Quantistica, autostati e autovalori
Ho un sistema descritto dall'Hamiltoniana
\(\displaystyle H = E \begin{pmatrix} 4 \ \ & 3i \\-3i & \ -4 \end{pmatrix} \) che si trova inizialmente nello stato \(\displaystyle |1> = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)
mi viene chiesto:
1)determinare autostati e autovalori di H;
2)la probabilità che il sistema sia nello stato \(\displaystyle |2> = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) ad un generico istante t; 3)a quale valore di t il sistema si trova esattamente nello stato |2>
1) trovo gli autovalori di H -> \(\displaystyle \lambda _{1/2}=\pm 5E \) con autostati rispettivamente:
\(\displaystyle |a>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} 3\\-i \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ |b>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} i\\-3 \end{pmatrix} \)
2) il problema è che qnd calcolo la probabilità, cioè \(\displaystyle |<2| \psi(t)>|^2 \) questa risulta nulla -> quindi non va bene
. (Per calcolare la \(\displaystyle \psi(t) \) ho applicato l'operatore di evoluzione temporale etc ...)
Sapreste dirmi dove sbaglio?
\(\displaystyle H = E \begin{pmatrix} 4 \ \ & 3i \\-3i & \ -4 \end{pmatrix} \) che si trova inizialmente nello stato \(\displaystyle |1> = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)
mi viene chiesto:
1)determinare autostati e autovalori di H;
2)la probabilità che il sistema sia nello stato \(\displaystyle |2> = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) ad un generico istante t; 3)a quale valore di t il sistema si trova esattamente nello stato |2>
1) trovo gli autovalori di H -> \(\displaystyle \lambda _{1/2}=\pm 5E \) con autostati rispettivamente:
\(\displaystyle |a>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} 3\\-i \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ |b>=\frac{1}{2\sqrt 2} \begin{pmatrix} i\\-3 \end{pmatrix} \)
2) il problema è che qnd calcolo la probabilità, cioè \(\displaystyle |<2| \psi(t)>|^2 \) questa risulta nulla -> quindi non va bene
. (Per calcolare la \(\displaystyle \psi(t) \) ho applicato l'operatore di evoluzione temporale etc ...)Sapreste dirmi dove sbaglio?
Risposte
Ciao Speculor!! E' un piacere ribeccarci!!
Sono convinto che il formalismo operatoriale sia, in generale, migliore dal punto di vista dell'eleganza e della potenza di calcolo e, in particolare per chi sia orientato verso la teoria dei campi, rappresenti uno strumento prezioso da avere nell'arsenale. Rimane il fatto che questi vantaggi si pagano con un livello di difficoltà tecnica sempre più alto che, alle volte, oscura certi aspetti concettuali, soprattutto quando si inizia a studiare questo genere di cose.
Sono convinto che il formalismo operatoriale sia, in generale, migliore dal punto di vista dell'eleganza e della potenza di calcolo e, in particolare per chi sia orientato verso la teoria dei campi, rappresenti uno strumento prezioso da avere nell'arsenale. Rimane il fatto che questi vantaggi si pagano con un livello di difficoltà tecnica sempre più alto che, alle volte, oscura certi aspetti concettuali, soprattutto quando si inizia a studiare questo genere di cose.
Fantastico ... allora ho canato i conti ... perché esce \(\displaystyle \nexists t \) !
Ciao ragazzi, ora che la discussione è terminata ho una domanda da pivellino di MQ: perché ho sbagliato a calcolare gli autostati (cfr. post precedente)? Io ho dato in pasto a Mathematica la matrice H e ho usato il comodo comando Eigensystem[H], che dà in uscita autovalori e autovettori (ma l'avrei potuti calcolare a mano!). Effettivamente se applico H ai vettori che ho trovato io e a quelli di Ely si vede che sono tutti autovettori. Chiedo lumi.
@elgiovo
Se il tuo primo autovettore è relativo all'autovalore $-5E$, l'unica differenza sarebbe una moltiplicazione per $i$ e per $-1$, a seconda dell'autovettore, avendo *Ely corretto la normalizzazione. Questa discrepanza non ha nessuna implicazione di carattere fisico.
Se il tuo primo autovettore è relativo all'autovalore $-5E$, l'unica differenza sarebbe una moltiplicazione per $i$ e per $-1$, a seconda dell'autovettore, avendo *Ely corretto la normalizzazione. Questa discrepanza non ha nessuna implicazione di carattere fisico.
Ma questo t???? devo scrivervi i passaggi?
"*Ely":
Ma questo t???? devo scrivervi i passaggi?
A me viene un numero complesso (ergo, nessuna soluzione).
A te invece?
"alle.fabbri":
Rimane il fatto che questi vantaggi si pagano con un livello di difficoltà tecnica sempre più alto che, alle volte, oscura certi aspetti concettuali, soprattutto quando si inizia a studiare questo genere di cose.
Pero' c'e' da dire che a volte un punto di vista piu' astratto aiuta a capire meglio, dirada la nebbia...
E' una questione di trovare un (proprio) equilibrio, credo, per cui ci sono notevoli differenze anche tra fisici "trained".
La funzione al tempo t e i coefficienti ti vengono uguali ai miei?
Poi ho la probabilità
\(\displaystyle P = |(0 1) (1/10) \begin{pmatrix} 9e^{-i\omega t} + e ^{i\omega t}\\6i \sin \omega t \end{pmatrix}|^2 \)
= \(\displaystyle \frac{9}{25}\sin ^2 \omega t \)
Quindi troverei che \(\displaystyle |\sin \omega t | > 1 \)
Questa cosa, che non esista alcun tempo per cui io trovi lo stato esattamente nel |2> nonostanete la probabilità non sia nulla ha causa da cosa?Perché è importante capire il risultato ...
Poi ho la probabilità
\(\displaystyle P = |(0 1) (1/10) \begin{pmatrix} 9e^{-i\omega t} + e ^{i\omega t}\\6i \sin \omega t \end{pmatrix}|^2 \)
= \(\displaystyle \frac{9}{25}\sin ^2 \omega t \)
Quindi troverei che \(\displaystyle |\sin \omega t | > 1 \)
Questa cosa, che non esista alcun tempo per cui io trovi lo stato esattamente nel |2> nonostanete la probabilità non sia nulla ha causa da cosa?Perché è importante capire il risultato ...
"*Ely":
La funzione al tempo t e i coefficienti ti vengono uguali ai miei?
La probabilita' al tempo $t$ mi viene uguale alla tua.
Questa cosa, che non esista alcun tempo per cui io trovi lo stato esattamente nel |2> nonostanete la probabilità non sia nulla ha causa da cosa?Perché è importante capire il risultato ...
Allora, per la verita' non so se ci sia molto da capire nel senso fisico. Le due componenti di un vettore scritto nella base dei tuoi due vettori (*non* gli autostati) evolvono in maniera diversa, per cosi' dire. Cioe', il vettore [tex]|1\rangle[/tex] ha come evoluzione temporale
[tex]\left(\frac{1}{10} e^{-i\omega t}+\frac{9}{10} e^{i\omega t}\right) |1\rangle + \frac{3}{5} \sin \omega t |2\rangle[/tex]
Ovviamente, visto che le due dipendenze temporali sono cosi' diverse, non e' detto che le due componenti siano "in controfase" da qualche parte. Un po' come succede per un oscillatore bidimensionale in cui le due frequenze non sono commensurabili, per cui te lo ritrovi dappertutto, mentre se lo sono percorre delle famose traiettorie...
Ok, non e' proprio la stessa cosa, ma era per rendere l'idea
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo