Quantità di moto relativistica
Volevo far vedere che la nuova definizione relativistica di quantità di moto: [tex]\underline{p}=\gamma m_0 \underline{v}[/tex], deriva dal forzare il principio di conservazione della quantità di moto classica in un problema relativistico.
Poniamoci in un sistema S e osserviamo un urto tra due masse uguali, con velocità uguali in modulo ma opposte in direzione:
[fcd][FIDOCAD]
EV 75 85 85 95 0
LI 85 85 105 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 95 80 4 3 0 0 0 * vAin
TY 90 95 4 3 0 0 0 *
EV 155 40 145 30 0
LI 145 40 125 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 135 50 4 3 0 0 0 * vBin
TY 140 30 4 3 0 0 0 *
LI 115 100 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 65 90 4 3 0 0 0 * mA
TY 155 25 4 3 0 0 0 * mB[/fcd]
\(\displaystyle m_A=m_B \), \(\displaystyle \underline{v}_{A_{in}}=-\underline{v}_{B_{in}} \).
\(\displaystyle \underline{p}_{in}=m_A\underline{v}_{A_{in}}+m_B\underline{v}_{B_{in}}=\underline{0} \)
\(\displaystyle \underline{p}_{fin}=m_A\underline{v}_{A_{fin}}+m_B\underline{v}_{B_{fin}}=\underline{p}_{in}=\underline{0}\Rightarrow \underline{v}_{A_{fin}}=-\underline{v}_{B_{fin}} \)
Ci sono infiniti scenari post-urto che rispettano questa condizione, consideriamo questo in particolare:
[fcd][FIDOCAD]
EV 135 70 125 80 0
LI 135 80 150 100 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 135 105 4 3 0 0 0 * vAfin
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 95 50 105 40 0
LI 95 40 80 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 65 25 4 3 0 0 0 * vBfin
TY 105 35 4 3 0 0 0 *
LI 115 100 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 135 65 4 3 0 0 0 * mA
TY 90 50 4 3 0 0 0 * mB[/fcd]
ovvero le componenti x delle velocità iniziali e finali (delle rispettive masse) restano le stesse, mentre le componenti y si invertono. Cioè la situazione totale in S è:
\(\displaystyle \underline{v}_{A_{in}}=\begin{pmatrix}
v_{A_{in_{x}}}\\
v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{B_{in}}=\begin{pmatrix}
-v_{A_{in_{x}}}\\
-v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{A_{fin}}=\begin{pmatrix}
v_{A_{in_{x}}}\\
-v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{B_{fin}}=\begin{pmatrix}
-v_{A_{in_{x}}}\\
v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \).
Vediamo S' (che si muove lungo x a velocità [tex]V=v_{A_{in_{x}}}[/tex]) cosa vede. Trasformando secondo Lorentz:
[tex]\underline{v}_{A_{in}}'=\begin{pmatrix}
0\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{B_{in}}'=\begin{pmatrix}
-\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
-\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{A_{fin}}'=\begin{pmatrix}
0\\
-\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{B_{fin}}'=\begin{pmatrix}
-\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex].
Cioè prima dell'urto:
[fcd][FIDOCAD]
EV 120 90 110 100 0
LI 120 90 120 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 75 4 3 0 0 0 * v'Ain
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 160 40 170 30 0
LI 160 35 125 50 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 35 4 3 0 0 0 * v'Bin
TY 105 35 4 3 0 0 0 *
LI 115 95 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y'
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x'
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 115 100 4 3 0 0 0 * mA'
TY 170 25 4 3 0 0 0 * mB'[/fcd]
e dopo:
[fcd][FIDOCAD]
EV 120 65 110 75 0
LI 120 75 120 95 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 75 4 3 0 0 0 * v'Afin
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 95 55 105 45 0
LI 95 50 60 35 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 60 25 4 3 0 0 0 * v'Bfin
TY 40 50 4 3 0 0 0 *
LI 115 95 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y'
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x'
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 100 70 4 3 0 0 0 * mA'
TY 105 40 4 3 0 0 0 * mB'[/fcd]
dove ho dato la possibilità alle masse di essere diverse in S'.
Non c'è più conservazione per le componenti y' della quantità di moto iniziale e finale in S', mentre in x' non sorgono problemi.
Infatti:
[tex]\underline{p}_{{in}}'=m_A'\underline{v}_{A_{in}}'+m_B'\underline{v}_{B_{in}}'=\begin{pmatrix}
-m_B'\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma}\left (\frac{m_A'}{\left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}-\frac{m_B'}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )} \right )
\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\underline{p}_{{fin}}'=m_A'\underline{v}_{A_{fin}}'+m_B'\underline{v}_{B_{fin}}'=\begin{pmatrix}
-m_B'\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma}\left (-\frac{m_A'}{\left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}+\frac{m_B'}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )} \right )
\end{pmatrix}[/tex]
Se forzo la conservazione della quantità di moto lungo y anche in S' ottengo la seguente condizione sulle masse:
[tex]m_{B}'=\frac{\left( 1+\frac{V^{2}}{c^{2}} \right)}{\left( 1-\frac{V^{2}}{c^{2}} \right)}m_{A}'[/tex]
che non è proprio bellissima, perché mi sarei aspettato [tex]m_{B}'=\gamma m_{A}'[/tex].
Qualcuno ha una spiegazione valida del come mai un ragionamento simile non funziona?
Grazie in anticipo.
PS: il problema non sta nel fatto che in S' sia [tex]m_{A}'[/tex] che [tex]m_{B}'[/tex] hanno componenti di velocità non nulle lungo y, in quanto il risultato precedente (quello non proprio bellissimo) si ottiene anche mandando a zero tali componenti di velocità (e mettendo cioè [tex]m_{A}'[/tex] a riposo in S').
Poniamoci in un sistema S e osserviamo un urto tra due masse uguali, con velocità uguali in modulo ma opposte in direzione:
[fcd][FIDOCAD]
EV 75 85 85 95 0
LI 85 85 105 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 95 80 4 3 0 0 0 * vAin
TY 90 95 4 3 0 0 0 *
EV 155 40 145 30 0
LI 145 40 125 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 135 50 4 3 0 0 0 * vBin
TY 140 30 4 3 0 0 0 *
LI 115 100 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 65 90 4 3 0 0 0 * mA
TY 155 25 4 3 0 0 0 * mB[/fcd]
\(\displaystyle m_A=m_B \), \(\displaystyle \underline{v}_{A_{in}}=-\underline{v}_{B_{in}} \).
\(\displaystyle \underline{p}_{in}=m_A\underline{v}_{A_{in}}+m_B\underline{v}_{B_{in}}=\underline{0} \)
\(\displaystyle \underline{p}_{fin}=m_A\underline{v}_{A_{fin}}+m_B\underline{v}_{B_{fin}}=\underline{p}_{in}=\underline{0}\Rightarrow \underline{v}_{A_{fin}}=-\underline{v}_{B_{fin}} \)
Ci sono infiniti scenari post-urto che rispettano questa condizione, consideriamo questo in particolare:
[fcd][FIDOCAD]
EV 135 70 125 80 0
LI 135 80 150 100 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 135 105 4 3 0 0 0 * vAfin
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 95 50 105 40 0
LI 95 40 80 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 65 25 4 3 0 0 0 * vBfin
TY 105 35 4 3 0 0 0 *
LI 115 100 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 135 65 4 3 0 0 0 * mA
TY 90 50 4 3 0 0 0 * mB[/fcd]
ovvero le componenti x delle velocità iniziali e finali (delle rispettive masse) restano le stesse, mentre le componenti y si invertono. Cioè la situazione totale in S è:
\(\displaystyle \underline{v}_{A_{in}}=\begin{pmatrix}
v_{A_{in_{x}}}\\
v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{B_{in}}=\begin{pmatrix}
-v_{A_{in_{x}}}\\
-v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{A_{fin}}=\begin{pmatrix}
v_{A_{in_{x}}}\\
-v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{B_{fin}}=\begin{pmatrix}
-v_{A_{in_{x}}}\\
v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \).
Vediamo S' (che si muove lungo x a velocità [tex]V=v_{A_{in_{x}}}[/tex]) cosa vede. Trasformando secondo Lorentz:
[tex]\underline{v}_{A_{in}}'=\begin{pmatrix}
0\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{B_{in}}'=\begin{pmatrix}
-\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
-\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{A_{fin}}'=\begin{pmatrix}
0\\
-\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{B_{fin}}'=\begin{pmatrix}
-\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex].
Cioè prima dell'urto:
[fcd][FIDOCAD]
EV 120 90 110 100 0
LI 120 90 120 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 75 4 3 0 0 0 * v'Ain
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 160 40 170 30 0
LI 160 35 125 50 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 35 4 3 0 0 0 * v'Bin
TY 105 35 4 3 0 0 0 *
LI 115 95 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y'
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x'
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 115 100 4 3 0 0 0 * mA'
TY 170 25 4 3 0 0 0 * mB'[/fcd]
e dopo:
[fcd][FIDOCAD]
EV 120 65 110 75 0
LI 120 75 120 95 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 75 4 3 0 0 0 * v'Afin
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 95 55 105 45 0
LI 95 50 60 35 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 60 25 4 3 0 0 0 * v'Bfin
TY 40 50 4 3 0 0 0 *
LI 115 95 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y'
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x'
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 100 70 4 3 0 0 0 * mA'
TY 105 40 4 3 0 0 0 * mB'[/fcd]
dove ho dato la possibilità alle masse di essere diverse in S'.
Non c'è più conservazione per le componenti y' della quantità di moto iniziale e finale in S', mentre in x' non sorgono problemi.
Infatti:
[tex]\underline{p}_{{in}}'=m_A'\underline{v}_{A_{in}}'+m_B'\underline{v}_{B_{in}}'=\begin{pmatrix}
-m_B'\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma}\left (\frac{m_A'}{\left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}-\frac{m_B'}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )} \right )
\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\underline{p}_{{fin}}'=m_A'\underline{v}_{A_{fin}}'+m_B'\underline{v}_{B_{fin}}'=\begin{pmatrix}
-m_B'\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma}\left (-\frac{m_A'}{\left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}+\frac{m_B'}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )} \right )
\end{pmatrix}[/tex]
Se forzo la conservazione della quantità di moto lungo y anche in S' ottengo la seguente condizione sulle masse:
[tex]m_{B}'=\frac{\left( 1+\frac{V^{2}}{c^{2}} \right)}{\left( 1-\frac{V^{2}}{c^{2}} \right)}m_{A}'[/tex]
che non è proprio bellissima, perché mi sarei aspettato [tex]m_{B}'=\gamma m_{A}'[/tex].
Qualcuno ha una spiegazione valida del come mai un ragionamento simile non funziona?
Grazie in anticipo.
PS: il problema non sta nel fatto che in S' sia [tex]m_{A}'[/tex] che [tex]m_{B}'[/tex] hanno componenti di velocità non nulle lungo y, in quanto il risultato precedente (quello non proprio bellissimo) si ottiene anche mandando a zero tali componenti di velocità (e mettendo cioè [tex]m_{A}'[/tex] a riposo in S').
Risposte
La quantita' di moto classica non si conserva in urti relativistici
Volevo far vedere che la nuova definizione relativistica di quantità di moto: \( \underline{p}=\gamma m_0 \underline{v} \), deriva dal forzare il principio di conservazione della quantità di moto classica in un problema relativistico.
Va bene, ma rimane comunque un'ipotesi sbagliata e quindi ottieni una tesi non vera.
Non esiste un modo di vedere il perché la quantità di moto relativistica si modifica proprio in quel modo rispetto a quella classica? (A perte darla come definizione e verificare con le trasformazioni?)
Grazie dell'interessamento.
Grazie dell'interessamento.
Posso darti un consiglio ? Leggi il paragrafo 16.4 delle lezioni di Feynman, che ora sono in rete :
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_16.html
in esso, Feynman introduce il concetto di "massa relativistica" ( oggi superato, ma negli anni '60 era molto diffuso) e di quantità di moto relativistica mediante un processo di urto tra particelle, proprio come vuoi fare tu .
È un ragionamento molto acuto . Trovi la traduzione italiana nel volumetto : " Sei pezzi meno facili " della Adelphi .
Negli urti relativistici, si conserva sempre il 4-impulso , qualunque sia il tipo di urto.
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_16.html
in esso, Feynman introduce il concetto di "massa relativistica" ( oggi superato, ma negli anni '60 era molto diffuso) e di quantità di moto relativistica mediante un processo di urto tra particelle, proprio come vuoi fare tu .
È un ragionamento molto acuto . Trovi la traduzione italiana nel volumetto : " Sei pezzi meno facili " della Adelphi .
Negli urti relativistici, si conserva sempre il 4-impulso , qualunque sia il tipo di urto.
Il concetto di quantita' di moto relativistica si ottiene con gli urti sapendo che vi deve essere una formula lineare ricollegabile alla quantita' di moto che si conserva e che per v piccole diventa quella classica. Quindi si pone la conservazione di $m(v) v $ , che e' ben diverso dal porre l'uguaglianza della quantita' di moto classica, e da li' si ricava la massa relativistica .
Domani leggo, grazie mille.

Certo, è diverso dalla conservazione della q.d.m. classica, che deve comunque valere quando la velocità della particella è "piccola" rispetto a $c$ . Se scriviamo la quantità di moto e l'energia cinetica nella forma classica:
$vecp = mvecv$
$E = 1/2mv^2$
sappiamo che esse sono compatibili con le trasformazioni di Galileo tra riferimenti inerziali, dunque con la composizione galileiana delle velocità . Ma in RR le velocità si compongono in maniera ben diversa, poiché si applicano le TL e non quelle galileiane. Dunque si deve concludere che la conservazione di $vecp = mvecv$ non è compatibile con le trasformazioni di Lorentz .
Però sappiamo che deve sussistere l'invarianza delle leggi della fisica per traslazioni del sistema di coordinate, come conseguenza dell'omogeneità dello spazio . Per cui deve esistere una grandezza conservata, equivalente alla grandezza classica $vecp = mvecv$ . Analogo discorso si fa per l'energia . La questione non è affatto banale.
Assumendo come postulato che esistano una grandezza $vecp$ e una grandezza $E$ che si conservano in tutti i riferimenti inerziali , si vede, studiando un processo di urto tra particelle a velocità relativistiche, che occorre modificare la forma della quantità di moto e dell'energia affinché si conservino nelle TL , e precisamente esse si devono scrivere :
$vecp = gammamvecv$
$E = gammamc^2$
queste soddisfano le TL . Da notare che oggi la massa $m$ di una particella si assume , più correttamente, invariante con la velocità , e cioè la massa di una particella non dipende dall'osservatore ( meglio : dal riferimento) , come invece dipende la velocità $v$ e il fattore $gamma = (1-\beta^2)^(-1/2) $ .
Per maggiori dettagli, guarda anche questa dispensa di Elio Fabri, che chiarisce pure la questione della massa invariante:
http://osiris.df.unipi.it/~fabri/sagredo/Q16/lez12.pdf
consiglio pure il cap 1 e il cap. 6 di queste dispense ,e ancora quest'altra .
$vecp = mvecv$
$E = 1/2mv^2$
sappiamo che esse sono compatibili con le trasformazioni di Galileo tra riferimenti inerziali, dunque con la composizione galileiana delle velocità . Ma in RR le velocità si compongono in maniera ben diversa, poiché si applicano le TL e non quelle galileiane. Dunque si deve concludere che la conservazione di $vecp = mvecv$ non è compatibile con le trasformazioni di Lorentz .
Però sappiamo che deve sussistere l'invarianza delle leggi della fisica per traslazioni del sistema di coordinate, come conseguenza dell'omogeneità dello spazio . Per cui deve esistere una grandezza conservata, equivalente alla grandezza classica $vecp = mvecv$ . Analogo discorso si fa per l'energia . La questione non è affatto banale.
Assumendo come postulato che esistano una grandezza $vecp$ e una grandezza $E$ che si conservano in tutti i riferimenti inerziali , si vede, studiando un processo di urto tra particelle a velocità relativistiche, che occorre modificare la forma della quantità di moto e dell'energia affinché si conservino nelle TL , e precisamente esse si devono scrivere :
$vecp = gammamvecv$
$E = gammamc^2$
queste soddisfano le TL . Da notare che oggi la massa $m$ di una particella si assume , più correttamente, invariante con la velocità , e cioè la massa di una particella non dipende dall'osservatore ( meglio : dal riferimento) , come invece dipende la velocità $v$ e il fattore $gamma = (1-\beta^2)^(-1/2) $ .
Per maggiori dettagli, guarda anche questa dispensa di Elio Fabri, che chiarisce pure la questione della massa invariante:
http://osiris.df.unipi.it/~fabri/sagredo/Q16/lez12.pdf
consiglio pure il cap 1 e il cap. 6 di queste dispense ,e ancora quest'altra .
Risolto, grazie ancora.