Quantità di moto - Problema 47 pag 222 edizione 2010

[panthe]

Vi hanno convocato un tribunale come consulente tecnico in un caso di incidente automobilistico. L'incidente ha coinvolto un automobile di massa 1900 kg (automobile A) che si è scontrata contro un automobile ferma di massa 1100 kg (automobile B). Il guidatore dell'automobile A ha iniziato a frenare 15 m prima dell'urto con l'automobile B. Dopo l'urto, l'automobile A è scivolata di 18m, mentre l'autombile B è scivolata di 30m. Il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote frenate e la strada è risultato di 0.60. Dimostrate alla corte che il guidatore dell'automobile A aveva superato il limite di velocità (90km/h) prima di iniziare a frenare.

Questo esercizio ho provato a farlo almeno 4 volte ma non mi esce.
Sicuramente sbaglio ad impostarlo.
Un aiutino?

Grazie
Ciao
Luca

[chiaraotta1]

Il problema chiede di calcolare la velocità iniziale di $A$, attraverso le variazione di velocità dovute a una frenata, poi a un urto anelastico con $B$ e infine a una scivolata sia di $A$ che di $B$ che porta le loro velocità a $0$.
Indico con $v_(0A)$ la velocità iniziale di $A$, da calcolare; con $v_(1A)$ la velocità dopo la prima frenata, prima dell'urto; con $v_(2A)$ e $v_(2B)$ le velocità di $A$ e $B$ dopo l'urto; con $v_(3A)=v_(3B)=0$ le velocità dopo le scivolate finali. Inoltre con $Deltax_(1A)$ la lunghezza della frenata di $A$ e con $Deltax_(2A)$ e $Deltax_(2B)$ le lunghezze delle scivolate finali.
Allora nella prima frenata c'è una perdita di Energia cinetica di $A$ dovuta alla forza d'attrito: dunque
$1/2 * m_A * v_(1A)^2 = 1/2 * m_A * v_(0A)^2 - mu_d * m_A * g * Deltax_(1A)$
e quindi
$v_(0A)=sqrt(v_(1A)^2 + 2 * mu_d * g * Deltax_(1A))$.
Nell'urto anelastico di $A$ con $B$ si conserva la quantità di moto:
$m_A * v_(1A) = m_A * v_(2A) + m_B * v_(2B)$
e quindi
$v_(1A) = (m_A * v_(2A) + m_B * v_(2B))/m_A$.
Nello slittamento finale le Energie cinetiche di $A$ e $B$ dopo l'urto vengono dissipate dal lavoro della forza d'attrito:
$1/2 * m_A * v_(2A)^2 = mu_d * m_A * g * Deltax_(2A)$, cioè
$v_(2A)= sqrt(2 * mu_d * g * Deltax_(2A))$
e
$v_(2B)= sqrt(2 * mu_d * g * Deltax_(2B))$.
Le espressioni di $v_(2A)$ e $v_(2B)$ si possono sostituire in quella di $v_(1A)$, dando
$v_(1A)=(m_A * v_(2A) + m_B * v_(2B))/m_A=(m_A * sqrt(2 * mu_d * g * Deltax_(2A)) + m_B * sqrt(2 * mu_d * g * Deltax_(2B)))/m_A=(sqrt(2*mu_d*g)*(m_A * sqrt(Deltax_(2A)) + m_B * sqrt(Deltax_(2B))))/m_A$.
Questa espressione di $v_(1A)$ sostituita in quella di $v_(0A)$ dà il risultata cercato:
$v_(0A)=sqrt(v_(1A)^2 + 2 * mu_d * g * Deltax_(1A))= sqrt(((sqrt(2*mu_d*g)*(m_A * sqrt(Deltax_(2A)) + m_B * sqrt(Deltax_(2B))))/m_A)^2+ 2 * mu_d * g * Deltax_(1A))=$
$sqrt(2 * mu_d * g * (((m_A * sqrt(Deltax_(2A)) + m_B * sqrt(Deltax_(2B)))/m_A)^2+Deltax_(1A)))$.
Sostituendo i valori numerici si ottiene
$v_(0A)=sqrt(2 * mu_d * g * (((m_A * sqrt(Deltax_(2A)) + m_B * sqrt(Deltax_(2B)))/m_A)^2+Deltax_(1A)))=sqrt(2 * 0.60 * 9.8 * (((1900 * sqrt(18) + 1100 * sqrt(30))/1900)^2+15))~=$
$28.68 \text( m/s) ~=28.68*3600/1000 \text( km/h) ~=103 \text( km/h)$.
Quindi il guidatore dell'automobile $A$ aveva superato il limite di velocità ($90 \text( km/h)$) prima di iniziare a frenare.