Quadrimomento ed effetto Compton
Buon pomeriggio, avrei bisogno di una mano con questo esercizio di dinamica relativistica.
Pensavo di proseguire in questo modo sfruttando la conservazione del quadrimomento.
Svolgendo i calcoli:
Ora non so come procedere perché non so come semplificarlo ulteriormente e come ottenere $ theta $ che non è l'angolo tre l'elettrone e il fotone finale, ma tra il fotone e l'orizzontale. Sapreste indirizzarmi?
Trovare usando l’analisi relativistica, la relazione tra energia finale $ E_gamma' $ e angolo di diffusione $ theta $ rispetto alla direzione incidente di un fotone di energia $ E_gamma $ che urta in modo elastico su un elettrone di massa me inizialmente a riposo.
Pensavo di proseguire in questo modo sfruttando la conservazione del quadrimomento.
$ (E_gamma , vec(p_gamma)) + (E_e, vec(0)) = (E_gamma^{\prime}, vec(p_gamma^{\prime})) + (E_e^{\prime}, vec(p_e^{\prime}))$
Svolgendo i calcoli:
$ cancel{E_gamma^2} + E_e^2 +2E_gammaE_e-cancel{p_gamma^2} = cancel{(E_gamma^{\prime})^2}+(E_e^{\prime})^2+2E_gamma^{\prime}E_e^{\prime}-cancel{(p_gamma^{\prime})^2}-(p_e^{\prime})^2-2E_gamma^{\prime}p_e^{\prime}cosphi$
$ E_e^2 +2E_gammaE_e = m_e^2+2E_gamma^{\prime}E_e^{\prime}-2E_gamma^{\prime}p_e^{\prime}cosphi$
$ E_e^2 +2E_gammaE_e = m_e^2+2E_gamma^{\prime}E_e^{\prime}-2E_gamma^{\prime}p_e^{\prime}cosphi$
Ora non so come procedere perché non so come semplificarlo ulteriormente e come ottenere $ theta $ che non è l'angolo tre l'elettrone e il fotone finale, ma tra il fotone e l'orizzontale. Sapreste indirizzarmi?
Risposte
Devi considerare separatamente la conservazione dell'energia :
$E_\gamma + E_e = E'_\gamma + E'_e$
e la conservazione della quantità di moto :
$vecp_\gamma = vecp'_\gamma + vecp'_e$
Nota che la q.d.m. iniziale dell'elettrone è zero, mentre la sua energia di riposo è : $E_e = m_ec^2$ . Dopo l'urto, l'energia dell'elettrone è relativistica :
$E'_e = sqrt( (p'_ec)^2 + (m_ec^2)^2) $
e ovviamente ha anche q.d.m. : $vecp'_e$
Per i fotoni , si ha : $E_\gamma/c = p_\gamma = h\nu/c$ , e analogamente dopo lo scattering ( cioè , con l'apice).
Si tratta ora di ricavare $(p'_ec)^2 $ dalla uguaglianza delle energie , prima equazione ; e porla uguale alla stessa quantità , ricavata dalla uguaglianza vettoriale :
$vecp'_e = vecp_\gamma - vecp'\gamma$
qui devi trovare la norma quadra del 1º membro :
$(p'_e)^2 =(vecp_\gamma - vecp'\gamma)(vecp_\gamma - vecp'\gamma)$
tenendo presente che c'è un prodotto scalare .
Ora devo sospendere , tornerò stasera sull'argomento .
$E_\gamma + E_e = E'_\gamma + E'_e$
e la conservazione della quantità di moto :
$vecp_\gamma = vecp'_\gamma + vecp'_e$
Nota che la q.d.m. iniziale dell'elettrone è zero, mentre la sua energia di riposo è : $E_e = m_ec^2$ . Dopo l'urto, l'energia dell'elettrone è relativistica :
$E'_e = sqrt( (p'_ec)^2 + (m_ec^2)^2) $
e ovviamente ha anche q.d.m. : $vecp'_e$
Per i fotoni , si ha : $E_\gamma/c = p_\gamma = h\nu/c$ , e analogamente dopo lo scattering ( cioè , con l'apice).
Si tratta ora di ricavare $(p'_ec)^2 $ dalla uguaglianza delle energie , prima equazione ; e porla uguale alla stessa quantità , ricavata dalla uguaglianza vettoriale :
$vecp'_e = vecp_\gamma - vecp'\gamma$
qui devi trovare la norma quadra del 1º membro :
$(p'_e)^2 =(vecp_\gamma - vecp'\gamma)(vecp_\gamma - vecp'\gamma)$
tenendo presente che c'è un prodotto scalare .
Ora devo sospendere , tornerò stasera sull'argomento .
Risolto. Se può essere di aiuto a qualcuno ecco la soluzione.
I passaggi da me fatti sono corretti, però si arriva ad una complicazione che non porta a nessuna conclusione, bisogna applicare un po' di algebra ai quadrivettori.
$(E_gamma,vec(p_gamma))+(E_e, vec(0))=(E_gamma^{\prime}, vec(p_gamma^{\prime}))+(E_e^{\prime},vec(p_e^{\prime}))$
Siccome l'elettrone all'inizio è fermo, cioè in termini fisici la quantità di moto è nulla, l'energia totale dell'elettrone prima dell'urto coincide con la sua massa. Inoltre spostiamo a primo membro i termini del fotone dopo l'urto, ci sarà comodo per i calcoli.
$(E_gamma,vec(p_gamma))+(m_e, vec(0))-(E_gamma^{\prime}, vec(p_gamma^{\prime}))=(E_e^{\prime},vec(p_e^{\prime}))$
A questo punto possiamo calcolare il modulo dell'espressione.
$(E_gamma+m_e-E_gamma^{\prime})^2-(vec(p_gamma)-vec(p_gamma^{\prime}))^2=(E_e^{\prime})^2-(p_e^{\prime})^2$
Il secondo membro per la relazione di dispersione non è altro che la massa dell'elettrone.
$E_gamma^2+m_e^2+(E_gamma^{\prime})^2+2E_gammam_e-2E_gammaE_gamma^{\prime}-2E_gamma^{\prime}m_e-p_gamma^2-(p_gamma^{\prime})^2+2p_gammap_gamma^{\prime}costheta=m_e^2$
Qua possiamo fare delle semplificazioni, $E_gamma^2$ insieme a $-p_gamma^2$ è la massa del fotone, che sappiamo essere pari a zero. In modo analogo per $(E_gamma^{\prime})^2$ insieme a $-(p_gamma^{\prime})^2$. Inoltre possiamo raccogliere $-2E_gammaE_gamma^{\prime}$ con $2p_gammap_gamma^{\prime}costheta$ poiché dalla relazione di dispersione, l'energia del fotone è uguale alla sua quantità di moto ($c=1$ e $m_gamma = 0$).
$E_gammam_e-E_gamma^{\prime}m_e-E_gammaE_gamma^{\prime}(1-costheta)=0$
$theta=arccos[1-m_e(1/E_gamma-1/E_gamma^{\prime})]$
et voilà.
EDIT:
Grazie Shackle per la risposta, ho visto solo ora mentre scrivevo il risultato. Anche io avevo pensato di procedere prendendo singolarmente la conservazione dell'energia totale e della quantità di moto, però mi sono ritrovato più comodo a usare i quadrivettori, sicuramente si arriva allo stesso risultato!
I passaggi da me fatti sono corretti, però si arriva ad una complicazione che non porta a nessuna conclusione, bisogna applicare un po' di algebra ai quadrivettori.
$(E_gamma,vec(p_gamma))+(E_e, vec(0))=(E_gamma^{\prime}, vec(p_gamma^{\prime}))+(E_e^{\prime},vec(p_e^{\prime}))$
Siccome l'elettrone all'inizio è fermo, cioè in termini fisici la quantità di moto è nulla, l'energia totale dell'elettrone prima dell'urto coincide con la sua massa. Inoltre spostiamo a primo membro i termini del fotone dopo l'urto, ci sarà comodo per i calcoli.
$(E_gamma,vec(p_gamma))+(m_e, vec(0))-(E_gamma^{\prime}, vec(p_gamma^{\prime}))=(E_e^{\prime},vec(p_e^{\prime}))$
A questo punto possiamo calcolare il modulo dell'espressione.
$(E_gamma+m_e-E_gamma^{\prime})^2-(vec(p_gamma)-vec(p_gamma^{\prime}))^2=(E_e^{\prime})^2-(p_e^{\prime})^2$
Il secondo membro per la relazione di dispersione non è altro che la massa dell'elettrone.
$E_gamma^2+m_e^2+(E_gamma^{\prime})^2+2E_gammam_e-2E_gammaE_gamma^{\prime}-2E_gamma^{\prime}m_e-p_gamma^2-(p_gamma^{\prime})^2+2p_gammap_gamma^{\prime}costheta=m_e^2$
Qua possiamo fare delle semplificazioni, $E_gamma^2$ insieme a $-p_gamma^2$ è la massa del fotone, che sappiamo essere pari a zero. In modo analogo per $(E_gamma^{\prime})^2$ insieme a $-(p_gamma^{\prime})^2$. Inoltre possiamo raccogliere $-2E_gammaE_gamma^{\prime}$ con $2p_gammap_gamma^{\prime}costheta$ poiché dalla relazione di dispersione, l'energia del fotone è uguale alla sua quantità di moto ($c=1$ e $m_gamma = 0$).
$E_gammam_e-E_gamma^{\prime}m_e-E_gammaE_gamma^{\prime}(1-costheta)=0$
$theta=arccos[1-m_e(1/E_gamma-1/E_gamma^{\prime})]$
et voilà.
EDIT:
Grazie Shackle per la risposta, ho visto solo ora mentre scrivevo il risultato. Anche io avevo pensato di procedere prendendo singolarmente la conservazione dell'energia totale e della quantità di moto, però mi sono ritrovato più comodo a usare i quadrivettori, sicuramente si arriva allo stesso risultato!
Ottimo lavoro! Il mio procedimento è simile, forse più lungo, ma la sostanza è quella. Coi quadri-vettori si fa prima, in effetti.
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