Quadrivettore
studiando l'effetto compton (che ho capito) mi sono imbattuta nel seguente inciso:
"ricordiamo che poichè la quantità (pc,E) costituisce un quadrivettore, il suo modulo quadro è un invariante relativistico:
c^2p^2-E^2=-(me c^2)^2
(p=quantità di moto, me=massa elettrone)"
c'è qualucno che può aiutarmi a decifrarla, anche se nn è un argomento strettamente matematico?
almeno dicendomi cos'è un quadrivettore
grazie tante
"ricordiamo che poichè la quantità (pc,E) costituisce un quadrivettore, il suo modulo quadro è un invariante relativistico:
c^2p^2-E^2=-(me c^2)^2
(p=quantità di moto, me=massa elettrone)"
c'è qualucno che può aiutarmi a decifrarla, anche se nn è un argomento strettamente matematico?
almeno dicendomi cos'è un quadrivettore
grazie tante
Risposte
Un quadrivettore è un'entità matematica molto utile nel campo della teoria della relatività. In tale teoria si dice che ciò che si conserva da un sistema di riferimento all'altro non è la distanza geometrica tra due punti (come nello spazio euclideo) ma la distanza relativistica. Senza entrare nel dettaglio delle formule, ti posso dire che quest'ultima è composta da quattro fattori: i tre spaziali e uno di tipo temporale. Il tempo diventa quindi una dimensione come le altre tre spaziali.
Questo concetto si può esprimere in maniera efficace anche da un altro punto di vista. Anziché fare riferimento alle coordinate spaziali e temporali si può parlare di momenti ed energie.
p è la quantità di moto relativistica (non è proprio uguale a quella classica ma il concetto è simile)
E è l'energia del corpo (relativistica)
Bene, si può dimostrare che ciò che si conserva (è cioè un invariante relativistico) è la quantità che hai scritto tu: (cp)^2-E^2.
Il quadrimomento è il vettore di coordinate cpx cpy cpz e E.
(cp)^2-E^2 è la norma del quadrimomento. Mi chiederai perché per calcolare la norma di tale vettore ci sia il segno - davanti a E^2: è una questione di metrica relativistica. Non voglio approfondire quest'aspetto se no avrei bisogno di pagine e pagine! E' una norma "relativistica", diciamo così...
Nella teoria della relatività quindi non bastano i vettori a 3 componenti (le componenti spaziali...) ma servono i quadrivettori.
Da un punto di vista puramente matematico la definizione di quadrivettore è tremendamente + complessa. Sono definiti per mezzo di trasformazioni tensoriali. Ma non credo t'interessi.
E' interessante invece vedere qual è il limite classico dell'equazione dell'invariante relativistico:
(cp)^2 - E^2 = -(mc^2)^2
Relativisticamente parlando E= mc^2 + K dove K è l'energia cinetica. Quindi:
(cp)^2 - (mc^2 + K)^2 = -(mc^2)^2
(cp)^2 - 2Kmc^2 - K^2 = 0
Dividiamo tutto per c^2:
p^2 - 2Km - (K/c)^2 = 0
Al limite classico c-->inf (oppure, che è lo stesso, le velocità in gioco sono << c)e K/c tende a 0:
p^2 = 2Km
K = (p^2)/(2m)
che è proprio l'espressione classica dell'energia cinetica!
Modificato da - goblyn il 02/01/2004 18:10:39
Questo concetto si può esprimere in maniera efficace anche da un altro punto di vista. Anziché fare riferimento alle coordinate spaziali e temporali si può parlare di momenti ed energie.
p è la quantità di moto relativistica (non è proprio uguale a quella classica ma il concetto è simile)
E è l'energia del corpo (relativistica)
Bene, si può dimostrare che ciò che si conserva (è cioè un invariante relativistico) è la quantità che hai scritto tu: (cp)^2-E^2.
Il quadrimomento è il vettore di coordinate cpx cpy cpz e E.
(cp)^2-E^2 è la norma del quadrimomento. Mi chiederai perché per calcolare la norma di tale vettore ci sia il segno - davanti a E^2: è una questione di metrica relativistica. Non voglio approfondire quest'aspetto se no avrei bisogno di pagine e pagine! E' una norma "relativistica", diciamo così...
Nella teoria della relatività quindi non bastano i vettori a 3 componenti (le componenti spaziali...) ma servono i quadrivettori.
Da un punto di vista puramente matematico la definizione di quadrivettore è tremendamente + complessa. Sono definiti per mezzo di trasformazioni tensoriali. Ma non credo t'interessi.
E' interessante invece vedere qual è il limite classico dell'equazione dell'invariante relativistico:
(cp)^2 - E^2 = -(mc^2)^2
Relativisticamente parlando E= mc^2 + K dove K è l'energia cinetica. Quindi:
(cp)^2 - (mc^2 + K)^2 = -(mc^2)^2
(cp)^2 - 2Kmc^2 - K^2 = 0
Dividiamo tutto per c^2:
p^2 - 2Km - (K/c)^2 = 0
Al limite classico c-->inf (oppure, che è lo stesso, le velocità in gioco sono << c)e K/c tende a 0:
p^2 = 2Km
K = (p^2)/(2m)
che è proprio l'espressione classica dell'energia cinetica!
Modificato da - goblyn il 02/01/2004 18:10:39
grazie mille!
più studio e più sono affascinata da queste cose..peccato non siano molto facili e sicuramente poco "utili" ad un ing dei materiali..
più studio e più sono affascinata da queste cose..peccato non siano molto facili e sicuramente poco "utili" ad un ing dei materiali..
Inserisco anche la mia risposta (goblyn non se ne abbia,ma
ci ho messo un sacco!).
Si tratta di Meccanica relativistica.
Ecco quanto ho potuto realizzare (l'argomento non e' semplice)
(le parti in grassetto sono vettori)
Nello spazio quadridimensionale (x,y,z,t) , detto anche "Cronòtopo"
(attenti all'accento!),un quadrivettore e' l'insieme di 4 quantita'
che ,nel passaggio da un riferimento inerziale ad un altro,si
trasformano seguendo la legge di trasformazione di Lorentz (che
ometto di scrivere).Un quadrivettore "A" normalmente si rappresenta
cosi':
A=(A,Ao)
dove A e' la parte spaziale (o vettoriale) e Ao e' la parte
temporale (o scalare).
In particolare( ometto le relative giustificazione ) :
1) Il quadrivettore di posizione e':
R =(r,ct)
dove r e' il vettore di posizione spaziale (x,y,z) e ct e'
parte temporale (c=velocita' della luce nel vuoto).
2)Il quadrivettore velocita' U e':
U=(u/(c*sqrt(1-u^2/c^2)),1/sqrt(1-u^2/c^2))
dove u e la velocita'( spaziale) vettoriale.
3)Il quadrimomento P e' :
P=mo*c^2*U (m0 = massa a riposo della particella)
Tenuto conto della espressione di U, si ha:
P=(m0*c^2*u/((c*sqrt(1-u^2/c^2)),mo*c^2/sqrt(1-u^2/c^2)).
Se si pone m0=m/sqrt(1-u^2/c^2),risulta:
P=(c*m*u,mc^2) e siccome m*u =p
(p=momento spaziale) e mc^2= E energia relativistica)
alla fine abbiamo :
P=(cp,E) proprio come hai scritto tu.
Per completare occorre ricordare due cose:
a)Il modulo di un quadrivettore e'la sqrt del prodotto scalare di
esso per quadrivettore ottenuto cambiando segno alla parte
spaziale (detto anche quadrivettore controvariante Po).
b)Il modulo di un quadrivettore e' un invariante assoluto
cioe' non cambia nel passaggio da un riferimento inerziale
ad un altro.
Ne nostro caso si ha:
P=(m0*c^2*u/((c*sqrt(1-u^2/c^2)),mo*c^2/sqrt(1-u^2/c^2)).
Po=(-m0*c^2*u/((c*sqrt(1-u^2/c^2)),mo*c^2/sqrt(1-u^2/c^2)).
Eseguendo il prodott scalare:
P.Po=(cp,E).(-cp,E)=E^2-c^2*p^2=
m^2*c^4-c^2*m^2*u^2= m^2*c^2*(c^2-u^2)=
mo^2/(1-u^2/c^2)*c^2*(c^2-u^2)=mo^2*c^4=(mo*c^2)^2.
(Il cambio di segno dipende dal fatto che ho considerato
E^2-c^2*p^2 invece di c^2*p^2-E^2.
karl.
Modificato da - karl il 02/01/2004 18:31:43
Modificato da - karl il 03/01/2004 17:30:27
ci ho messo un sacco!).
Si tratta di Meccanica relativistica.
Ecco quanto ho potuto realizzare (l'argomento non e' semplice)
(le parti in grassetto sono vettori)
Nello spazio quadridimensionale (x,y,z,t) , detto anche "Cronòtopo"
(attenti all'accento!),un quadrivettore e' l'insieme di 4 quantita'
che ,nel passaggio da un riferimento inerziale ad un altro,si
trasformano seguendo la legge di trasformazione di Lorentz (che
ometto di scrivere).Un quadrivettore "A" normalmente si rappresenta
cosi':
A=(A,Ao)
dove A e' la parte spaziale (o vettoriale) e Ao e' la parte
temporale (o scalare).
In particolare( ometto le relative giustificazione ) :
1) Il quadrivettore di posizione e':
R =(r,ct)
dove r e' il vettore di posizione spaziale (x,y,z) e ct e'
parte temporale (c=velocita' della luce nel vuoto).
2)Il quadrivettore velocita' U e':
U=(u/(c*sqrt(1-u^2/c^2)),1/sqrt(1-u^2/c^2))
dove u e la velocita'( spaziale) vettoriale.
3)Il quadrimomento P e' :
P=mo*c^2*U (m0 = massa a riposo della particella)
Tenuto conto della espressione di U, si ha:
P=(m0*c^2*u/((c*sqrt(1-u^2/c^2)),mo*c^2/sqrt(1-u^2/c^2)).
Se si pone m0=m/sqrt(1-u^2/c^2),risulta:
P=(c*m*u,mc^2) e siccome m*u =p
(p=momento spaziale) e mc^2= E energia relativistica)
alla fine abbiamo :
P=(cp,E) proprio come hai scritto tu.
Per completare occorre ricordare due cose:
a)Il modulo di un quadrivettore e'la sqrt del prodotto scalare di
esso per quadrivettore ottenuto cambiando segno alla parte
spaziale (detto anche quadrivettore controvariante Po).
b)Il modulo di un quadrivettore e' un invariante assoluto
cioe' non cambia nel passaggio da un riferimento inerziale
ad un altro.
Ne nostro caso si ha:
P=(m0*c^2*u/((c*sqrt(1-u^2/c^2)),mo*c^2/sqrt(1-u^2/c^2)).
Po=(-m0*c^2*u/((c*sqrt(1-u^2/c^2)),mo*c^2/sqrt(1-u^2/c^2)).
Eseguendo il prodott scalare:
P.Po=(cp,E).(-cp,E)=E^2-c^2*p^2=
m^2*c^4-c^2*m^2*u^2= m^2*c^2*(c^2-u^2)=
mo^2/(1-u^2/c^2)*c^2*(c^2-u^2)=mo^2*c^4=(mo*c^2)^2.
(Il cambio di segno dipende dal fatto che ho considerato
E^2-c^2*p^2 invece di c^2*p^2-E^2.
karl.
Modificato da - karl il 02/01/2004 18:31:43
Modificato da - karl il 03/01/2004 17:30:27
No problem! In genere è molto difficile che due risposte siano esattamente uguali. Si riesce sempre a trarre qualcosa di utile dal confronto di più risposte.
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