Quattro cariche formanti 1 quadrato
[size=150]. Quattro particelle, aventi la stessa carica$ q= 4*10-8 C$, sono poste ai vertici di un quadrato di lato$ l= 20 cm$. Calcolare:
1. l’intensità del campo elettrico$ E$ nel centro O del quadrato;
2. la differenza di potenziale tra O ed il punto medio di uno dei lati;
3. il lavoro necessario per avvicinare le cariche e disporle sui vertici di un quadrato di lato$l/4$.
[/size]
NON SO CM AFFRONTARE IL PROBLEMA .. CONSIDERO LA CARICA $q_4$ come un acarica di prova e considero i campi $E_i$ delle altre cariche
$E=E_1+E_2+E_3$
$E_1=E_1x+E_1y=E_1y$
$E21=E_2x+E_2y$
$E_3=E_3x+E_3y=E_3x$
e poi????
la ddp tra O e P è: $V_op=\int_O^PEds$
e poi???
il terzo punto non so come farlo nemmeno
1. l’intensità del campo elettrico$ E$ nel centro O del quadrato;
2. la differenza di potenziale tra O ed il punto medio di uno dei lati;
3. il lavoro necessario per avvicinare le cariche e disporle sui vertici di un quadrato di lato$l/4$.
[/size]
NON SO CM AFFRONTARE IL PROBLEMA .. CONSIDERO LA CARICA $q_4$ come un acarica di prova e considero i campi $E_i$ delle altre cariche
$E=E_1+E_2+E_3$
$E_1=E_1x+E_1y=E_1y$
$E21=E_2x+E_2y$
$E_3=E_3x+E_3y=E_3x$
e poi????
la ddp tra O e P è: $V_op=\int_O^PEds$
e poi???
il terzo punto non so come farlo nemmeno
Risposte
"marygrazy":
NON SO CM AFFRONTARE IL PROBLEMA .. CONSIDERO LA CARICA $q_4$ come un acarica di prova e considero i campi $E_i$ delle altre cariche
Non va bene il ragionamento, perchè devi considedare tutti e 4 i contributi, quindi il campo elettrico generato da ogni carica.
Ti conviene impostare uno schema con le frecce per indicare le direzioni. A questo punto per ricavare il campo elettrico in $O$
devi fare la somma vettoriale dei 4 campi elettrici.
quindi come devo fare??
Fa' come ti e' stato gia' suggerito.nella figura $R=Lsqrt(2)/2$.Calcola il campo $E=(-q)/(4\pi\epsilon_0R^2)$ per ognuna delle cariche nel punto $O$
Per il punto 2) fai la sommatoria dei potenziali prodotti da ogni singola carica sul lato medio
Per il punto 3) il lavoro totale e' la somma dei singoli lavori fatti da ogni carica sull'altra $(q_1q_2)/(4\pi\epsilon_0r_1)+(q_1q_3)/(4\pi\epsilon_0r_2)+(q_1q_4)/(4\pi\epsilon_0r_3)+(q_3q_2)/(4\pi\epsilon_0r_4)+(q_4q_2)/(4\pi\epsilon_0r_5)+(q_3q_4)/(4\pi\epsilon_0r_6)$.Dove $r_1,r_2,...$ sono le distanze tra una carica e l'altra.
Per il punto 2) fai la sommatoria dei potenziali prodotti da ogni singola carica sul lato medio
Per il punto 3) il lavoro totale e' la somma dei singoli lavori fatti da ogni carica sull'altra $(q_1q_2)/(4\pi\epsilon_0r_1)+(q_1q_3)/(4\pi\epsilon_0r_2)+(q_1q_4)/(4\pi\epsilon_0r_3)+(q_3q_2)/(4\pi\epsilon_0r_4)+(q_4q_2)/(4\pi\epsilon_0r_5)+(q_3q_4)/(4\pi\epsilon_0r_6)$.Dove $r_1,r_2,...$ sono le distanze tra una carica e l'altra.
Forse ho sbagliato il segno della carica :e' positiva vero?Io invece ho visto quel 10 alla meno 8 come segno negativo della carica.Comunque le cose non cambiano basta che inverti
le frecce sul punto O per ogni carica
le frecce sul punto O per ogni carica
Con riferimento alla figura che ha postato legendre, metti un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel centro del quadrato.
Le posizioni delle cariche saranno espresse con $P_1=(10,10)$, $P_2=(-10,10)$, $P_3=(-10,-10)$, $P_4=(10,-10)$, dove le distanze sono espresse in $cm$.
Il potenziale in un generico punto $P=(x,y)$ del piano contenente le cariche è espresso dalla funzione (in unità S.I.):
$V(x,y)=3,6*10^4(1/sqrt((x-10)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x+10)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x+10)^2+(y+10)^2) + 1/sqrt((x-10)^2+(y+10)^2))$ $(text{Volt})$
A questo punto puoi ottenere il campo elettrico $\vecE(x,y)$ eseguendo il gradiente di $V$ cambiato di segno.
Le risposte ai quesiti si ottengono valutando:
1. $\vecE(0,0)$ (si vede che è nullo anche con semplici considerazioni di simmetria)
2. $V(0,0)-V(10,0)$
3. $4q(V(0,0)-V(2.5,2.5))$
Le posizioni delle cariche saranno espresse con $P_1=(10,10)$, $P_2=(-10,10)$, $P_3=(-10,-10)$, $P_4=(10,-10)$, dove le distanze sono espresse in $cm$.
Il potenziale in un generico punto $P=(x,y)$ del piano contenente le cariche è espresso dalla funzione (in unità S.I.):
$V(x,y)=3,6*10^4(1/sqrt((x-10)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x+10)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x+10)^2+(y+10)^2) + 1/sqrt((x-10)^2+(y+10)^2))$ $(text{Volt})$
A questo punto puoi ottenere il campo elettrico $\vecE(x,y)$ eseguendo il gradiente di $V$ cambiato di segno.
Le risposte ai quesiti si ottengono valutando:
1. $\vecE(0,0)$ (si vede che è nullo anche con semplici considerazioni di simmetria)
2. $V(0,0)-V(10,0)$
3. $4q(V(0,0)-V(2.5,2.5))$
Questo problema ha interessato anche me.
Sidereus potresti dirmi come hai fatto ad arrivare alla funzione potenziale? Il resto mi è piuttosto chiaro.
Sidereus potresti dirmi come hai fatto ad arrivare alla funzione potenziale? Il resto mi è piuttosto chiaro.
"Mirko909":
Sidereus potresti dirmi come hai fatto ad arrivare alla funzione potenziale?
Il potenziale in un punto $P$ a distanza $r$ da una carica $q$ è $\phi(P)=q/(4\pi\epsilon_0r)$
Con quattro cariche devi usare il principio di sovrapposizione dei campi, per cui il potenziale è semplicemente la somma dei quattro potenziali di ogni carica.
"legendre":
Fa' come ti e' stato gia' suggerito.nella figura $R=Lsqrt(2)/2$.Calcola il campo $E=(-q)/(4\pi\epsilon_0R^2)$ per ognuna delle cariche nel punto $O$
scusa perchè hai messo il segno meno???
"legendre":
Per il punto 3) il lavoro totale e' la somma dei singoli lavori fatti da ogni carica sull'altra $(q_1q_2)/(4\pi\epsilon_0r_1)+(q_1q_3)/(4\pi\epsilon_0r_2)+(q_1q_4)/(4\pi\epsilon_0r_3)+(q_3q_2)/(4\pi\epsilon_0r_4)+(q_4q_2)/(4\pi\epsilon_0r_5)+(q_3q_4)/(4\pi\epsilon_0r_6)$.Dove $r_1,r_2,...$ sono le distanze tra una carica e l'altra.
scusa ma cosi ottengo il lavoro per spostare e formare un quadrato di lato l/4??
Perche' per una carica negativa il campo e' entrante il contrario per le positive.Certo messa cosi' puo' generare confusione scusa vedi figura sotto.
Se parti da questo principio poi ti fai i vettori campi secondo i versi degli assi.
Per calcolare il campo poi vedere questa figura e si annulla tutto
per rispondere all'ultimo post di maycrazyrgy ,quello che ho fatto e' l'energia totale del sistema ora mi accorgo che non e' la risposta al terzo quesito,perche' quello he
chiedeva il quesito ' di portare le cariche dalla situazione attuale un quadato di lato $L$ alla situazione in cui le cariche si dispongono in un quadrato di lato $l/4$.Invece io ho interpretato in generale per portare le cariche dall'infinito alla situazione desiderata
Se parti da questo principio poi ti fai i vettori campi secondo i versi degli assi.
Per calcolare il campo poi vedere questa figura e si annulla tutto
per rispondere all'ultimo post di maycrazyrgy ,quello che ho fatto e' l'energia totale del sistema ora mi accorgo che non e' la risposta al terzo quesito,perche' quello he
chiedeva il quesito ' di portare le cariche dalla situazione attuale un quadato di lato $L$ alla situazione in cui le cariche si dispongono in un quadrato di lato $l/4$.Invece io ho interpretato in generale per portare le cariche dall'infinito alla situazione desiderata
scusa m ail campo $E_1=q(/4πε0R^(2)($ che è ugaule agli altri contribuit... quindi $Ee= 4E_1$
cioè $2*10^(-10)/(πε)$
giusto....????????
non capisco come fate per farlo risultare nullo...
mi potete spiegare nei passaggi????
cioè $2*10^(-10)/(πε)$
giusto....????????
non capisco come fate per farlo risultare nullo...
mi potete spiegare nei passaggi????
perche' se guardi la figura:
ma le cariche sono positive.. il campo E non dve avere le frecce al contrario?
si sono al contrario perche' le ho messe negativi ma il risultato non cambia
"Sidereus":
3. $4q(V(0,0)-V(2.5,2.5))$
Non capisco il perchè di questa soluzione, io avrei calcolato l'energia potenziale per la costruzione del quadrato di lato $l$ e di lato $l/4$a partire da cariche poste all'infinito e poi fatto $U(l=5) - U(l=20)$.
"Ska":
[quote="Sidereus"]
3. $4q(V(0,0)-V(2.5,2.5))$
Non capisco il perchè di questa soluzione, io avrei calcolato l'energia potenziale per la costruzione del quadrato di lato $l$ e di lato $l/4$a partire da cariche poste all'infinito e poi fatto $U(l=5) - U(l=20)$.[/quote]
La risposta che volevo postare era 3. $4q(V(10,10)-V(2.5,2.5))$, ma mi sono perso gli 1
La domanda posta (se ho capito bene) era di calcolare il lavoro per passare dalla configurazione con 4 cariche disposte sui vertici del quadrato di lato $20$ $cm$ alla configurazione delle stesse 4 cariche disposte su un quadrato di lato $5$ $cm$, avvicinando le cariche.
"Sidereus":
[quote="Ska"][quote="Sidereus"]
3. $4q(V(0,0)-V(2.5,2.5))$
Non capisco il perchè di questa soluzione, io avrei calcolato l'energia potenziale per la costruzione del quadrato di lato $l$ e di lato $l/4$a partire da cariche poste all'infinito e poi fatto $U(l=5) - U(l=20)$.[/quote]
La risposta che volevo postare era 3. $4q(V(10,10)-V(2.5,2.5))$, ma mi sono perso gli 1
La domanda posta (se ho capito bene) era di calcolare il lavoro per passare dalla configurazione con 4 cariche disposte sui vertici del quadrato di lato $20$ $cm$ alla configurazione delle stesse 4 cariche disposte su un quadrato di lato $5$ $cm$, avvicinando le cariche.[/quote]
Usando la funzione $V(x,y)$ da te definita, il termine $V(10,10)$ diverge dato che in $(10,10)$ c'è una carica. Ecco perchè non comprendo la tua soluzione,
Io invece ho pensato di calcolare l'energia per costruire un quadrato di lato $l$ di cariche con queste precedentemente disposte all'infinito. Quindi la prima carica si può disporre senza alcuna spesa, la seconda devo contrastare il campo generato dalla prima, e quindi l'energia è [tex]$U_{1,2}(l)=\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 l}$[/tex], la terza devo contrastare sia la prima che la seconda, quindi avrò [tex]$U_{1,3} (l)= \frac{q_1 q_3}{4\pi\varepsilon_0 l\sqrt{2}}$[/tex] e [tex]$U_{2,3} (l)= \frac{q_2 q_3}{4\pi\varepsilon_0 l}$[/tex] ed infine la quarta che deve contrastare le altre e dunque [tex]$U_{1,4}(l) = \frac{q_1 q_4}{4\pi\varepsilon_0 l}$[/tex], [tex]$U_{2,4}(l) = \frac{q_2 q_4}{4\pi\varepsilon_0 l\sqrt{2}}$[/tex] e [tex]$U_{3,4}(l) = \frac{q_3 q_4}{4\pi\varepsilon_0 l}$[/tex]
Cioè per costruire un quadrato di lato [tex]$l$[/tex] con quattro cariche tutte di carica [tex]$q$[/tex], avrò un'energia potenziale del sistema [tex]$U(l) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0} (\frac{4}{l} + \frac{2}{l\sqrt{2}})$[/tex]
Quindi per trovare il lavoro che si deve compiere dall'esterno: [tex]$L_{ext}=U(0.05) - U(0.2)$[/tex]
"Ska":
...Cioè per costruire un quadrato di lato [tex]$l$[/tex] con quattro cariche tutte di carica [tex]$q$[/tex], avrò un'energia potenziale del sistema [tex]$U(l) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0} (\frac{4}{l} + \frac{2}{l\sqrt{2}})$[/tex]
Quindi per trovare il lavoro che si deve compiere dall'esterno: [tex]$L_{ext}=U(0.05) - U(0.2)$[/tex]
Giusto. La mia terza risposta era proprio sbagliata
In effetti, seguendo il mio ragionamento occorre considerare tre potenziali:
$V_1(x,y)=3,6*10^4(1/sqrt((x-10)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x+10)^2+(y+10)^2) + 1/sqrt((x-10)^2+(y+10)^2))$
$V_2(x,y)=3,6*10^4(1/sqrt((x-10)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x-5)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x-10)^2+(y+10)^2))$
$V_3(x,y)=3,6*10^4(1/sqrt((x-10)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x-5)^2+(y-10)^2) + 1/sqrt((x-5)^2+y^2))$
e quindi il lavoro per avvicinare le cariche è $q(V_1(5,10)-V_1(-10,10)+V_2(5,0)-V_2(-10,-10)+V_3(10,0)-V_3(10,-10))=1,17$ $text(mJ)$
Si ottiene lo stesso risultato con la tua soluzione, che è fisicamente più elegante della mia, ma non può essere generalizzata a configurazioni diverse da un quadrato.
Salute
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