Quantità di moto di un fotone

[Spremiagrumi1]

Salve, ho un dubbio. Se prendo la formula dell'energia totale relativistica ho che il fotone ha una certa quantità perché ha una certa energia e ha massa nulla. In particolare sappiamo che $p=hnu/c$. Se passo dalla formula relativistica alla formula classica se
$E=gammam_oc^2$ con $gamma=(1/(1-(v^2)/c^2))^(1/2)=(1+p^2/(m_o^2c^2))^(1/2)$ ottengo la formula classica dell'energia cinetica (facendo energia totale - energia a riposo), usando uno o l'altro $gamma$ ottengo che $T=p^2/(2m)=mv^2/2$
Inoltre eguagliando le due espressioni di $gamma$ si ottiene che $p=m_0vgamma$

Se sono giusti i due risultati (e lo sono anche perché lo si vede sperimentalmente), ovvero che il fotone ha quantità di moto e che la quantità di moto dipende da $m_0$, com'è che non si contraddicono l'uno con l'altro?

[Sk_Anonymous]

Non puoi scrivere per il fotone che :

$E = \gammam_0c^2$ , perché per il fotone $m_0 = 0 $ .

Non è neanche corretto parlare di "massa di riposo" di una particella, come se fosse diversa dalla massa in movimento. Una volta si usava questa distinzione, ma oggi i fisici parlano più correttamente di "massa invariante " $m$ di una particella, che non dipende dalla velocità . Quella che dipende dalla velocità è l'energia.
In generale, per una particella dotata di massa $m$ , l'energia si scrive : $ E = \gammamc^2$ , e risulta, considerando la norma del 4-vettore energia-impulso, che :

$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2 $

Per cui, avendo il fotone massa nulla , si ha per esso : $ E = pc$ . Per il fotone , l'energia è uguale alla quantità di moto, a meno del fattore $c$. SE assumi $c = 1$ , si ha : $E = p $

[Spremiagrumi1]

"navigatore":Non puoi scrivere per il fotone che :

$ E = \gammam_0c^2 $ , perché per il fotone $ m_0 = 0 $ .

Non la ho scritta per il fotone, la ho scritta in generale per dedurre poi che per piccole velocità $p=mv$.

Voglio dire, se scrivo per il fotone

$E=(p^2c^2+m^2c^4)^(1/2)$ Allora trovo $(1+(pc)^2/(m^2c^4))^(1/2)*mc^2$ poi il coefficiente di $mc^2$ lo chiamo $gamma$ e lo tratto come una quantità normale per dedurre altro. Ma questo è un errore perché prevede una divisione per $0$. Immagino che sia per questo che mi dici che è sbagliata e naturalmente sono d'accordo. (A meno che poi non si semplifichi ma allora tanto vale scrivere $E=pc$)

Forse i miei dubbi nascono dal fatto che se esprimo la quantità di moto in generale come

$p=(m^2/c-e^2/c^2)^(1/2)$ non si evince da subito come questo si comporta nei vari casi differenti dalla massa nulla, come velocità alte o basse, ma bisogna lavorarci un po' sopra.

[Sk_Anonymous]

Ma forse il tuo dubbio risiede nel modo in cui si ricava la relazione (giusta come l'hai scritta) :

"Spremiagrumi":

$ E=(p^2c^2+m^2c^4)^(1/2) $

Per ricavare in maniera più semplice e immediata questa formula , è preferibile fare uso dei 4-vettori, in questo caso il 4-vettore energia impulso :

$vecP = (\gammamc,\gammamvecv) = (E/c, vecp)$ -----(1)

dove per $vecp$ devi intendere ora il momento tridimensionale moltiplicato per $\gamma$ :

$vecp = (mvecv)/sqrt(1-v^2/c^2) $

mentre la parte temporale del quadrivettore è uguale all'energia (diviso $c$ ) :

$\gammamc = (mc)/sqrt(1-v^2/c^2) $

e il fatto che questo primo termine sia uguale all'energia della particella di massa $m$ diviso $c$ si vede sviluppando in serie il fattore $\gamma = 1/sqrt(1-v^2/c^2) = 1 + 1/2 m(v/c)^2 +…..$ : per basse velocità , ti puoi fermare al secondo termine, che è l'energia cinetica classica (a meno del fattore $1/c^2$ ).

Dopo di che , se calcoli (con le regole del prodotto scalare di 4-vettori spaziotemporali, cioè tenendo conto dei coefficienti della metrica di Minkowski $\eta_(\mu\nu)$ ) la norma del 4-vettore $vecP$ in (1), che è invariante per trasformazioni di Lorentz, trovi dopo alcuni passaggi la formula per l'energia che hai scritto.

Per il fotone, è necessario assumere $m = 0 $ .

In ogni caso, la formula dell'energia : $ E^2=p^2c^2+m^2c^4 $ , contiene tutti i casi possibili.

Ma non so se ti sono noti i 4-vettori.

[Spremiagrumi1]

Effettivamente prendevo quella formula dell'energia come postulato (consapevolmente), tuttavia anche ad accettarla e basta doveva pur giustificare i risultati già conosciuti dalla fisica classica. Cosa che fa, ma che per me non è così immediato a prima vista. Dovrei iniziare lo studio della teoria della relatività ristretta in maniera dettagliata circa a metà novembre (la prima parte del corso è di fisica quantistica), tuttavia ci si scontra già da prima con questa formula dell'energia. Questo per dirti che i quadrivettori non li ho ancora visti (mi sembra di aver capito che dovrebbero essere qualcosa di simile a quelli che si utilizzano per studiare la lagrangiana dei campi).

Un dubbio, nello sviluppo di gamma quella $m$ da dove spunta fuori? Non dovrebbe essere semplicemente così?
$gamma=1/(sqrt(1-(v/c)^2))=1+1/2(v/c)^2$

Comunque ti ringrazio, sei stato chiaro