Quantistica - valore medio
Il problema riguarda una hamiltoniana 1D del tipo
$H=p^2/(2m)+k q^4$
Ad un certo punto si chiede il valore medio del potenziale $V=k q^4$ sull'autostato dell'energia $\phi $ sapendo che $1/(ih)[p,H]=-\partial/\(partialq) V$
$<\phi|V|\phi> =-1/(4ih) <\phi|q[p,H]|\phi> =-1/(4ih) <\phi|qpH-qHp|\phi> =-1/(4ih) <\phi|qpH-[q,H]p-Hqp|\phi> =1/(4ih) <\phi|[q,H]p|\phi>$
In sostanza vorrei capire bene l'ultima uguaglianza, ovvero perché quei due termini si cancellano. Se sostituisco a p la sua forma di derivata non è uguale prima derivare in q e moltiplicare per q con moltiplicare per q e poi derivare in q, quindi perché si cancellano?
Grazie a chi voglia rispondere
$H=p^2/(2m)+k q^4$
Ad un certo punto si chiede il valore medio del potenziale $V=k q^4$ sull'autostato dell'energia $\phi $ sapendo che $1/(ih)[p,H]=-\partial/\(partialq) V$
$<\phi|V|\phi> =-1/(4ih) <\phi|q[p,H]|\phi> =-1/(4ih) <\phi|qpH-qHp|\phi> =-1/(4ih) <\phi|qpH-[q,H]p-Hqp|\phi> =1/(4ih) <\phi|[q,H]p|\phi>$
In sostanza vorrei capire bene l'ultima uguaglianza, ovvero perché quei due termini si cancellano. Se sostituisco a p la sua forma di derivata non è uguale prima derivare in q e moltiplicare per q con moltiplicare per q e poi derivare in q, quindi perché si cancellano?
Grazie a chi voglia rispondere
Risposte
Ho visto ora il thread, in questi giorni sono fuori casa e non riesco a seguire molto il forum. Ti serve ancora una mano, o hai già risolto?
No anzi ho incontrato un altro problema simile che non riesco a giustificare sempre su questi "prodotti" tra operatori, deve esserci qualcosa che mi sfugge. Quando hai tempo se riesci a darmi una mano lo apprezzerei molto.
Dunque, il fatto che gli operatori $q$ e $p$ non commutino è naturale (è il principio di indeterminazione di Heisenberg) ma in questo caso a te non interessa. Affinchè quei due termini si cancellino è necessario che $H$ commuti con l’operatore $(qp)$ “in blocco”, cioè $[H,(qp)] = H(qp) - (qp)H = 0$
Tuttavia, facendo un paio di conti, non mi risulta che $H$ e $(qp)$ commutino. Prova a verificare anche tu, potrei aver sbagliato i calcoli. Sei sicuro che il procedimento sia quello?
Tuttavia, facendo un paio di conti, non mi risulta che $H$ e $(qp)$ commutino. Prova a verificare anche tu, potrei aver sbagliato i calcoli. Sei sicuro che il procedimento sia quello?
Ok, credo di aver capito. I miei calcoli sono giusti, $H$ e $(qp)$ non commutano, e quindi $Hqp$ e $qpH$ non si cancellano.
Tuttavia, quello stato $|phi>$ su cui calcoliamo il valore di aspettazione è un autostato dell’energia. Quindi se chiamiamo $a$ l’autovalore dell’energia corrispondente (tale cioè che $H| phi> =a| phi>$) allora abbiamo
$ = = a $
e analogamente, ricordando che $H$ è hermitiano
$ = = a $
(ricorda anche che $a$ è un autovalore dell’energia, quindi è reale)
Insomma, $Hqp$ e $qpH$ non si cancellano, però si cancellano i rispettivi valori di aspettazione sullo stato $|phi>$, che sono uguali fra loro, e quindi alla fine ti rimane solo il valore di aspettazione $$
Tuttavia, quello stato $|phi>$ su cui calcoliamo il valore di aspettazione è un autostato dell’energia. Quindi se chiamiamo $a$ l’autovalore dell’energia corrispondente (tale cioè che $H| phi> =a| phi>$) allora abbiamo
$
e analogamente, ricordando che $H$ è hermitiano
$
(ricorda anche che $a$ è un autovalore dell’energia, quindi è reale)
Insomma, $Hqp$ e $qpH$ non si cancellano, però si cancellano i rispettivi valori di aspettazione sullo stato $|phi>$, che sono uguali fra loro, e quindi alla fine ti rimane solo il valore di aspettazione $
Chapeau, sei stato davvero chiarissimo grazie =)
u r welcome, m8 
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