Quesito cosmologia
Stavo leggendo una introduzione alla cosmologia, inizialmente tratta della cosmologia newtoniana. Appare però evidente che una una distribuzione omogenea e isotropica della materia risulti incompatibile con la legge di Gauss, perché per ragioni di simmetria $g=0$ (e qui se ne potrebbe parlare, ma non è importante adesso) e quindi $M=0$. Poi introduce questa "regola di Birkhoff" che dice che la velocità $v$ di una galassia posta ad una distanza $r$ da un osservatore O è influenzata sola dalla materia che sta dentro una sfera di raggio r. Metto la parte del libro in questione.
https://books.google.it/books?id=v_6PbA ... le&f=false
Qualcuno può dirmi come si ricava questa regola? Ho provato a cercare sul web, ma questo Birkhoff ha fatto tante cose.
https://books.google.it/books?id=v_6PbA ... le&f=false
Qualcuno può dirmi come si ricava questa regola? Ho provato a cercare sul web, ma questo Birkhoff ha fatto tante cose.
Risposte
Che dire, bisognerebbe leggere tutto quanto per bene... cosa che non ho fatto...
Intuitivamente, però, mi verrebbe da dire che questa regola di Birkoff è una conseguenza della legge di Hubble. Più lontano guardi, più vedi le galassie scappare via. D'altra parte, più quella sfera è grande, più galassie contiene. Quindi la velocità apparente delle galassie è correlabile al numero di galassie contenute in quella sfera.
Detto ciò, si potrebbe fondare una cosmologia newtoniana sostituendo Gauss con Birkoff, ma tutto ciò mi sa tanto di toppe che si mettono per rammendare un vestito consumato ... che invece sarebbe meglio buttare.
La cosmologia newtoniana non funziona semplicemente perchè, avendosi infinite stelle da un tempo infinito, la notte dovrebbe essere luminisa (paradosso di Olbers). Un tentativo di risolvere questo paradosso in termini newtoniani (non relativistici, perchè il personaggio che sto per nominare non la poteva conscere) fu fatto da, udite udite, il grande Edgard Allan Poe che pensò ad un universo newtoniano, finito, ma in espansione
Intuitivamente, però, mi verrebbe da dire che questa regola di Birkoff è una conseguenza della legge di Hubble. Più lontano guardi, più vedi le galassie scappare via. D'altra parte, più quella sfera è grande, più galassie contiene. Quindi la velocità apparente delle galassie è correlabile al numero di galassie contenute in quella sfera.
Detto ciò, si potrebbe fondare una cosmologia newtoniana sostituendo Gauss con Birkoff, ma tutto ciò mi sa tanto di toppe che si mettono per rammendare un vestito consumato ... che invece sarebbe meglio buttare.
La cosmologia newtoniana non funziona semplicemente perchè, avendosi infinite stelle da un tempo infinito, la notte dovrebbe essere luminisa (paradosso di Olbers). Un tentativo di risolvere questo paradosso in termini newtoniani (non relativistici, perchè il personaggio che sto per nominare non la poteva conscere) fu fatto da, udite udite, il grande Edgard Allan Poe che pensò ad un universo newtoniano, finito, ma in espansione
Il fatto è che la legge di Gauss applicata ad una distribuzione infinita e uniforme di cariche non da un campo $0$ come dice il libro, è più giusto dire che il campo è indeterminato (nessuna considerazione sulla simmetria del problema è gerarchicamente superiore al teorema di Gauss e quest'ultimo può dare qualsiasi risultato). La conclusione è comunque la stessa: non si può avere una cosmologia "alla Newton". Eppure (eliminiamo il paradosso di Olbers per un momento), questa legge di Birkoff sembra salvare la cosmologia Newton.
Mi sorge spontanea la domanda, come si comporta il teorema di Gauss in teoria della relatività generale in un universo isotropo aperto? Da un campo determinato o indeterminato? E nel caso desse un campo indeterminato, la legge di Birkoff salverebbe ancora la situazione?
Dovrei affrontare questi argomenti a giorni col professore faccia a faccia, però mi fa piacere coinvolgere anche voi.
Mi sorge spontanea la domanda, come si comporta il teorema di Gauss in teoria della relatività generale in un universo isotropo aperto? Da un campo determinato o indeterminato? E nel caso desse un campo indeterminato, la legge di Birkoff salverebbe ancora la situazione?
Dovrei affrontare questi argomenti a giorni col professore faccia a faccia, però mi fa piacere coinvolgere anche voi.
Francamente conoscevo solo il teorema di Birkoff relativo alla soluzione di Schwarzschild delle equazioni di campo nel vuoto: in pratica l'unica soluzione a simmetria sferica , essendo il campo per ipotesi sferico e statico, è la soluzione detta.
Ma "la regola" da te riportata mi sembra piuttosto newtoniana : nella gravitazione newtoniana, il campo agente su una particella a distanza $r$ dal centro è influenzato solo dalla massa racchiusa nella sfera di raggio $r$ , dico bene? E quindi questo campo determina $g$ e perciò il moto, e quindi la velocità, a distanza $r$ . Sbaglio ?
Il teorema di Gauss in RG dovrebbe comportarsi esattamente come in meccanica newtoniana. Chiaramente non puoi applicare Gauss a tutto lo ST ma solo a una porzione finita, racchiusa da una ipersuperficie spaziotemporale.
Tieni presente che il tensore energia-impulso in RG ha divergenza identicamente nulla, perciò le equazioni di campo hanno quella forma : anche il tensore di Einstein deve avere divergenza identicamente nulla. E questo, unitamente all'identità di Bianchi, porta a sottrarre $1/2g_(munu)R $ al tensore di Ricci .
Però scusa, ora che ci penso, che senso ha parlare di campo di accelerazioni gravitazionali $g$ in RG ? Le forze e quindi le accelerazioni in RG non si considerano, si considera la curvatura causata da materia-energia.
Quindi non si applica il teorema di Gauss al campo $g$ in RG .
Arturo correggi se dico sciocchezze.
Ma "la regola" da te riportata mi sembra piuttosto newtoniana : nella gravitazione newtoniana, il campo agente su una particella a distanza $r$ dal centro è influenzato solo dalla massa racchiusa nella sfera di raggio $r$ , dico bene? E quindi questo campo determina $g$ e perciò il moto, e quindi la velocità, a distanza $r$ . Sbaglio ?
Il teorema di Gauss in RG dovrebbe comportarsi esattamente come in meccanica newtoniana. Chiaramente non puoi applicare Gauss a tutto lo ST ma solo a una porzione finita, racchiusa da una ipersuperficie spaziotemporale.
Tieni presente che il tensore energia-impulso in RG ha divergenza identicamente nulla, perciò le equazioni di campo hanno quella forma : anche il tensore di Einstein deve avere divergenza identicamente nulla. E questo, unitamente all'identità di Bianchi, porta a sottrarre $1/2g_(munu)R $ al tensore di Ricci .
Però scusa, ora che ci penso, che senso ha parlare di campo di accelerazioni gravitazionali $g$ in RG ? Le forze e quindi le accelerazioni in RG non si considerano, si considera la curvatura causata da materia-energia.
Quindi non si applica il teorema di Gauss al campo $g$ in RG .
Arturo correggi se dico sciocchezze.
Ma "la regola" da te riportata mi sembra piuttosto newtoniana : nella gravitazione newtoniana, il campo agente su una particella a distanza r dal centro è influenzato solo dalla massa racchiusa nella sfera di raggio r , dico bene? E quindi questo campo determina g e perciò il moto, e quindi la velocità, a distanza r . Sbaglio ?
Ci deve essere qualcos'altro credo...essendo la distribuzione omogenea e infinita posso tracciare qualsiasi sfera di raggio arbitrario. Quale è la sfera giusta? Sono tutte giuste e quindi il campo è indeterminato. Ma questo è semplicemente il teorema di Gauss, no? Cosa ci ha aggiunto Birkoff?
Tra parantesi, lo Shu è un libro che tocca tanti temi, dalla cosmologia alla biologia, ottimo come corso introduttivo all'astronomia, ma è naturale che talvolta semplifichi troppo le cose.
"navigatore":
Però scusa, ora che ci penso, che senso ha parlare di campo di accelerazioni gravitazionali $g$ in RG ? Le forze e quindi le accelerazioni in RG non si considerano, si considera la curvatura causata da materia-energia.
Quindi non si applica il teorema di Gauss al campo $g$ in RG .
A questo non stavo pensando sinceramente. Provo a farti un esempio magari riesci a chiarire i miei dubbi.
In un universo newtoniano ho una certa massa in un certo punto dello spazio. Poniamo che l'universo sia finito con densità costante (o no, non è così importante) e che la geometria sia quella euclidea. Se voglio capire cosa succede a questa massa uso il teorema di Gauss e trovo il campo (che converge ad unico valore essendo finito) e quindi capisco come si comporta questa massa.
In un universo newtoniano infinito e omogeneo non posso usare Gauss perché il campo non converge ad un unico valore.
In un universo relativistico invece come capisco cosa accade alla mia massa? Poniamo che so che la curvatura scalare è positiva. Cosa succede alla massa? E se è negativa?
Voglio dire, con Gauss posso dire se la massa si muove a destra o sinistra o giu o su (per capirci) ma la curvatura che tipo di nozioni locali mi da? Perché quelle generali vanno a definire la forma dell'universo e questo lo ho capito.
Non so se mi sono spiegato...
Ci deve essere qualcos'altro credo...essendo la distribuzione omogenea e infinita posso tracciare qualsiasi sfera di raggio arbitrario. Quale è la sfera giusta? Sono tutte giuste e quindi il campo è indeterminato. Ma questo è semplicemente il teorema di Gauss, no? Cosa ci ha aggiunto Birkoff?
Non credo di aver capito il dubbio e la domanda. Non so che cosa intendi per "sfera giusta" . Neanche io vedo una grande novità nella regola di Birkoff, mi sembra più che altro una ipotesi di lavoro per cercare di dimostrare che una cosmologia newtoniana non può funzionare.
In un universo relativistico invece come capisco cosa accade alla mia massa? Poniamo che so che la curvatura scalare è positiva. Cosa succede alla massa? E se è negativa?
Voglio dire, con Gauss posso dire se la massa si muove a destra o sinistra o giu o su (per capirci) ma la curvatura che tipo di nozioni locali mi da?
La curvatura dello ST in RG determina l'andamento delle geodetiche, cioè le linee di universo dei corpi in caduta libera. LA curvatura si manifesta localmente come "deviazione delle geodetiche", che poi matematicamente non è altro che la derivata covariante seconda (conosci le derivate covarianti?) del vettore di separazione tra due geodetiche vicine.
Detta in altri termini, e cioè in termini di tipo newtoniano (scusa il semplice modo di esprimermi) , la curvatura dello ST, dovuta alla materia-energia, determina le "accelerazioni di marea" : così le si chiama in meccanica classica, poiché le maree che si formano sulla terra sono dovute proprio alle accelerazioni gravitazionali diverse in punti a distanza diversa dalla Luna (se parliamo di maree lunari) .
Si potrebbe fare un esercizio. Come sai, anche la gravitazione newtoniana si può esprimere come curvatura dello ST, pur se il campo è debole, come ad es. nel caso della Terra . Quando il campo è debole, si può scrivere (c=1 ; potenziale gravitazionale $\phi = \phi/c^2$ adimensionale ) :
$ds^2 = - (1+2\phi) dt^2 +(1-2\phi)(dx^2 + dy^2 + dz^2) $
nel caso della terra , il potenziale gravitazionale adimensionale è dell'ordine di $10^-9$ .
A partire dai coefficienti della metrica scritta sopra, si possono ricavare col solito procedimento di calcolo (simboli di Chris. ecc.) le componenti non nulle del tensore di Riemann. Si ricavano nient'altro che le accelerazioni di marea, che in meccanica classica si calcolano per altra via.
In questo post c'è sotto spoiler un calcolo classico delle accelerazioni di marea.
Hai presente il motto ormai famoso di J.A. Wheeler ? "La materia dice allo spazio come curvarsi. Lo spazio dice alla materia come muoversi" .
Non so se è questo ciò che chiedi.
Sono d'accordo con Navigatore e ribadisco che le considerazioni di quel testo vanno intese in senso euristico, intuitivo (però ho appena letto e la mia è solo una impressione molto soggettiva, non un giudizio).
A causa di Olbers, la cosmologia newtoniana non sta in piedi (Landau parla di potenziale gravitazionale infinito ovunque, che è analogo alla notte luminosa). Punto.
In RG, però, una cosmologia euclidea omogenea ed isotropa è fisicamente possibile! ed anche molto carina.
Sarebbe un modo di salvare l'universo infinito nello spazio, ma con un inizio (con densità infinita ovunque) nel tempo. Ovviamente in espansione e, se si mette la costante cosmologica, in espansione accelerata
A causa di Olbers, la cosmologia newtoniana non sta in piedi (Landau parla di potenziale gravitazionale infinito ovunque, che è analogo alla notte luminosa). Punto.
In RG, però, una cosmologia euclidea omogenea ed isotropa è fisicamente possibile! ed anche molto carina.
Sarebbe un modo di salvare l'universo infinito nello spazio, ma con un inizio (con densità infinita ovunque) nel tempo. Ovviamente in espansione e, se si mette la costante cosmologica, in espansione accelerata
... ci si vede bene anche la radiazione di fondo!
La curvatura dello ST in RG determina l'andamento delle geodetiche, cioè le linee di universo dei corpi in caduta libera. LA curvatura si manifesta localmente come "deviazione delle geodetiche", che poi matematicamente non è altro che la derivata covariante seconda (conosci le derivate covarianti?) del vettore di separazione tra due geodetiche vicine.
Le derivate covarianti le conosco. Le equazioni del moto dovrebbero
$(d^2x^i)/(ds^2)+Gamma_(kl)^i(dx^k)/(ds)(dx^l)/(ds)$
che ricavo dal principio di minima azione, giusto?
Non so che cosa intendi per "sfera giusta"
Quale sfera devo usare tra queste nel disegno? Posso tracciarne infinite diverse!
Per questo Gauss non funziona
Quello che volevo capire è:
1) Come mai Gauss non funziona e Birkoff si secondo il libro?
Ps: come la ricavi questa equazione?
$ ds^2 = - (1+2\phi) dt^2 +(1-2\phi)(dx^2 + dy^2 + dz^2) $
nel libro di Landau c'è un espressione simile per campi deboli ma comunque diversa
$ds^2=(c^2+2phi)dt^2-dvec(r)^2$
"Spremiagrumi":
…….
Le derivate covarianti le conosco. Le equazioni del moto dovrebbero essere :
$(d^2x^i)/(ds^2)+Gamma_(kl)^i(dx^k)/(ds)(dx^l)/(ds) = 0 $
che ricavo dal principio di minima azione, giusto?
Questa è l'equazione di una geodetica, cioè della linea di universo, in uno ST curvo, di una particella materiale abbandonata al campo gravitazionale. (ho aggiunto $= 0 $ che non avevi scritto), scritta in un riferimento qualunque in coordinate gaussiane $x^i$ , e dove la natura curva dello ST si manifesta, per così dire, nei simboli di Christoffel. Se fossimo in meccanica newtoniana, diremmo che queste sono le forze inerziali.
Ma l'equazione della deviazione geodetica ci dice invece come due geodetiche vicine si allontanano o si avvicinano in uno ST curvo. Bisogna calcolare la derivata covariante seconda del vettore di separazione delle due geodetiche.
Qui ne trovi una chiara trattazione, e la formula finale è la (35) :
http://www.aei.mpg.de/~rezzolla/lnotes/virgo/geodev.pdf
Puoi dare un'occhiata alla questione anche sul sito di Valeria Ferrari che ti ho linkato prima.
Tra l'altro il prof. Rezzolla ha pubblicato sul suo sito degli appunti di RG scritti a mano, molto ben fatti secondo me :
http://astro.uni-frankfurt.de/rezzolla/lecture-notes/
Sulla sfera , mi spiace ma non so risponderti. Forse non ho capito il problema.
Ps: come la ricavi questa equazione?
$ ds^2 = - (1+2\phi) dt^2 +(1-2\phi)(dx^2 + dy^2 + dz^2) $
nel libro di Landau c'è un espressione simile per campi deboli ma comunque diversa
$ds^2=(c^2+2phi)dt^2-dvec(r)^2$
Hai il libro di Landau in italiano ? SE leggi bene il paragrafo 87, vedrai che a un certo punto dopo la formula (87,12) , rimanda al paragrafo 106, per l'espressione più completa che ho scritto. La formula è la (106,3). In sostanza, mentre nel par. 87 non si considerano i termini correttivi spaziali , perché il termine temporale è il più importante, nel par. 106 invece vengono considerati anche i termini spaziali.
Anche sulla dispensa di Rezzolla relativa alla deviazione geodetica trovi un cenno alla "weak field solution" .
Ok, ci sono adesso! L'avevo pure vista l'equazione della deviazione geodetica, avevo anche preso un bel po' di appunti e fatto tutti i calcoli. Talvolta mi capita di concentrarmi sulla matematica e di perdere il significato fisico di quello che sto facendo. Queste discussioni mi sono utili, mi permettono di riordinare le idee. Grazie dei link e delle spiegazioni.
Per la questione della sfera sono sicuro che il campo sia indeterminato "secondo Gauss" mentre a quanto pare non lo è per Birkoff... ne parlo direttamente col professore e poi non mancherò di riportare i risultati spiegandomi un po' meglio.
C'è un problema simile qui
https://www.physicsforums.com/threads/e ... ty.323984/
a parte che c'è una distribuzione di cariche e non di massa. C'è anche una risposta di David Griffiths (ha scritto libri di elettromagnetismo, meccanica quantistica e fisica nucleare)
Per la questione della sfera sono sicuro che il campo sia indeterminato "secondo Gauss" mentre a quanto pare non lo è per Birkoff... ne parlo direttamente col professore e poi non mancherò di riportare i risultati spiegandomi un po' meglio.
C'è un problema simile qui
https://www.physicsforums.com/threads/e ... ty.323984/
a parte che c'è una distribuzione di cariche e non di massa. C'è anche una risposta di David Griffiths (ha scritto libri di elettromagnetismo, meccanica quantistica e fisica nucleare)
Lo studio di come si allontanano fra loro le geodetiche porta in GD agli stupendi e fecondi campi di Jacobi. In meccanica, all'equazione du Hamilton-Jacobi.
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