Quantistica, autostati e autovalori
Ho un sistema descritto dall'Hamiltoniana
\(\displaystyle H = E \begin{pmatrix} 4 \ \ & 3i \\-3i & \ -4 \end{pmatrix} \) che si trova inizialmente nello stato \(\displaystyle |1> = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)
mi viene chiesto:
1)determinare autostati e autovalori di H;
2)la probabilità che il sistema sia nello stato \(\displaystyle |2> = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) ad un generico istante t; 3)a quale valore di t il sistema si trova esattamente nello stato |2>
1) trovo gli autovalori di H -> \(\displaystyle \lambda _{1/2}=\pm 5E \) con autostati rispettivamente:
\(\displaystyle |a>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} 3\\-i \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ |b>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} i\\-3 \end{pmatrix} \)
2) il problema è che qnd calcolo la probabilità, cioè \(\displaystyle |<2| \psi(t)>|^2 \) questa risulta nulla -> quindi non va bene
. (Per calcolare la \(\displaystyle \psi(t) \) ho applicato l'operatore di evoluzione temporale etc ...)
Sapreste dirmi dove sbaglio?
\(\displaystyle H = E \begin{pmatrix} 4 \ \ & 3i \\-3i & \ -4 \end{pmatrix} \) che si trova inizialmente nello stato \(\displaystyle |1> = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)
mi viene chiesto:
1)determinare autostati e autovalori di H;
2)la probabilità che il sistema sia nello stato \(\displaystyle |2> = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) ad un generico istante t; 3)a quale valore di t il sistema si trova esattamente nello stato |2>
1) trovo gli autovalori di H -> \(\displaystyle \lambda _{1/2}=\pm 5E \) con autostati rispettivamente:
\(\displaystyle |a>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} 3\\-i \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ |b>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} i\\-3 \end{pmatrix} \)
2) il problema è che qnd calcolo la probabilità, cioè \(\displaystyle |<2| \psi(t)>|^2 \) questa risulta nulla -> quindi non va bene
. (Per calcolare la \(\displaystyle \psi(t) \) ho applicato l'operatore di evoluzione temporale etc ...)Sapreste dirmi dove sbaglio?
Risposte
"*Ely":
Sapreste dirmi dove sbaglio?
Beh, per sapere dove potresti aver sbagliato dovresti dare piu' dettagli su quello che hai fatto, non ti pare?
E' per evitare di scrivere tutto ...
gli autovalori vanno bene?
gli autovalori vanno bene?
"*Ely":
E' per evitare di scrivere tutto ...
gli autovalori vanno bene?
Si. Anche gli autostati. Ma come ti viene l'operatore di evoluzione temporale?
Sono tornata ...
\(\displaystyle | \psi (t)> = e^{-iHt/\hbar} |\psi (0)>\)
per "stato iniziale" ho preso la \(\displaystyle |\psi(0)>= |1> \)
quindi ho sostituito una volta con H=5E e una volta con H=-5E (e forse ho sbagliato qui) , cioè:
\(\displaystyle | \psi(t)> = e^{-i5Et/\hbar}|1> + e^{i5Et/\hbar} |1> \)
\(\displaystyle | \psi (t)> = e^{-iHt/\hbar} |\psi (0)>\)
per "stato iniziale" ho preso la \(\displaystyle |\psi(0)>= |1> \)
quindi ho sostituito una volta con H=5E e una volta con H=-5E (e forse ho sbagliato qui) , cioè:
\(\displaystyle | \psi(t)> = e^{-i5Et/\hbar}|1> + e^{i5Et/\hbar} |1> \)
Dai miei conti sono sbagliati gli autostati. A me quelli normalizzati vengono
\(\displaystyle |a\rangle =\frac{1}{\sqrt{10}} \binom{-i}{3} \)
\(\displaystyle |b\rangle =\frac{1}{\sqrt{10}} \binom{3i}{1} \)
\(\displaystyle |a\rangle =\frac{1}{\sqrt{10}} \binom{-i}{3} \)
\(\displaystyle |b\rangle =\frac{1}{\sqrt{10}} \binom{3i}{1} \)
No sono giusti, rifai i conti ...
Eppure anche ai miei se gli applichi H li ritrovi moltiplicati per $\pm 5E$. Perche? (chiedo perché non lo so) 
"*Ely":
Sono tornata ...
\(\displaystyle | \psi (t)> = e^{-iHt/\hbar} |\psi (0)>\)
per "stato iniziale" ho preso la \(\displaystyle |\psi(0)>= |1> \)
Fin qui tutto bene...
quindi ho sostituito una volta con H=5E e una volta con H=-5E (e forse ho sbagliato qui) , cioè:
\(\displaystyle | \psi(t)> = e^{-i5Et/\hbar}|1> + e^{i5Et/\hbar} |1> \)
AAARGHH!!!
Qui c'e' l'inghippo. Per forza ti viene sempre ortogonale a $|2>$...
In generale devi fare l'esponenziale matriciale di $H$. Il trucco e' quello di diagonalizzare la matrice nella serie di potenze dell'esponenziale. Praticamente ti serve di sapere quanto fanno le matrici di cambiamento di base, e poi fai il "panino" con l'esponenziale della matrice diagonale. Equivalentemente, visto che il sistema e' a due livelli, e' piu' facile scrivere $|1>$ e $|2>$ nella base degli autostati, e fare evolvere quelli.
A te la scelta.
Non sono ben sicura di aver capito ... puoi mostrarmi il primo metodo?
"*Ely":
Non sono ben sicura di aver capito ... puoi mostrarmi il primo metodo?
Niente di particolare. Supponi di avere una matrice $H$ che si puo' scrivere come "panino" con
[tex]H = V D V^{-1}[/tex]
laddove $D$ e' una matrice diagonale, e $V$ e' invertibile (nel caso della MQ si tratta di una matrice unitaria).
Allora, quando scrivi la serie di potenze per l'esponenziale, termine a termine puoi scrivere anche
[tex]H^n = ( V D V^{-1})^n = V D V^{-1} V D V^{-1} \cdots V D V^{-1} = V D^n V^{-1}[/tex]
e quindi le matrici di similitudine finiscono a fattore comune fuori dall'esponenziale. E' ovviamente equivalente a scrivere a mano il vettore da evolvere come somma di autostati di $H$. Il che e' abbastanza facile in un sistema a due livelli, pero' per un sistema a molti livelli, diciamo che il metodo "completo" scala decisamente meglio...
Ma scusa nel nostro caso il vettore da evolvere è \(\displaystyle |1> = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)
e questo dovrebbe essere uguale alla somma degli autostati di H? non capisco
, sorry ...
e questo dovrebbe essere uguale alla somma degli autostati di H? non capisco
, sorry ...
yoshiharu ti ha consigliato di scrivere l'operatore di evoluzione temporale rispetto alla base che lo rende diagonale: si tratta di determinare gli autovalori di $H$, costruire la relativa matrice diagonale ed esponenziare gli autovalori posti lungo la diagonale principale. Quindi, per tornare alla base originale, devi semplicemente eseguire un cambiamento di base dalla base degli autovettori alla base originale, utilizzando la matrice unitaria costituita dagli autovettori, il procedimento dell'algebra lineare per intenderci. Infine, moltiplicando la matrice così ottenuta per il tuo vettore iniziale, ne ottieni l'evoluzione temporale.
Va bene ...
allora la matrice diagonale \(\displaystyle D=\begin{pmatrix}5E& 0\\0 & -5E \end{pmatrix} \)
e quella del cambiamento di base è \(\displaystyle M=\frac{1}{2\sqrt2}\begin{pmatrix}3& i\\-i & -3 \end{pmatrix} \)
la \(\displaystyle |\psi(t)>= e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)> \), quindi chiaritemi il passaggio successivo...perché è questo il problema.
allora la matrice diagonale \(\displaystyle D=\begin{pmatrix}5E& 0\\0 & -5E \end{pmatrix} \)
e quella del cambiamento di base è \(\displaystyle M=\frac{1}{2\sqrt2}\begin{pmatrix}3& i\\-i & -3 \end{pmatrix} \)
la \(\displaystyle |\psi(t)>= e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)> \), quindi chiaritemi il passaggio successivo...perché è questo il problema.
Devi esponenziare la matrice $D$, basta esponenziare gli autovalori, ed eseguire il prodotto $MDM^(-1)$, magari normalizzando gli autovettori, dividendo per $sqrt10$ e non per $2sqrt2$, onde sostituire il calcolo dell'inversa con quello della trasposta coniugata, evidentemente più immediato.
Ciao Ely,
il mio consiglio è di nuovo quello dell'altro post. Esprimi sempre i tuoi stati come combinazione lineare degli autostati dell'Hamiltoniana, così l'evoluzione temporale è semplice da scrivere, devi solo moltiplicare ogni contributo per la corrispondente fase, cioè \( \displaystyle e^{- i E_n t / \hbar} \).
Nel tuo caso devi solo trovare il modo di scrivere il ket \( |1> \) come combinazione lineare di \( |a> \) e \( |b> \) (controlla la normalizzazione però...) , è cioè
\(\displaystyle |\psi(0) > = |1> = |a> + |b> = c_a |a> + c_b |b> \)
e quindi
\(\displaystyle |\psi(t) > = e^{-i H t / \hbar} |\psi(0) > = c_a e^{-i E_a t / \hbar} |a> + c_b e^{-i E_b t / \hbar} |b> \)
Questo mi sembra il modo più semplice.
Quanto detto dagli altri è assolutamente vero ma richiede, secondo me, una destrezza maggiore con il formalismo degli operatori...
il mio consiglio è di nuovo quello dell'altro post. Esprimi sempre i tuoi stati come combinazione lineare degli autostati dell'Hamiltoniana, così l'evoluzione temporale è semplice da scrivere, devi solo moltiplicare ogni contributo per la corrispondente fase, cioè \( \displaystyle e^{- i E_n t / \hbar} \).
Nel tuo caso devi solo trovare il modo di scrivere il ket \( |1> \) come combinazione lineare di \( |a> \) e \( |b> \) (controlla la normalizzazione però...) , è cioè
\(\displaystyle |\psi(0) > = |1> =
e quindi
\(\displaystyle |\psi(t) > = e^{-i H t / \hbar} |\psi(0) > = c_a e^{-i E_a t / \hbar} |a> + c_b e^{-i E_b t / \hbar} |b> \)
Questo mi sembra il modo più semplice.
Quanto detto dagli altri è assolutamente vero ma richiede, secondo me, una destrezza maggiore con il formalismo degli operatori...
Si la normalizzzazione fa \(\displaystyle 1/\sqrt10 \) perché si fa il modulo quadro dei coefficienti...
Grazie alle ora provo con il tuo consiglio ... che mi è molto più familiare!
Grazie alle ora provo con il tuo consiglio ... che mi è molto più familiare!
Facendo i conti ...
ho trovato i coefficienti \(\displaystyle c_a=3/\sqrt10 \) e \(\displaystyle c_b=-i/\sqrt10 \)
Quindi la probabilità che il sistema si trovi nel secondo stato ad un generico istante t è \(\displaystyle P=\frac{9}{25}\sin^2 \omega t \ \ \ \) dove \(\displaystyle \ \ \ \omega= \frac{5E}{\hbar} \)
Infine, se voglio sapere a quale tempo t esattamente il sistema si trova nel |2>, questo non equivarrebbe a dire che la probabilità di trovare il sistema nello stato |2> sia pari a 1?
così però verebbe per nessun t ...
ho trovato i coefficienti \(\displaystyle c_a=3/\sqrt10 \) e \(\displaystyle c_b=-i/\sqrt10 \)
Quindi la probabilità che il sistema si trovi nel secondo stato ad un generico istante t è \(\displaystyle P=\frac{9}{25}\sin^2 \omega t \ \ \ \) dove \(\displaystyle \ \ \ \omega= \frac{5E}{\hbar} \)
Infine, se voglio sapere a quale tempo t esattamente il sistema si trova nel |2>, questo non equivarrebbe a dire che la probabilità di trovare il sistema nello stato |2> sia pari a 1?
così però verebbe per nessun t ...
In ogni modo, soprattutto se devi sostenere anche un esame orale, ti consiglio di imparare anche il procedimento operatoriale. Mi piacerebbe avere l'opinione di alle.fabbri a proposito, che nel frattempo saluto cordialmente. 
Si, è che né a lezione né a esercitazione quel tipo di procedimento non l'abbiamo proprio mai visto ... per questo non mi era chiaro, è anche un po' lunghetto considerando le richieste dei temi d'esame. Non per essere restii a imparare cose nuove, ovviamente, che invece fa sempre piacere!
Comunque ... l'ultimo punto sul t, il vostro parere?
Comunque ... l'ultimo punto sul t, il vostro parere?
Non ho fatto i conti ma la tua deduzione è corretta. In ogni modo, se quel procedimento non fa parte del programma, allora è un altro discorso.
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