QM: un problema
Vorrei risolvere con l'aiuto di qualcuno più competente di me questo interessante problema di QM:
Consideriamo un atomo costituito da un elettrone e da un trizio ($H^3$, con $Z=1$). Inizialmente
il sistema è nel suo stato fondamentale ($n=1$, $l=0$). Supponiamo che la carica nucleare aumenti
improvvisamente di una unità (realisticamente emettendo un elettrone ed un antineutrino).
Ciò significa che il nucleo del trizio si trasforma in un nucleo di elio di massa 3 ($Z=2$).
Ottenere la probabilità che il sistema si trovi nello stato fondamentale del risultante ione di elio.
La funzione d'onda idrogenoide è data da $ttpsi_(n=1, l=0)(vecx)=1/sqrtpi (Z/a_0)^(3/2) mbox(exp)(-(Zr)/a_0)$.
$a_0$ è il raggio di Bohr, pari a $barh/(m_e c alpha)$. Se non ho capito male, si chiede la probabilità che il
sistema sia nello stato di ione $He^-$. E' dunque necessario calcolare la funzione d'onda di questa configurazione?
Consideriamo un atomo costituito da un elettrone e da un trizio ($H^3$, con $Z=1$). Inizialmente
il sistema è nel suo stato fondamentale ($n=1$, $l=0$). Supponiamo che la carica nucleare aumenti
improvvisamente di una unità (realisticamente emettendo un elettrone ed un antineutrino).
Ciò significa che il nucleo del trizio si trasforma in un nucleo di elio di massa 3 ($Z=2$).
Ottenere la probabilità che il sistema si trovi nello stato fondamentale del risultante ione di elio.
La funzione d'onda idrogenoide è data da $ttpsi_(n=1, l=0)(vecx)=1/sqrtpi (Z/a_0)^(3/2) mbox(exp)(-(Zr)/a_0)$.
$a_0$ è il raggio di Bohr, pari a $barh/(m_e c alpha)$. Se non ho capito male, si chiede la probabilità che il
sistema sia nello stato di ione $He^-$. E' dunque necessario calcolare la funzione d'onda di questa configurazione?
Risposte
E' lo stesso testo che diede un mio prof (e mio attuale relatore) qualche anno fa, da dove viene?
quello che bisogna fare è calcolare la funzione d'onda dello stato eccitato dell'elio (ovvero dello ione) che uno ha in conseguenza dello shift dei livelli sotto il sedere degli elettroni dato dalla acquisizione di una carica positiva, poi quella dello stato fondamentale e infine calcolare la probabilità di transizione col solito integrale della lezione n. 1 del corso di Mecc. Quant.
quello che bisogna fare è calcolare la funzione d'onda dello stato eccitato dell'elio (ovvero dello ione) che uno ha in conseguenza dello shift dei livelli sotto il sedere degli elettroni dato dalla acquisizione di una carica positiva, poi quella dello stato fondamentale e infine calcolare la probabilità di transizione col solito integrale della lezione n. 1 del corso di Mecc. Quant.
E' un problema tratto da J.J. Sakurai - "Meccanica Quantistica Moderna".
Dunque, se non ti dispiace affrontiamo i passaggi uno alla volta (scrivo tutto io, non ti preoccupare!)
Per questo io mi rifarei alla teoria perturbativa: dall'hamiltoniana dello stato iniziale $H_0$ si può considerare l'acquisizione
di carica positiva come una perturbazione: $H_0 to H=H_0+lambdaV$. Poichè all'inizio il sistema era nello stato fondamentale,
suppongo che gli autovalori esatti dell'energia fossero noti: in formule $H_0|n=1,l=0rangle=E_(n=1,l=0)|n=1,l=0rangle$.
Ora, per trovare la funzione d'onda dello stato eccitato $He^-$, si devono trovare autoket e autovalori approssimati
per la nuova hamiltoniana: $(H_0+lambdaV)|n=2,l=?rangle=E_(n=2,l=?)|n=2,l=?rangle$ ($lambda$ si intende reale).
Nel nuovo valore di $l$ ho messo un punto interrogativo: lo ione $He^-$, nel suo stato fondamentale, ha $l=0$?
Sono molto lontano dalla verità?
Dunque, se non ti dispiace affrontiamo i passaggi uno alla volta (scrivo tutto io, non ti preoccupare!)
calcolare la funzione d'onda dello stato eccitato dell'elio (ovvero dello ione) che uno ha in conseguenza dello shift dei livelli sotto il sedere degli elettroni dato dalla acquisizione di una carica positiva
Per questo io mi rifarei alla teoria perturbativa: dall'hamiltoniana dello stato iniziale $H_0$ si può considerare l'acquisizione
di carica positiva come una perturbazione: $H_0 to H=H_0+lambdaV$. Poichè all'inizio il sistema era nello stato fondamentale,
suppongo che gli autovalori esatti dell'energia fossero noti: in formule $H_0|n=1,l=0rangle=E_(n=1,l=0)|n=1,l=0rangle$.
Ora, per trovare la funzione d'onda dello stato eccitato $He^-$, si devono trovare autoket e autovalori approssimati
per la nuova hamiltoniana: $(H_0+lambdaV)|n=2,l=?rangle=E_(n=2,l=?)|n=2,l=?rangle$ ($lambda$ si intende reale).
Nel nuovo valore di $l$ ho messo un punto interrogativo: lo ione $He^-$, nel suo stato fondamentale, ha $l=0$?
Sono molto lontano dalla verità?
Teoria Perturbativa? Direi di no.
Scusa, semplicemente quella che nel trizio era orbita dello stato fondamentale adesso nell'elio è divenuta orbita dello stato eccitato cioè con n=2.
Scusa, semplicemente quella che nel trizio era orbita dello stato fondamentale adesso nell'elio è divenuta orbita dello stato eccitato cioè con n=2.
Si, infatti ho già scritto $n=2$, il mio dubbio è sulla $l$ (numero quantico azimutale), visto che può valere $0$ o $1$.
Quindi come troveresti la funzione d'onda di $He^-$? (avevo pensato alla teoria perturbativa perchè il problema
appartiene al capitolo "metodi di approssimazione")
Quindi come troveresti la funzione d'onda di $He^-$? (avevo pensato alla teoria perturbativa perchè il problema
appartiene al capitolo "metodi di approssimazione")
Beh, io farei che lo spin si conserva e dunque terrei l=0.
La funzione d'onda è quella idrogenoide con Z=2 invece di Z=1.
La funzione d'onda è quella idrogenoide con Z=2 invece di Z=1.
Quindi $|langle H^3 | He^- rangle|^2=|1/pi int (1/a_0)^(3/2) (2/a_0)^(3/2) e^(-r/a_0) e^(-(2r)/a_0) dr |^2=- 16e^(- (3r)/a_0)/(9pi^2a_0^4) + 8e^(- (6r)/a_0)/(9pi^2a_0^4) + 8/(9pi^2a_0^4)$.
Non so se può andare, visto che non ho nemmeno fatto uso dei numeri quantici.
Colgo l'occasione per ringraziare Maxos dell'interessamento e invito chiunque lo desideri a partecipare alla discussione con noi.
Non so se può andare, visto che non ho nemmeno fatto uso dei numeri quantici.
Colgo l'occasione per ringraziare Maxos dell'interessamento e invito chiunque lo desideri a partecipare alla discussione con noi.
Confesso che non avrei mai pensato a considerare uno stato eccitato per $He^-$: anche io avrei considerato il problema come una perturbazione dipendente dal tempo, con hamiltoniana $H=H_0- \frac{e^2}{r} u(t)$, dove $u(t)=0$ per $t<0$ e $u(t)=1$ per $t>=0$, applicando poi le usuali formule per la probabilità di transizione con le funzioni d'onda idrogenoidi.
Ringraziando anche Cmax per l'interessamento, gli chiedo se, nell'ambito della teoria perturbativa, è giusto
risolvere l'equazione scritta sopra, che ora modifico in base al suggerimento: $(H_0-e^2/r u(t))$$|1rangle=E_1$$|1rangle$,
conoscendo le soluzioni di $H_0 |0rangle=E_0|0rangle$. Con $|0rangle$ e $|1rangle$ ho indicato gli stati $H^3$ e $He^-$.
Non è quindi necessario conoscere la funzione d'onda $langle 0 | 1 rangle$?
risolvere l'equazione scritta sopra, che ora modifico in base al suggerimento: $(H_0-e^2/r u(t))$$|1rangle=E_1$$|1rangle$,
conoscendo le soluzioni di $H_0 |0rangle=E_0|0rangle$. Con $|0rangle$ e $|1rangle$ ho indicato gli stati $H^3$ e $He^-$.
Non è quindi necessario conoscere la funzione d'onda $langle 0 | 1 rangle$?
Quello che mi era venuto in mente era la golden rule $w_{i->f}=\frac{2 pi}{h-}|V_{fi}|^2 \delta(E_f-E_i)$, che rende un po' difficile una transizione tra fondamentali (che hanno energia diversa, ed impone una regola di selezione $1->2$, però le funzioni $\psi_{2lm}$ hanno una forma leggermente diversa). Evidentemente devo rinfrescare la mie cognizioni di MQ di base.
Un problema simile (per un oscillatore armonico), è stato proposto nel Compito di MQ del 11.01.2007 Univ. di Pisa.
Un problema simile (per un oscillatore armonico), è stato proposto nel Compito di MQ del 11.01.2007 Univ. di Pisa.
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