^2}/\omega$
Il problema è che non corrisponde a nessuna delle soluzioni proposte dall'esercizio... che sono:
1 $A=\sqrt[a^2+(b^2)/\omega^2]$
2 $A=\sqrt[b^2+(a^2)/\omega^2]$
3 $A=\sqrt[a^2+b^2]$
Scusatemi ma questo esercizio mi sta letteralmente giustiziando i neuroni
"N3L4N17":Sicura?
... non corrisponde a nessuna delle soluzioni proposte dall'esercizio...
Ciao Palliit,
è chiaro che tu non la pensi così.
Che ne dici se la prossima volta rendi direttamente manifesto il tuo pensiero bypassando domande retoriche?
Dando per scontato che sono in errore la tua domanda certo non mi aiuta a capire dove ho sbagliato...
è chiaro che tu non la pensi così.
Che ne dici se la prossima volta rendi direttamente manifesto il tuo pensiero bypassando domande retoriche?
Dando per scontato che sono in errore la tua domanda certo non mi aiuta a capire dove ho sbagliato...
Forse voleva dirti che non sei in errore ... ma solo essere più riflessiva
Ciao axpgn
mi spiace se ho frainteso.
Comunque i risultati forniti come possibili soluzioni dell'esercizio sono quelli e seguendo il ragionamento di BayMax, per me più che giusto, non riesco a trovarmi nessuno dei suddetti risultati.
mi spiace se ho frainteso.
Comunque i risultati forniti come possibili soluzioni dell'esercizio sono quelli e seguendo il ragionamento di BayMax, per me più che giusto, non riesco a trovarmi nessuno dei suddetti risultati.
1 $ A=\sqrt[a^2+(b^2)/\omega^2] = sqrt((a^2omega^2+b^2)/omega^2)=sqrt(a^2omega^2+b^2)/sqrt(omega^2)=sqrt(a^2omega^2+b^2)/omega$
"axpgn":
1 $ A=\sqrt[a^2+(b^2)/\omega^2] = sqrt((a^2omega^2+b^2)/omega^2)=sqrt(a^2omega^2+b^2)/sqrt(omega^2)=sqrt(a^2omega^2+b^2)/omega$
Grazie mille
Rieccomi @N3L4N17 e saluto anche @pallit e @Alex !
Scusa se non ho risposto prima, ma ho appena letto il messaggio. Allora, come detto giustamente da pallit e Alex la formula finale che ho scritto sull'ampiezza si poteva semplificare ancora di più, per cui ti chiedo scusa se non l'ho fatto e ti ho creato qualche difficoltà; ad ogni modo mi sembra tu abbia capito, con i passaggi postati da Alex (axpgn), quale sia il risultato corretto. Veniamo alle altre tue domande: per quanto riguarda la formula che hai tratto dall'Halliday, il tuo errore (tranquilla, comune a moltissime persone, anche al sottoscritto), è quello di aver visto solo la formula finale senza preoccuparti delle ipotesi/passaggi che ti portano a quel risultato. In particolare, quella formula dell'Halliday (che, comunque, se non sbaglio prevede anche un segno "-" davanti all'$omega$), è valida sì nel moto armonico, ma se usi, nella legge oraria, il coseno invece del seno. Il moto armonico, periodico, può essere espresso sia col seno che col coseno, i quali sono intercambiabili tenendo conto dello sfasamento di $pi/2$ tra i due. Partendo dalla legge oraria col coseno avresti $x(t)=Acos(omegat+phi)$ e $tan(phi)=b/a*(-omega)$ (tralascio i calcoli perché sono analoghi a quelli fatti sopra). Tutto questo per dire, quando usi una formula stai sempre attenta da dove è stata ricavata e quali ipotesi/assunzioni sono state fatte per arrivarci.
Per quanto riguarda i libri di testo, purtroppo non esiste una risposta univoca. Innanzitutto ti invito a guardare la sezione "Leggiti questo" in "Temi generali" di questo forum ed utilizzare la funzione "cerca" con la quale troverai decine di discussioni sui libri consigliati di Fisica. Ad ogni modo non saprei darti una risposta precisa perché dipende anche dal corso di studi (un libro per la facoltà di fisica sarà, naturalmente, più approfondito di uno che si usa a chimica). Sarà scontato, ma il tuo riferimento principale deve essere il docente, per cui dai la precedenza ai testi che consiglia il tuo professore i quali, in genere, contengono un po' tutti gli argomenti del corso (ammesso che abbia consigliato qualche testo, in caso contrario non farti problemi a chiedere allo stesso docente un testo suggerito). Inoltre anche i tuoi appunti devono essere un riferimento. Detto questo, ti capisco bene, perché sono come te, nel senso che cerco sempre il testo più adatto e completo che possa coprire l'intero corso, anche se non credo di averne mai trovato uno solo, ma di aver sempre dovuto far riferimento almeno ad un paio di testi diversi. Tra i libri consigliati in questo forum sicuramente troverai il Mencuccini-Silvestrini ed il Mazzoldi, entrambi ottimi testi, ma relativamente approfonditi, adatti a corsi come fisica o ingegneria. Accanto a questi due, un altro testo molto buono, a mio modestissimo parere, è il Focardi-Massa-Uguzzoni. Il fatto che tu mi dica di avere un esame unico per meccanica ed elettromagnetismo (fisica 1 e 2) mi fa pensare che tu non faccia una facoltà in cui fisica sia un esame dominante (sebbene importante). Quindi forse i precedenti sono un po' eccessivi, ma nulla ti vieta di dar loro un'occhiata in biblioteca per vedere se fanno al caso tuo (sono pieni di matematica, ti avverto ). Tra i libri più semplici, invece, c'è proprio l'Halliday-Resnick-Walker. Semplice non vuol dire incompleto. E' un libro fatto molto bene se usato, ad esempio, alle superiori (in quanto usa, per lo più, poca matematica concentrandosi sull'aspetto fisico). Tuttavia risulta anche, da quel che so, una scelta non rara per l'università in quelle facoltà in cui fisica non è un esame fondante. Nella stessa tipologia metterei altri testi sempre di derivazione anglosassone (per cui l'insegnamento della fisica è diverso da quello nel nostro Paese), tipo il Serway-Jewett o Cutnell-Johnson. Esiste anche un testo di Halliday più approfondito, adatto alle facoltà universitarie basate sulla fisica e cioè l'Halliday-Resnick-Krane. Inoltre, tra i libri in lingua inglese, ci sarebbe, ad esempio, University Physics di Young-Freedman.
Spero di essere stato esaustivo. Per ulteriori dubbi non farti problemi a chiedere.
Scusa se non ho risposto prima, ma ho appena letto il messaggio. Allora, come detto giustamente da pallit e Alex la formula finale che ho scritto sull'ampiezza si poteva semplificare ancora di più, per cui ti chiedo scusa se non l'ho fatto e ti ho creato qualche difficoltà; ad ogni modo mi sembra tu abbia capito, con i passaggi postati da Alex (axpgn), quale sia il risultato corretto. Veniamo alle altre tue domande: per quanto riguarda la formula che hai tratto dall'Halliday, il tuo errore (tranquilla, comune a moltissime persone, anche al sottoscritto), è quello di aver visto solo la formula finale senza preoccuparti delle ipotesi/passaggi che ti portano a quel risultato. In particolare, quella formula dell'Halliday (che, comunque, se non sbaglio prevede anche un segno "-" davanti all'$omega$), è valida sì nel moto armonico, ma se usi, nella legge oraria, il coseno invece del seno. Il moto armonico, periodico, può essere espresso sia col seno che col coseno, i quali sono intercambiabili tenendo conto dello sfasamento di $pi/2$ tra i due. Partendo dalla legge oraria col coseno avresti $x(t)=Acos(omegat+phi)$ e $tan(phi)=b/a*(-omega)$ (tralascio i calcoli perché sono analoghi a quelli fatti sopra). Tutto questo per dire, quando usi una formula stai sempre attenta da dove è stata ricavata e quali ipotesi/assunzioni sono state fatte per arrivarci.
Per quanto riguarda i libri di testo, purtroppo non esiste una risposta univoca. Innanzitutto ti invito a guardare la sezione "Leggiti questo" in "Temi generali" di questo forum ed utilizzare la funzione "cerca" con la quale troverai decine di discussioni sui libri consigliati di Fisica. Ad ogni modo non saprei darti una risposta precisa perché dipende anche dal corso di studi (un libro per la facoltà di fisica sarà, naturalmente, più approfondito di uno che si usa a chimica). Sarà scontato, ma il tuo riferimento principale deve essere il docente, per cui dai la precedenza ai testi che consiglia il tuo professore i quali, in genere, contengono un po' tutti gli argomenti del corso (ammesso che abbia consigliato qualche testo, in caso contrario non farti problemi a chiedere allo stesso docente un testo suggerito). Inoltre anche i tuoi appunti devono essere un riferimento. Detto questo, ti capisco bene, perché sono come te, nel senso che cerco sempre il testo più adatto e completo che possa coprire l'intero corso, anche se non credo di averne mai trovato uno solo, ma di aver sempre dovuto far riferimento almeno ad un paio di testi diversi. Tra i libri consigliati in questo forum sicuramente troverai il Mencuccini-Silvestrini ed il Mazzoldi, entrambi ottimi testi, ma relativamente approfonditi, adatti a corsi come fisica o ingegneria. Accanto a questi due, un altro testo molto buono, a mio modestissimo parere, è il Focardi-Massa-Uguzzoni. Il fatto che tu mi dica di avere un esame unico per meccanica ed elettromagnetismo (fisica 1 e 2) mi fa pensare che tu non faccia una facoltà in cui fisica sia un esame dominante (sebbene importante). Quindi forse i precedenti sono un po' eccessivi, ma nulla ti vieta di dar loro un'occhiata in biblioteca per vedere se fanno al caso tuo (sono pieni di matematica, ti avverto
). Tra i libri più semplici, invece, c'è proprio l'Halliday-Resnick-Walker. Semplice non vuol dire incompleto. E' un libro fatto molto bene se usato, ad esempio, alle superiori (in quanto usa, per lo più, poca matematica concentrandosi sull'aspetto fisico). Tuttavia risulta anche, da quel che so, una scelta non rara per l'università in quelle facoltà in cui fisica non è un esame fondante. Nella stessa tipologia metterei altri testi sempre di derivazione anglosassone (per cui l'insegnamento della fisica è diverso da quello nel nostro Paese), tipo il Serway-Jewett o Cutnell-Johnson. Esiste anche un testo di Halliday più approfondito, adatto alle facoltà universitarie basate sulla fisica e cioè l'Halliday-Resnick-Krane. Inoltre, tra i libri in lingua inglese, ci sarebbe, ad esempio, University Physics di Young-Freedman.Spero di essere stato esaustivo. Per ulteriori dubbi non farti problemi a chiedere.
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