Quesito cinematica
Un punto materiale si muove in piano. La legge oraria è data dalle relazioni: $x=acos(wt)$ e $y=bsen(wt)$ con a,b costanti, adiverso da b. IL vettore accelerazione:
a) ha una componente tangenziale non nulla b)è centripeto c)è tangente alla traiettoria almeno in un istante d) è tangente alla traiettoria in ogni istante.
Secondo me è centripeto perchè facendo le derivate viene che a ha per componenti: $ax=-wx^2$ e $ay=-wy^2$ quindi non può che andare verso il centro.Inoltre se a e b fossero uguali la traiettoria sarebbe proprio una circonferenza... E' giusto come ragionamento?
a) ha una componente tangenziale non nulla b)è centripeto c)è tangente alla traiettoria almeno in un istante d) è tangente alla traiettoria in ogni istante.
Secondo me è centripeto perchè facendo le derivate viene che a ha per componenti: $ax=-wx^2$ e $ay=-wy^2$ quindi non può che andare verso il centro.Inoltre se a e b fossero uguali la traiettoria sarebbe proprio una circonferenza... E' giusto come ragionamento?
Risposte
Prova utilizzando questi vettori:
$vecr=[acos\omegat]veci+[bsen\omegat]vecj$
$vecv=[-a\omegasen\omegat]veci+[b\omegacos\omegat]vecj$
$veca=[-a\omega^2cos\omegat]veci+[-b\omega^2sen\omegat]vecj$
$vect=[(-asen\omegat)/(sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat))]veci+[(bcos\omegat)/(sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat))]vecj$
$vecn=[(-bcos\omegat)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)]veci+[(-asen\omegat)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)]vecj$
$vecr=[acos\omegat]veci+[bsen\omegat]vecj$
$vecv=[-a\omegasen\omegat]veci+[b\omegacos\omegat]vecj$
$veca=[-a\omega^2cos\omegat]veci+[-b\omega^2sen\omegat]vecj$
$vect=[(-asen\omegat)/(sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat))]veci+[(bcos\omegat)/(sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat))]vecj$
$vecn=[(-bcos\omegat)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)]veci+[(-asen\omegat)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)]vecj$
come sono usciti fuori? E a quale conseguenza portano?
$[vecv]$ è la derivata di $[vecr]$, $[veca]$ è la derivata di $[vecv]$, $[vect]$ è la normalizzazione di $[vecv]$ e $[vecn]$ è il vettore normalizzato perpendicolare a $[vect]$ che punta verso l'interno della traiettoria. Se calcoli il prodotto scalare di $[veca]$ con $[vect]$ e con $[vecn]$, ottieni rispettivamente la componente tangenziale e centripeta dell'accelerazione. Quindi puoi cominciare a lavorare con i quesiti.
ma nel mio corso non ho fatto la normalizzazione... non si può rispondere in altro modo? Il mio ragionamento è scorretto? E se non si può fare altrimenti potresti spiegarmi la procedura per sapere le componenti tangenziali e centripete dell'accelerazione asapendo quelle rispettive agli assi?
Ho corretto il mio primo messaggio, avevo dimenticato di normalizzare $[vecn]$. Normalizzare un vettore significa semplicemente renderlo di norma unitaria. Il tuo ragionamento è totalmente scorretto. Di quale esame stiamo parlando? In ogni modo:
$a_t=veca*vect=((a^2-b^2)\omega^2sen\omegatcos\omegat)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)$
$a_n=veca*vecn=(ab\omega^2)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)$
Come puoi notare, la componente tangenziale dell'accelerazione è sempre nulla se e solo se $[a=b]$, il moto è circolare uniforme.
$a_t=veca*vect=((a^2-b^2)\omega^2sen\omegatcos\omegat)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)$
$a_n=veca*vecn=(ab\omega^2)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)$
Come puoi notare, la componente tangenziale dell'accelerazione è sempre nulla se e solo se $[a=b]$, il moto è circolare uniforme.
fisica 1
non si può arrivare alla stessa conclusione in altro modo?
Allora sono strumenti che dovresti sapere utilizzare. Ora che hai le due componenti, dovresti poterlo completare. Scusa ma, come puoi pretendere di utilizzare dei trucchetti, se non riesci a farlo nemmeno con il metodo "forza bruta"?
potresti spiegarmi allora la normalizzazione e le operazioni ad essa connesse?
inoltre a e b sono costanti
Mettiamola diversamente. Essendo:
$vecr=[acos\omegat]veci+[bsen\omegat]vecj$
$veca=[-a\omega^2cos\omegat]veci+[-b\omega^2sen\omegat]vecj$
allora:
$veca=-\omega^2vecr$
Quindi, l'accelerazione è sempre opposta al vettore posizione. Mi sembra che anche tu avessi ottenuto questo risultato, non me ne ero accorto perchè avevi scritto il quadrato nel posto sbagliato. Ma siccome:
$\{(x=acos\omegat),(y=bsen\omegat):} rarr \{(x/a=cos\omegat),(y/b=sen\omegat):} rarr [x^2/a^2+y^2/b^2=1]$
la traiettoria è un'ellisse riferita agli assi con centro nell'origine. Magari adesso, anche con strumenti più geometrici, puoi riuscire a concludere. A proposito, normalizzare un vettore:
$vecv=v_xveci+v_yvecj$
significa renderne il modulo unitario. Per questo, basta dividere le sue componenti per il modulo medesimo:
$vecv=v_x/sqrt(v_x^2+v_y^2)veci+v_y/sqrt(v_x^2+v_y^2)vecj$
In ogni modo, ora che sai normalizzare, l'unico vettore che potresti faticare a trovare è $[vecn]$. Se vuoi, prossimamente, ti insegno un trucchetto per determinarlo velocemente.
$vecr=[acos\omegat]veci+[bsen\omegat]vecj$
$veca=[-a\omega^2cos\omegat]veci+[-b\omega^2sen\omegat]vecj$
allora:
$veca=-\omega^2vecr$
Quindi, l'accelerazione è sempre opposta al vettore posizione. Mi sembra che anche tu avessi ottenuto questo risultato, non me ne ero accorto perchè avevi scritto il quadrato nel posto sbagliato. Ma siccome:
$\{(x=acos\omegat),(y=bsen\omegat):} rarr \{(x/a=cos\omegat),(y/b=sen\omegat):} rarr [x^2/a^2+y^2/b^2=1]$
la traiettoria è un'ellisse riferita agli assi con centro nell'origine. Magari adesso, anche con strumenti più geometrici, puoi riuscire a concludere. A proposito, normalizzare un vettore:
$vecv=v_xveci+v_yvecj$
significa renderne il modulo unitario. Per questo, basta dividere le sue componenti per il modulo medesimo:
$vecv=v_x/sqrt(v_x^2+v_y^2)veci+v_y/sqrt(v_x^2+v_y^2)vecj$
In ogni modo, ora che sai normalizzare, l'unico vettore che potresti faticare a trovare è $[vecn]$. Se vuoi, prossimamente, ti insegno un trucchetto per determinarlo velocemente.
quindi l'accelerazione tangenziale esiste perchè la velocità in un ellisse non è costante... la risposta dovrebbe essere la prima... però vorrei capire chiaramente come si fa la normalizzazione, qual è il calcolo per arrivare alla componenti tangenziale e centripeta sapendo quelle degli asse x e y, in generale...
Scusa ma, il calcolo te l'ho già mostrato. L'unica cosa è che non sai determinare $[vecn]$. Guarda che esistono moti la cui traiettoria è ellittica ma uniformi. In questi casi, che non è il tuo, l'accelerazione tangenziale è nulla.
non avevo letto... si infatti ma anche t? Come esce fuori?
$[vect]$ è la normalizzazione di $[vecv]$, anche questo l'ho già scritto. Del resto, hanno la stessa direzione e verso.
"speculor":
$[vecv]$ è la derivata di $[vecr]$, $[veca]$ è la derivata di $[vecv]$, $[vect]$ è la normalizzazione di $[vecv]$ e $[vecn]$ è il vettore normalizzato perpendicolare a $[vect]$ che punta verso l'interno della traiettoria. Se calcoli il prodotto scalare di $[veca]$ con $[vect]$ e con $[vecn]$, ottieni rispettivamente la componente tangenziale e centripeta dell'accelerazione. Quindi puoi cominciare a lavorare con i quesiti.
"speculor":
Ho corretto il mio primo messaggio, avevo dimenticato di normalizzare $[vecn]$. Normalizzare un vettore significa semplicemente renderlo di norma unitaria. Il tuo ragionamento è totalmente scorretto. Di quale esame stiamo parlando? In ogni modo:
$a_t=veca*vect=((a^2-b^2)\omega^2sen\omegatcos\omegat)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)$
$a_n=veca*vecn=(ab\omega^2)/sqrt(a^2sen^2\omegat+b^2cos^2\omegat)$
Come puoi notare, la componente tangenziale dell'accelerazione è sempre nulla se e solo se $[a=b]$, il moto è circolare uniforme.
e questo poi come si giustifica??
In generale, la componente di un vettore lungo una determinata direzione si ottiene facendo il prodotto scalare del vettore per il versore che individua la direzione medesima:
$veca=a_xveci+a_yvecj$
$vect=t_xveci+t_yvecj$
$a_t=veca*vect=a_xt_x+a_yt_y$
$vecn=n_xveci+n_yvecj$
$a_n=veca*vecn=a_xn_x+a_yn_y$
$veca=a_xveci+a_yvecj$
$vect=t_xveci+t_yvecj$
$a_t=veca*vect=a_xt_x+a_yt_y$
$vecn=n_xveci+n_yvecj$
$a_n=veca*vecn=a_xn_x+a_yn_y$
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