Quantizzazione del campo elettromagnetico in un caso particolare

[giacosalva]

Ciao a tutti,
Dovrei quantizzare il campo elettromagnetico in un caso semplice (un’onda piana monocromatica che si propaga in direzione z, polarizzata piana con il campo elettrico che oscilla lungo x e il campo magnetico che oscilla lungo y).

Il potenziale vettore è:

$ vec(A)(vec(r), t)=1/sqrt(2k^2)*hat(x)*(hat(a)*e^(i*(kz-wt))+ hat(a) * e^(-i*(kz-wt))) $

Il suo momento coniugato è:

$ vec(pi)(vec(r), t)=-(iw/(c^2*sqrt(2k^2))*hat(x)*(hat(a)*e^(i*(kz-wt))- hat(a) * e^(-i*(kz-wt))) $

Il campo magnetico è:

$ vec(B)(vec(r), t)=(k/sqrt(2k^2)*hat(y)*(hat(a)*e^(i*(kz-wt))+ hat(a) * e^(-i*(kz-wt))) $

Dove $ hat(a) $ che moltiplica $e^(-i*(kz-wt))) $, sia per il campo elettrico che per il potenziale vettore e il campo magnetico, sarebbe l'operatore di creazione a aggiunto (non sono riuscito ad inserirlo direttamente), mentre $hat(a)$ è l'operatore di distruzione.

L' hemiltoniana elettronica, per questo caso particolare, è:

$ H=1/2 *(|vec(E)|^2+|vec(B)|^2) $

Ho iniziato imponendo le regole di commutazione canonica, cioè che $[A,pi]=i*h/(2pi)$, ed ho trovato che il commutatore tra l'operatore di distruzione e di creazione è $h/(2pi)*w$.
Per l'hemiltoniana, trovando il modulo dei due campi ed elevando al quadrato ho trovato un risultato pari a $1/2*(hat(a)^2+hat(a)^2)$, dove il secondo $hat(a)$ è l'operatore di creazione, a aggiunto.

Può andare bene secondo voi un risultato del genere?

[Sk_Anonymous]

l’impostazione mi sembra corretta, nel senso che il procedimento è più o meno quello, tuttavia non mi torna molto l’espressione che hai usato per il potenziale vettore, ne’ certi calcoli successivi, ma in realtà ho cominciato dal poco a studiare questa roba, quindi magari usi semplicemente una notazione diversa da quella che conosco

comunque, posso dirti che l’hamiltoniana che ottieni non è quella giusta