Quantità di moto relativistica

[Silente]

Volevo far vedere che la nuova definizione relativistica di quantità di moto: [tex]\underline{p}=\gamma m_0 \underline{v}[/tex], deriva dal forzare il principio di conservazione della quantità di moto classica in un problema relativistico.

Poniamoci in un sistema S e osserviamo un urto tra due masse uguali, con velocità uguali in modulo ma opposte in direzione:

[fcd][FIDOCAD]
EV 75 85 85 95 0
LI 85 85 105 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 95 80 4 3 0 0 0 * vAin
TY 90 95 4 3 0 0 0 *
EV 155 40 145 30 0
LI 145 40 125 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 135 50 4 3 0 0 0 * vBin
TY 140 30 4 3 0 0 0 *
LI 115 100 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 65 90 4 3 0 0 0 * mA
TY 155 25 4 3 0 0 0 * mB[/fcd]

\(\displaystyle m_A=m_B \), \(\displaystyle \underline{v}_{A_{in}}=-\underline{v}_{B_{in}} \).

\(\displaystyle \underline{p}_{in}=m_A\underline{v}_{A_{in}}+m_B\underline{v}_{B_{in}}=\underline{0} \)
\(\displaystyle \underline{p}_{fin}=m_A\underline{v}_{A_{fin}}+m_B\underline{v}_{B_{fin}}=\underline{p}_{in}=\underline{0}\Rightarrow \underline{v}_{A_{fin}}=-\underline{v}_{B_{fin}} \)

Ci sono infiniti scenari post-urto che rispettano questa condizione, consideriamo questo in particolare:

[fcd][FIDOCAD]
EV 135 70 125 80 0
LI 135 80 150 100 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 135 105 4 3 0 0 0 * vAfin
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 95 50 105 40 0
LI 95 40 80 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 65 25 4 3 0 0 0 * vBfin
TY 105 35 4 3 0 0 0 *
LI 115 100 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 135 65 4 3 0 0 0 * mA
TY 90 50 4 3 0 0 0 * mB[/fcd]

ovvero le componenti x delle velocità iniziali e finali (delle rispettive masse) restano le stesse, mentre le componenti y si invertono. Cioè la situazione totale in S è:

\(\displaystyle \underline{v}_{A_{in}}=\begin{pmatrix}
v_{A_{in_{x}}}\\
v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{B_{in}}=\begin{pmatrix}
-v_{A_{in_{x}}}\\
-v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{A_{fin}}=\begin{pmatrix}
v_{A_{in_{x}}}\\
-v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \underline{v}_{B_{fin}}=\begin{pmatrix}
-v_{A_{in_{x}}}\\
v_{A_{in_{y}}}
\end{pmatrix} \).

Vediamo S' (che si muove lungo x a velocità [tex]V=v_{A_{in_{x}}}[/tex]) cosa vede. Trasformando secondo Lorentz:

[tex]\underline{v}_{A_{in}}'=\begin{pmatrix}
0\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{B_{in}}'=\begin{pmatrix}
-\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
-\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{A_{fin}}'=\begin{pmatrix}
0\\
-\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex], [tex]\underline{v}_{B_{fin}}'=\begin{pmatrix}
-\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma \left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}
\end{pmatrix}[/tex].

Cioè prima dell'urto:

[fcd][FIDOCAD]
EV 120 90 110 100 0
LI 120 90 120 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 75 4 3 0 0 0 * v'Ain
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 160 40 170 30 0
LI 160 35 125 50 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 35 4 3 0 0 0 * v'Bin
TY 105 35 4 3 0 0 0 *
LI 115 95 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y'
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x'
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 115 100 4 3 0 0 0 * mA'
TY 170 25 4 3 0 0 0 * mB'[/fcd]

e dopo:

[fcd][FIDOCAD]
EV 120 65 110 75 0
LI 120 75 120 95 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 125 75 4 3 0 0 0 * v'Afin
TY 125 85 4 3 0 0 0 *
EV 95 55 105 45 0
LI 95 50 60 35 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 60 25 4 3 0 0 0 * v'Bfin
TY 40 50 4 3 0 0 0 *
LI 115 95 115 20 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 110 15 4 3 0 0 0 * y'
TY 120 110 4 3 0 0 0 *
LI 50 60 180 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 180 65 4 3 0 0 0 * x'
TY 55 70 4 3 0 0 0 *
TY 100 70 4 3 0 0 0 * mA'
TY 105 40 4 3 0 0 0 * mB'[/fcd]

dove ho dato la possibilità alle masse di essere diverse in S'.

Non c'è più conservazione per le componenti y' della quantità di moto iniziale e finale in S', mentre in x' non sorgono problemi.
Infatti:

[tex]\underline{p}_{{in}}'=m_A'\underline{v}_{A_{in}}'+m_B'\underline{v}_{B_{in}}'=\begin{pmatrix}
-m_B'\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma}\left (\frac{m_A'}{\left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}-\frac{m_B'}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )} \right )
\end{pmatrix}[/tex]

[tex]\underline{p}_{{fin}}'=m_A'\underline{v}_{A_{fin}}'+m_B'\underline{v}_{B_{fin}}'=\begin{pmatrix}
-m_B'\frac{2V}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )}\\
\frac{v_{A_{in_{y}}}}{\gamma}\left (-\frac{m_A'}{\left ( 1-\frac{V^2}{c^2} \right )}+\frac{m_B'}{\left ( 1+\frac{V^2}{c^2} \right )} \right )
\end{pmatrix}[/tex]

Se forzo la conservazione della quantità di moto lungo y anche in S' ottengo la seguente condizione sulle masse:

[tex]m_{B}'=\frac{\left( 1+\frac{V^{2}}{c^{2}} \right)}{\left( 1-\frac{V^{2}}{c^{2}} \right)}m_{A}'[/tex]

che non è proprio bellissima, perché mi sarei aspettato [tex]m_{B}'=\gamma m_{A}'[/tex].

Qualcuno ha una spiegazione valida del come mai un ragionamento simile non funziona?

Grazie in anticipo.

PS: il problema non sta nel fatto che in S' sia [tex]m_{A}'[/tex] che [tex]m_{B}'[/tex] hanno componenti di velocità non nulle lungo y, in quanto il risultato precedente (quello non proprio bellissimo) si ottiene anche mandando a zero tali componenti di velocità (e mettendo cioè [tex]m_{A}'[/tex] a riposo in S').

[MementoMori2]

La quantita' di moto classica non si conserva in urti relativistici

[Silente]

Volevo far vedere che la nuova definizione relativistica di quantità di moto: \( \underline{p}=\gamma m_0 \underline{v} \), deriva dal forzare il principio di conservazione della quantità di moto classica in un problema relativistico.

[MementoMori2]

Va bene, ma rimane comunque un'ipotesi sbagliata e quindi ottieni una tesi non vera.

[Silente]

Non esiste un modo di vedere il perché la quantità di moto relativistica si modifica proprio in quel modo rispetto a quella classica? (A perte darla come definizione e verificare con le trasformazioni?)

Grazie dell'interessamento.

[Shackle]

Posso darti un consiglio ? Leggi il paragrafo 16.4 delle lezioni di Feynman, che ora sono in rete :

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_16.html

in esso, Feynman introduce il concetto di "massa relativistica" ( oggi superato, ma negli anni '60 era molto diffuso) e di quantità di moto relativistica mediante un processo di urto tra particelle, proprio come vuoi fare tu .

È un ragionamento molto acuto . Trovi la traduzione italiana nel volumetto : " Sei pezzi meno facili " della Adelphi .

Negli urti relativistici, si conserva sempre il 4-impulso , qualunque sia il tipo di urto.

[MementoMori2]

Il concetto di quantita' di moto relativistica si ottiene con gli urti sapendo che vi deve essere una formula lineare ricollegabile alla quantita' di moto che si conserva e che per v piccole diventa quella classica. Quindi si pone la conservazione di $m(v) v $ , che e' ben diverso dal porre l'uguaglianza della quantita' di moto classica, e da li' si ricava la massa relativistica .

[Silente]

Domani leggo, grazie mille.

[Shackle]

Certo, è diverso dalla conservazione della q.d.m. classica, che deve comunque valere quando la velocità della particella è "piccola" rispetto a $c$ . Se scriviamo la quantità di moto e l'energia cinetica nella forma classica:

$vecp = mvecv$
$E = 1/2mv^2$

sappiamo che esse sono compatibili con le trasformazioni di Galileo tra riferimenti inerziali, dunque con la composizione galileiana delle velocità . Ma in RR le velocità si compongono in maniera ben diversa, poiché si applicano le TL e non quelle galileiane. Dunque si deve concludere che la conservazione di $vecp = mvecv$ non è compatibile con le trasformazioni di Lorentz .
Però sappiamo che deve sussistere l'invarianza delle leggi della fisica per traslazioni del sistema di coordinate, come conseguenza dell'omogeneità dello spazio . Per cui deve esistere una grandezza conservata, equivalente alla grandezza classica $vecp = mvecv$ . Analogo discorso si fa per l'energia . La questione non è affatto banale.

Assumendo come postulato che esistano una grandezza $vecp$ e una grandezza $E$ che si conservano in tutti i riferimenti inerziali , si vede, studiando un processo di urto tra particelle a velocità relativistiche, che occorre modificare la forma della quantità di moto e dell'energia affinché si conservino nelle TL , e precisamente esse si devono scrivere :

$vecp = gammamvecv$
$E = gammamc^2$

queste soddisfano le TL . Da notare che oggi la massa $m$ di una particella si assume , più correttamente, invariante con la velocità , e cioè la massa di una particella non dipende dall'osservatore ( meglio : dal riferimento) , come invece dipende la velocità $v$ e il fattore $gamma = (1-\beta^2)^(-1/2) $ .

Per maggiori dettagli, guarda anche questa dispensa di Elio Fabri, che chiarisce pure la questione della massa invariante:

http://osiris.df.unipi.it/~fabri/sagredo/Q16/lez12.pdf

consiglio pure il cap 1 e il cap. 6 di queste dispense ,e ancora quest'altra .

[Silente]

Risolto, grazie ancora.