Quarta proposizione di Huygens sulla forza centrifuga
Buonasera a tutti! Mi sono appena iscritto in questo forum per confrontarmi su determinati problemi.
Innanzitutto mi presento. Mi chiamo Daniele, ho 25 anni e sto facendo un dottorato di ricerca in filosofia della scienza presso l'università di Barcellona.
Sto ricostruendo il percorso che ha portato Newton alla formulazione della legge di gravitazione universale e per questo motivo mi sono imbattuto anche nel "De vi centrifuga" di Huygens.
Huygens nella IV° proposizione sulla forza centrifuga parte dall'ipotesi che se due corpi, che si muovono con moto circolare uniforme su due circonferenze di raggio diverso, hanno la stessa forza centrifuga, allora il corpo che viaggia nella circonferenza dal raggio più grande avrà un periodo di rivoluzione maggiore.
Huygens dà una dimostrazione prettamente geometrica, ma, come dalle tre proposizioni precedenti, tale legge si può dimostrare anche con la seconda legge di Newton sul moto. Ho proceduto nel seguente modo, solo che ad un certo punto mi sono bloccato perché non so come giustificare un punto:
Per ipotesi so che:
m_1=m_2
r_1>r_2
F_c1=F_c2
Ho svolto così la dimostrazione:
F_c1=F_c2
m⋅ω_1^2⋅r_1=m⋅ω_2^2⋅r_2
m⋅(2π/P_1 )^2⋅r_1=m⋅(2π/P_2 )^2⋅r_2
4π^2/(P_1^2 )⋅r_1=4π^2/(P_2^2 )⋅r_2
r_1/(P_1^2 )=r_2/(P_2^2 )
Il punto è: come faccio a dimostrare che necessariamente P_1 deve essere maggiore di P_2 per ottenere l'uguaglianza di partenza?
Per F_c1=F_c2, se r_1>r_2, allora P_1>P_2. Perché?
Scusatemi se è una questione forse banale, purtroppo però è dal quinto liceo che sto lontano dalla fisica. Mi serve questa ricostruzione di Newton per poi arrivare a Kant, per questo ho dovuto rispolverare un po' di nozioni di fisica.
Grazie
Innanzitutto mi presento. Mi chiamo Daniele, ho 25 anni e sto facendo un dottorato di ricerca in filosofia della scienza presso l'università di Barcellona.
Sto ricostruendo il percorso che ha portato Newton alla formulazione della legge di gravitazione universale e per questo motivo mi sono imbattuto anche nel "De vi centrifuga" di Huygens.
Huygens nella IV° proposizione sulla forza centrifuga parte dall'ipotesi che se due corpi, che si muovono con moto circolare uniforme su due circonferenze di raggio diverso, hanno la stessa forza centrifuga, allora il corpo che viaggia nella circonferenza dal raggio più grande avrà un periodo di rivoluzione maggiore.
Huygens dà una dimostrazione prettamente geometrica, ma, come dalle tre proposizioni precedenti, tale legge si può dimostrare anche con la seconda legge di Newton sul moto. Ho proceduto nel seguente modo, solo che ad un certo punto mi sono bloccato perché non so come giustificare un punto:
Per ipotesi so che:
m_1=m_2
r_1>r_2
F_c1=F_c2
Ho svolto così la dimostrazione:
F_c1=F_c2
m⋅ω_1^2⋅r_1=m⋅ω_2^2⋅r_2
m⋅(2π/P_1 )^2⋅r_1=m⋅(2π/P_2 )^2⋅r_2
4π^2/(P_1^2 )⋅r_1=4π^2/(P_2^2 )⋅r_2
r_1/(P_1^2 )=r_2/(P_2^2 )
Il punto è: come faccio a dimostrare che necessariamente P_1 deve essere maggiore di P_2 per ottenere l'uguaglianza di partenza?
Per F_c1=F_c2, se r_1>r_2, allora P_1>P_2. Perché?
Scusatemi se è una questione forse banale, purtroppo però è dal quinto liceo che sto lontano dalla fisica. Mi serve questa ricostruzione di Newton per poi arrivare a Kant, per questo ho dovuto rispolverare un po' di nozioni di fisica.
Grazie
Risposte
Non so, forse mi sfugge qualcosa, ma mi pare che:
Se:
le masse sono uguali
le forze centrifughe sono uguali
la forza centrifuga (che oggi chiameremmo centripeta...) vale $M \omega^2 r$
allora togliamo la M, che è uguale
quindi
$r_1\omega_1^2 = r_2\omega_2^2$
se $r_1 < r_2$
allora $\omega_1^2 > \omega_2^2$
e quindi anche
$\omega_1 > \omega_2$
da cui, siccome $\omega$ è inversamente proporzionale a P
$P_1 < P_2$
Mi viene però da chiedere: sapeva Huygens che la forza centripeta è $M \omega^2 r$?
Se:
le masse sono uguali
le forze centrifughe sono uguali
la forza centrifuga (che oggi chiameremmo centripeta...) vale $M \omega^2 r$
allora togliamo la M, che è uguale
quindi
$r_1\omega_1^2 = r_2\omega_2^2$
se $r_1 < r_2$
allora $\omega_1^2 > \omega_2^2$
e quindi anche
$\omega_1 > \omega_2$
da cui, siccome $\omega$ è inversamente proporzionale a P
$P_1 < P_2$
Mi viene però da chiedere: sapeva Huygens che la forza centripeta è $M \omega^2 r$?
Mi viene però da chiedere: sapeva Huygens che la forza centripeta è Mω2r?
Direi di no, i risultati originali di Huygens, così come quelli di Newton, sono del tutto geometrici e privi in generale di formule analitiche, fu Eulero che diede un significato analitico ai loro risultati, come per esempio $F=ma$
Perfetto, grazie per la spiegazione. Io però il passaggio che purtroppo non mi è chiaro è perché:
se r_1 > r_2
allora ω_1^2 < ω_2^2
C'è una qualche proprietà che non ricordo che porta a questo modus ponens?
se r_1 > r_2
allora ω_1^2 < ω_2^2
C'è una qualche proprietà che non ricordo che porta a questo modus ponens?
Se A°B = C°D e A > C, allora B < D
Ecco, grazie mille!
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