Quanta corrente passa tra i due cilindri?

[ebol]

Salve a tutti;
Stavo provando a risolvere qualche esercizio per tenermi allenato, ma di questo non ho trovato la stessa soluzione (probabilmente faccio un errore idiota da qualche parte); il testo recita così:

"Two long cyilinders (radii a and b) are separated by material of conductivity $\sigma$. If they are manteined at the potential difference V, what current flows from one to the other in a length L?"

La soluzione è: $I=(2\pi \sigma L)/(\ln (b/a)) V$

Io ho proceduto in questa maniera:
$A=2\pi L (b-a) => dA= 2\pi * dL *d(b-a)$

$|\vec J|=\sigma |\vec E| = \sigma V/(b-a)$

$I= \int \vec J d \vec A = \sigma \int V/(b-a) dA = 2\pi \sigma V \int dL \int (d(b-a))/(b-a) $

$ = 2\pi * \sigma L * V *ln(b-a) $

Qualcuno può darmi una mano a capire dove sto sbagliando?
Grazie mille anticipatamente
ebol

[apatriarca]

Non mi è chiaro come siano messi i due cilindri.. Sono messi uno dentro l'altro con il materiale con quella conduttività che li separa oppure sono due cilindri paralleli "immersi" in quel materiale? Immagino il primo caso mancando l'indicazione della distanza tra i due cilindri.

Per prima cosa \(b\) e \(a\) sembrano costanti, per cui \(dA = 2\,\pi\,(b - a)\,dL.\) Dopodiché, con questa geometria, il campo elettrico non dovrebbe essere costante (è passato un po' dai miei studi in materia), ma dovrebbe dipendere dalla distanza rispetto all'asse di simmetria con una relazione del tipo \(1/r\).

[chiaraotta1]

La resistenza di una guaina cilindrica di raggio interno $a$ e raggio esterno $b$, se il flusso di corrente avviene radialmente, si può calcolare come
$R=int_a ^b dR=int_a ^b rho/(2 pi r L) dr=rho/(2 pi L) ln(b/a)=1/(2 pi sigma L) ln(b/a)$
Per cui
$I=V/R=(2pi sigma L)/ln(b/a) V$.

[ebol]

Grazie ad entrambi!