QM esercizio con le armoniche
ciao a tutti!!!! 
sono reduce da un bellissimo esame di Meccanica Quantistica che mi ha devastato la giornata, ma sta volta sono ottimista...
intanto sta sera
visto che l'esame l'ho fatto oggi, non ho ancora le soluzioni del problema, per questo lo posto, così se qualcuno si vuole divertire a risolverlo poi si possono confrontare i metodi di risoluzione ... e i risultati soprattutto
il problema è questo:
Una particella senza spin si trova nello stato $psi=C(x+y+2z)e^(-Br)$ con C,B$inRR$ e $r=sqrt(x^2+y^2+z^2)$
a) trovare il valor medio di $hatL^2$
b) trovare il valor medio di $hatL_z$
c) determinare la probabilità di ottenere h misurando $hatL_z$
d) scrivere la formula per la probabilità di trovare la particella in un angolo solido infinitesimo $dOmega$ centrato attorno alla direzione individuata dagli angoli $theta$e$phi$
per risolvere il problema bisogna usare le armoniche sferiche...e vi dico subito che è un po lunghetto...
in ogni caso postero anche la risoluzione corretta quando ce l'avrò...
ciao
sono reduce da un bellissimo esame di Meccanica Quantistica che mi ha devastato la giornata, ma sta volta sono ottimista...
intanto sta sera
visto che l'esame l'ho fatto oggi, non ho ancora le soluzioni del problema, per questo lo posto, così se qualcuno si vuole divertire a risolverlo poi si possono confrontare i metodi di risoluzione ... e i risultati soprattutto
il problema è questo:
Una particella senza spin si trova nello stato $psi=C(x+y+2z)e^(-Br)$ con C,B$inRR$ e $r=sqrt(x^2+y^2+z^2)$
a) trovare il valor medio di $hatL^2$
b) trovare il valor medio di $hatL_z$
c) determinare la probabilità di ottenere h misurando $hatL_z$
d) scrivere la formula per la probabilità di trovare la particella in un angolo solido infinitesimo $dOmega$ centrato attorno alla direzione individuata dagli angoli $theta$e$phi$
per risolvere il problema bisogna usare le armoniche sferiche...e vi dico subito che è un po lunghetto...
in ogni caso postero anche la risoluzione corretta quando ce l'avrò...
ciao
Risposte
mi sembra un esercizio abbastanza standard.
con una tavola delle armoniche sferiche si può scomporre
$psi = f(r) sum_(lm) Y_l^m$
sono solo tanti conti
e il problema è non perdersi
però per il primo punto si vede ad occhio: visto che compaiono solo polinomi omogenei di primo grado è immediato vedere che siamo in un autostato di l=1
con una tavola delle armoniche sferiche si può scomporre
$psi = f(r) sum_(lm) Y_l^m$
sono solo tanti conti
e il problema è non perdersiperò per il primo punto si vede ad occhio: visto che compaiono solo polinomi omogenei di primo grado è immediato vedere che siamo in un autostato di l=1
si hai ragione, è un esercizio standard un po' lunghetto 
l'ho scritto così se qualcuno vuole provare a farlo poi posso confrontare i risultati... in ogni caso fra qualche giorno saprò le soluzioni e magari le riporterò
l'ho scritto così se qualcuno vuole provare a farlo poi posso confrontare i risultati... in ogni caso fra qualche giorno saprò le soluzioni e magari le riporterò
Scrivo giusto la primissima parte, il resto magari quando ho più voglia. 
Riscriviamo la funzione d'onda in coordinate sferiche:
$\psi(r,\theta,\phi) = C*re^{-Br}(sin\thetacos\phi + sin\thetasin\phi + 2cos\theta)$
Riscriviamo le funzioni trigonometriche in armoniche sferiche:
$sin\thetacos\phi = 1/2sin\thetae^{i\phi} + 1/2sin\thetae^{-i\phi} = -\sqrt{(2\pi)/3}Y_1^1 + \sqrt{(2\pi)/3}Y_1^{-1}$
$sin\thetasin\phi = 1/{2i}sin\thetae^{i\phi} - 1/{2i}sin\thetae^{-i\phi} = i\sqrt{(2\pi)/3}Y_1^1 - i\sqrt{(2\pi)/3}Y_1^{-1}$
$2cos\theta = \sqrt{(2\pi)/3}Y_1^0$
Sostituendo tutto otteniamo:
$\psi(r,\theta,\phi) = \sqrt{(2\pi)/3}C*re^{-Br}{-(1-i)Y_1^1 + (1-i)Y_1^{-1} + Y_1^0}$
Notiamo che deve essere $B>0$ altrimenti la funzione d'onda non è normalizzabile.
Riscriviamo la funzione d'onda in coordinate sferiche:
$\psi(r,\theta,\phi) = C*re^{-Br}(sin\thetacos\phi + sin\thetasin\phi + 2cos\theta)$
Riscriviamo le funzioni trigonometriche in armoniche sferiche:
$sin\thetacos\phi = 1/2sin\thetae^{i\phi} + 1/2sin\thetae^{-i\phi} = -\sqrt{(2\pi)/3}Y_1^1 + \sqrt{(2\pi)/3}Y_1^{-1}$
$sin\thetasin\phi = 1/{2i}sin\thetae^{i\phi} - 1/{2i}sin\thetae^{-i\phi} = i\sqrt{(2\pi)/3}Y_1^1 - i\sqrt{(2\pi)/3}Y_1^{-1}$
$2cos\theta = \sqrt{(2\pi)/3}Y_1^0$
Sostituendo tutto otteniamo:
$\psi(r,\theta,\phi) = \sqrt{(2\pi)/3}C*re^{-Br}{-(1-i)Y_1^1 + (1-i)Y_1^{-1} + Y_1^0}$
Notiamo che deve essere $B>0$ altrimenti la funzione d'onda non è normalizzabile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo