Quarta proposizione di Huygens sulla forza centrifuga

[dpd91]

Buonasera a tutti! Mi sono appena iscritto in questo forum per confrontarmi su determinati problemi.
Innanzitutto mi presento. Mi chiamo Daniele, ho 25 anni e sto facendo un dottorato di ricerca in filosofia della scienza presso l'università di Barcellona.
Sto ricostruendo il percorso che ha portato Newton alla formulazione della legge di gravitazione universale e per questo motivo mi sono imbattuto anche nel "De vi centrifuga" di Huygens.
Huygens nella IV° proposizione sulla forza centrifuga parte dall'ipotesi che se due corpi, che si muovono con moto circolare uniforme su due circonferenze di raggio diverso, hanno la stessa forza centrifuga, allora il corpo che viaggia nella circonferenza dal raggio più grande avrà un periodo di rivoluzione maggiore.
Huygens dà una dimostrazione prettamente geometrica, ma, come dalle tre proposizioni precedenti, tale legge si può dimostrare anche con la seconda legge di Newton sul moto. Ho proceduto nel seguente modo, solo che ad un certo punto mi sono bloccato perché non so come giustificare un punto:

Per ipotesi so che:
m_1=m_2
r_1>r_2
F_c1=F_c2

Ho svolto così la dimostrazione:
F_c1=F_c2
m⋅ω_1^2⋅r_1=m⋅ω_2^2⋅r_2
m⋅(2π/P_1 )^2⋅r_1=m⋅(2π/P_2 )^2⋅r_2
4π^2/(P_1^2 )⋅r_1=4π^2/(P_2^2 )⋅r_2
r_1/(P_1^2 )=r_2/(P_2^2 )

Il punto è: come faccio a dimostrare che necessariamente P_1 deve essere maggiore di P_2 per ottenere l'uguaglianza di partenza?
Per F_c1=F_c2, se r_1>r_2, allora P_1>P_2. Perché?

Scusatemi se è una questione forse banale, purtroppo però è dal quinto liceo che sto lontano dalla fisica. Mi serve questa ricostruzione di Newton per poi arrivare a Kant, per questo ho dovuto rispolverare un po' di nozioni di fisica.

Grazie

[Ziben]

Ciao,
praticamente ci sei:
$r_1/(P_1^2)=r_2/(P_2^2)$ diventa $(P_2^2)/(P_1^2)=r_2/r_1$. Sapendo che $r_1>r_2$ allora $r_2/r_1<1$ e quindi:

$P_2^2

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[dpd91]

Perfetto, grazie mille per la spiegazione. Purtroppo però quello che non mi è chiaro, l'ho scritto anche sul gruppo di fisica che mi hanno dato una spiegazione simile, è perché si ha questo modus ponens:
se $ r_2/r_1<1 $
allora $ P_2^2 C'è una qualche proprietà matematica che purtroppo non ricordo?

[Ziben]

ah, ok, facciamo tutti i passaggi:

$(P_2^2)/(P_1^2)=r_2/r_1<1$ per cui $(P_2^2)/(P_1^2)<1$. Ora si moltiplicano entrambi i membri della disuguaglianza per $P_1^2$:

$(P_2^2)/(P_1^2)*P_1^2<1*P_1^2$. Così facendo, a sinistra si elimina $P_1^2$ e rimane $P_2^2

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[dpd91]

Grazie mille! tutto chiaro adesso!!