Quanto ci mette questa asta a cadere?
Buongiorno a tutti! 
Mi rivolgo a voi perché mi sono trovato ad affrontare una tematica che che non ho mai avuto la fortuna di affrontare in passato; di seguito espongo il problema; :
Un'asta, lunga 37cm, è vincolata per mezzo di una cerniera perfetta al piano orizzontale; mentre l'altra estremità, quella superiore, è libera di cadere.
Il centro di massa dell'asta si trova a 13cm da terra.
Quanto impiega l'asta a cadere? quindi quanto vale l'intervallo di tempo che intercorre fra il momento subito conseguente alla condizione di equilibrio (90°); ed il momento subito precedente all'impatto con il suolo (0°)?
Poiché è la semplificazione del comportamento di un sistema reale, se sono necessarie altre constanti che non ho riportato, vi prego di chiedermi pure.
Vi ringrazio enormemente per la vostra eventuale disponibilità ^_^
Mi rivolgo a voi perché mi sono trovato ad affrontare una tematica che che non ho mai avuto la fortuna di affrontare in passato; di seguito espongo il problema; :
Un'asta, lunga 37cm, è vincolata per mezzo di una cerniera perfetta al piano orizzontale; mentre l'altra estremità, quella superiore, è libera di cadere.
Il centro di massa dell'asta si trova a 13cm da terra.
Quanto impiega l'asta a cadere? quindi quanto vale l'intervallo di tempo che intercorre fra il momento subito conseguente alla condizione di equilibrio (90°); ed il momento subito precedente all'impatto con il suolo (0°)?
Poiché è la semplificazione del comportamento di un sistema reale, se sono necessarie altre constanti che non ho riportato, vi prego di chiedermi pure.
Vi ringrazio enormemente per la vostra eventuale disponibilità ^_^
Risposte
Benvenuto nel forum.
Conviene assumere. come coordinata funzione del tempo, l'angolo che l'asta forma con la verticale : $\theta = \theta(t)$ , variabile quindi da $0$, in posizione verticale, a $\pi/2$ in posizione orizzontale a fine caduta.
Evidentemente anche la velocità angolare $\omega = (d\theta)/(dt) = dot\theta(t)$ è funzione del tempo.
Il centro di massa $C$ ha inizialmente distanza $H$ nota dal piano. Il momento di inerzia dell'asta rispetto alla cerniera vale : $I = 1/3ML^2$ .
In una posizione angolare qualsiasi vale il principio della conservazione dell'energia :
$MgH = 1/2I\omega^2 + MgHcos\theta$
cioè : $MgH(1-cos\theta) = 1/6ML^2\omega^2 $
da cui : $ \omega = (d\theta)/(dt) = sqrt((6gH)/L^2*(1 - cos \theta)) $
perciò separando le variabili : $ dt = (d\theta)/sqrt((6gH)/L^2*(1 - cos \theta)) $
e quindi il tempo di caduta si trova integrando primo e secondo membro :
$ \int_0^T dt = \int_0^(\pi/2) (d\theta)/sqrt((6gH)/L^2*(1 - cos \theta)) $
Ma l'integrale a secondo membro non è esprimibile con funzioni elementari. Si dovrebbe trattare di un integrale ellittico, se ben ricordo.
Da notare che anche l'accelerazione angolare è funzione del tempo, basta calcolare la derivata temporale di $\omega$ , e cioè $\alpha = (d\omega)/(d\theta)(d\theta)/(dt)$ , trattandosi di "funzione composta" .
Conviene assumere. come coordinata funzione del tempo, l'angolo che l'asta forma con la verticale : $\theta = \theta(t)$ , variabile quindi da $0$, in posizione verticale, a $\pi/2$ in posizione orizzontale a fine caduta.
Evidentemente anche la velocità angolare $\omega = (d\theta)/(dt) = dot\theta(t)$ è funzione del tempo.
Il centro di massa $C$ ha inizialmente distanza $H$ nota dal piano. Il momento di inerzia dell'asta rispetto alla cerniera vale : $I = 1/3ML^2$ .
In una posizione angolare qualsiasi vale il principio della conservazione dell'energia :
$MgH = 1/2I\omega^2 + MgHcos\theta$
cioè : $MgH(1-cos\theta) = 1/6ML^2\omega^2 $
da cui : $ \omega = (d\theta)/(dt) = sqrt((6gH)/L^2*(1 - cos \theta)) $
perciò separando le variabili : $ dt = (d\theta)/sqrt((6gH)/L^2*(1 - cos \theta)) $
e quindi il tempo di caduta si trova integrando primo e secondo membro :
$ \int_0^T dt = \int_0^(\pi/2) (d\theta)/sqrt((6gH)/L^2*(1 - cos \theta)) $
Ma l'integrale a secondo membro non è esprimibile con funzioni elementari. Si dovrebbe trattare di un integrale ellittico, se ben ricordo.
Da notare che anche l'accelerazione angolare è funzione del tempo, basta calcolare la derivata temporale di $\omega$ , e cioè $\alpha = (d\omega)/(d\theta)(d\theta)/(dt)$ , trattandosi di "funzione composta" .
a dire il vero,se con $I$ si intende il momento di inerzia dell'asta rispetto alla cerniera,si ha $mg(h-y)=1/2Iomega^2$
dove $h$ è l'altezza iniziale del centro di massa ed $y$ una sua quota generica
dove $h$ è l'altezza iniziale del centro di massa ed $y$ una sua quota generica
E infatti , è questa :
basta farsi la figurina. Quindi ho detto il vero.
"navigatore":
cioè : $ MgH(1-cos\theta) = 1/6ML^2\omega^2 $
basta farsi la figurina. Quindi ho detto il vero.
stavo cancellando,mi sono accorto che avevi scritto in un'altra forma la stessa cosa
No problem Stormy : questo è il bello della diretta , diceva un presentatore che oggi non c'è più ! 
"navigatore":
No problem Stormy : questo è il bello della diretta , diceva un presentatore che oggi non c'è più !
eh,sì
comunque,il problema ,oltre che complesso,è anche posto male perchè mancano le condizioni iniziali : o si deve dare un angolo,magari piccolo,dal quale si lascia cadere l'asta o,se si trova nella posizione di equilibrio,bisogna dare la velocità angolare iniziale
perchè,una cosa è sicura : se $theta_0=0;omega_0=0$,l'asta resta lì in eterno
Giusta osservazione, sono d'accordo. Ma il nostro nuovo amico forse ha omesso di dire : viene data una spintarella all'asta, che trovandosi in equilibrio instabile inizia a cadere, con velocità angolare iniziale piccolissima, diciamo trascurabile.
sì,ma per quanto piccolo, un valore ce lo deve dare altrimenti,ammesso che si riesca a risolvere l'integrale,l'istante esatto di caduta non lo si trova perchè in effetti al secondo membro dovrebbe esserci $1/2Iomega^2-1/2Iomega_0^2$
Chiediamo a Giovanazzi di mettere il testo esatto del problema. Ma penso che si dica di considerare trascurabile la velocità angolare iniziale. Ho visto diversi esercizi, anche in questo forum, che non vanno per il sottile circa le condizioni iniziali.
sì ma la questione è questa : siccome in sostanza abbiamo a che fare con un problema di Cauchy,se si impongono le condizioni iniziali $theta_0=0;omega_0$,la soluzione è $theta=0$
mettiamo noi un angolo :$0,1rad$ e che non se ne parli più
mettiamo noi un angolo :$0,1rad$ e che non se ne parli più
Buona sera a tutti!
Vorrei ringraziarvi davvero moltissimo per la vostra grande disponibilità!
Devo ancora leggere bene tutto ciò che avete scritto; ma prima vorrei fare una precisazione riguardo al testo: Il problema descritto non deriva da un testo o da una situazione ideale raccolta ad esempio di un specifico argomento; bensì una semplificazione che, pur sempre tramite approssimazioni, consente di descrivere un sistema realmente esistente; cioè il calcolo teorico del tempo di caduta di un self_balancing_robot; tale tempo, lo ho già raccolto tramite misurazioni empiriche ma mi piacerebbe assicurare i miei risultati anche dal punto di vista teorico, oltre che comprendere per interesse personale la strategia fisica atta alla risoluzione della domanda stessa.
Tale tempo di durata della caduta, oggetto di interesse della discussione, è essenziale per implementare correttamente il controllo del suddetto robot.
Per quanto riguarda le precisazioni che mi avete chiesto di fornire con maggiori dettagli: Navigatore ha centrato il bersaglio!
Infatti la condizione di equilibrio nel sistema di riferimento è assolutamente instabile; lascio quindi a voi assumere il valore di velocità angolare iniziale il più irrilevante possibile; ma pur sempre che consenta la risoluzione dell'interrogazione; oppure giustamente porre ciò che ha consigliato Stormy
Immagino che l'approssimazione della velocità iniziale; o dell'angolo iniziale; faccia variare la precisione del risultato; a questo riguardo, poiché si tratta comunque di una idealizzazione del sistema, ritengo non sarebbe utile cercare un risultato puntuale al nanosecondo; penso potrebbe essere una buona approssimazione giungere ad una stima al millisecondo. Se ho reso le cose troppo astruse con questa parte dell'aquità del calcolo, trascuratela pure
Spero di essermi spiegato
Vorrei rinnovare i miei ringraziamenti, siete stati davvero gentilissimi, grazie davvero.
Vorrei ringraziarvi davvero moltissimo per la vostra grande disponibilità!
Devo ancora leggere bene tutto ciò che avete scritto; ma prima vorrei fare una precisazione riguardo al testo: Il problema descritto non deriva da un testo o da una situazione ideale raccolta ad esempio di un specifico argomento; bensì una semplificazione che, pur sempre tramite approssimazioni, consente di descrivere un sistema realmente esistente; cioè il calcolo teorico del tempo di caduta di un self_balancing_robot; tale tempo, lo ho già raccolto tramite misurazioni empiriche ma mi piacerebbe assicurare i miei risultati anche dal punto di vista teorico, oltre che comprendere per interesse personale la strategia fisica atta alla risoluzione della domanda stessa.
Tale tempo di durata della caduta, oggetto di interesse della discussione, è essenziale per implementare correttamente il controllo del suddetto robot.
Per quanto riguarda le precisazioni che mi avete chiesto di fornire con maggiori dettagli: Navigatore ha centrato il bersaglio!
"navigatore":
... Ma il nostro nuovo amico forse ha omesso di dire : viene data una spintarella all'asta, che trovandosi in equilibrio instabile inizia a cadere, con velocità angolare iniziale piccolissima, diciamo trascurabile.
Infatti la condizione di equilibrio nel sistema di riferimento è assolutamente instabile; lascio quindi a voi assumere il valore di velocità angolare iniziale il più irrilevante possibile; ma pur sempre che consenta la risoluzione dell'interrogazione; oppure giustamente porre ciò che ha consigliato Stormy
"stormy":
sì ma la questione è questa : siccome in sostanza abbiamo a che fare con un problema di Cauchy,se si impongono le condizioni iniziali $theta_0=0;omega_0$,la soluzione è $theta=0$
mettiamo noi un angolo :$0,1rad$ e che non se ne parli più
Immagino che l'approssimazione della velocità iniziale; o dell'angolo iniziale; faccia variare la precisione del risultato; a questo riguardo, poiché si tratta comunque di una idealizzazione del sistema, ritengo non sarebbe utile cercare un risultato puntuale al nanosecondo; penso potrebbe essere una buona approssimazione giungere ad una stima al millisecondo. Se ho reso le cose troppo astruse con questa parte dell'aquità del calcolo, trascuratela pure
Spero di essermi spiegato
Vorrei rinnovare i miei ringraziamenti, siete stati davvero gentilissimi, grazie davvero.
Sia ben chiaro che quello proposto è un esercizio teorico in cui si suppone che la cerniera sia un vincolo perfetto, quindi liscio, che non resiste ad alcun momento esterno applicato. Per cui è sufficiente un soffio a far cadere l'asta.
In un caso reale, la cerniera presenta un momento di attrito, con cui resiste a sollecitazioni che tendono a fa ruotare l'asta, fino ad un certo valore max. Perciò, ci vuole qualcosa in più di una spintarella. Ci vuole un momento superiore al max momento di attrito.
In un caso reale, la cerniera presenta un momento di attrito, con cui resiste a sollecitazioni che tendono a fa ruotare l'asta, fino ad un certo valore max. Perciò, ci vuole qualcosa in più di una spintarella. Ci vuole un momento superiore al max momento di attrito.
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