QFT (Seconda Quantizzazione)
Ciao a tutti, sto studiando la seconda quantizzazione, in particolare gli operatori di campo per i bosoni e fermioni.
Mi sono però imbattuto in questo esercizio, e sto avendo alcune difficoltà a risolverlo...
Il testo chiede:
L’operatore di distruzione di un bosone al punto r è dato,in rappresentazione di Schr ̈odinger,
da:
$phi(r)= 1/(2πh)^(3/2) * int e^((ipr)/h) * (a_p) dp$
dove $a_p$ è l'operatore di distruzione.
Calcolare, per t>0 la funzione di correlazione:
$(Psi_0,phi(r,t)tilde(phi)(r',0)Psi_0)$
Con $Psi_0$ è lo stato di vuoto.
(qui io ho scritto $tilde(phi)$ perchè non potevo scrivere il complesso coniugato.)
RISULTATO $[m/(2πthi)]^(3/2) e^[i(mr^2)/(2ht)]$
Potete aiutarmi a risolverlo... sono i primi esercizi e mi sarebbe utile capire lo svolgimento. GRAZIE!
Mi sono però imbattuto in questo esercizio, e sto avendo alcune difficoltà a risolverlo...
Il testo chiede:
L’operatore di distruzione di un bosone al punto r è dato,in rappresentazione di Schr ̈odinger,
da:
$phi(r)= 1/(2πh)^(3/2) * int e^((ipr)/h) * (a_p) dp$
dove $a_p$ è l'operatore di distruzione.
Calcolare, per t>0 la funzione di correlazione:
$(Psi_0,phi(r,t)tilde(phi)(r',0)Psi_0)$
Con $Psi_0$ è lo stato di vuoto.
(qui io ho scritto $tilde(phi)$ perchè non potevo scrivere il complesso coniugato.)
RISULTATO $[m/(2πthi)]^(3/2) e^[i(mr^2)/(2ht)]$
Potete aiutarmi a risolverlo... sono i primi esercizi e mi sarebbe utile capire lo svolgimento. GRAZIE!
Risposte
Nessuno può aiutarmi?
Mi spiace, in QFT sono alle prime armi anch'io ... 
Ciao arrigo 
, il mio problema più che altro sta nel capire quella funzione di correlazione
Vorrà mica dire che devo fare: (
)
$Psi_o * phi(r,t)*phi^+(r',o) * Psi_0$
probabilmente avrò detto una cavolata pazzesca...
, il mio problema più che altro sta nel capire quella funzione di correlazione Vorrà mica dire che devo fare: (
)$Psi_o * phi(r,t)*phi^+(r',o) * Psi_0$
probabilmente avrò detto una cavolata pazzesca...
E' un prodotto scalare ed indica la probabilità che una particella si generi in un punto dello spaziotempo e vada in un altro. Corrisponde ad un segmento di un diagramma di Feynman ...
La cosa andrebbe impostata sostituendo le espressioni giuste e poi fatti i calcoli, ma sono solo alle prime pagine del Peskin per cui ...
La cosa andrebbe impostata sostituendo le espressioni giuste e poi fatti i calcoli, ma sono solo alle prime pagine del Peskin per cui ...
Ok capisco
Grazie mille per rispondere SEMPRE alle mie domande!
Grazie mille per rispondere SEMPRE alle mie domande!
"grimx":
Ciao arrigo
Vorrà mica dire che devo fare: (
$Psi_o * phi(r,t)*phi^+(r',o) * Psi_0$
Prova a scrivere semplicemente giu' l'espressione in termini dei modi normali: riesci ad eliminare gli operatori di creazione e distruzione dall'espressione?
Grazie per la risposta!
Si, allora l'espressione si riscrive così:
$1/(2πh)^(3/2)*int e^((ipr)/h) * e^((-iwp)/h) dp * 1/(2πh)^(3/2)* int e^((-ipr')/h) dp $
Le due $Psi_o$ si sono cancellate perchè $a_p^+$ agiva su $Psi_o$ di destra e aumentava di 1 il numero di particelle. Mentre $a_p$ agisce su quello di sinistra e aumenta anche lui di uno. Quindi si eliminano.
Adesso una domanda sorge: Devo Integrare tutto sul tempo?? Perchè non viene definito il tempo e quindi in teoria dovrei sommare su tutte le possibilità.. Giusto?
Comunque, intanto posso moltiplicare i due coefficenti e ottengo:
$1/(4π^2h^2)^(3/2)$
Poi, noto che $w=p^2/(2m)$ Questo mi facilita le cose poichè ottengo un integrale del tipo:
$int e^(-iap^2)dp = (π/(ia))^(3/2)$
In questo caso $a= t/(2mh)$
Comunque, devo integrale su tutto il tempo? (e anche sullo spazio
)
Si, allora l'espressione si riscrive così:
$1/(2πh)^(3/2)*int e^((ipr)/h) * e^((-iwp)/h) dp * 1/(2πh)^(3/2)* int e^((-ipr')/h) dp $
Le due $Psi_o$ si sono cancellate perchè $a_p^+$ agiva su $Psi_o$ di destra e aumentava di 1 il numero di particelle. Mentre $a_p$ agisce su quello di sinistra e aumenta anche lui di uno. Quindi si eliminano.
Adesso una domanda sorge: Devo Integrare tutto sul tempo?? Perchè non viene definito il tempo e quindi in teoria dovrei sommare su tutte le possibilità.. Giusto?
Comunque, intanto posso moltiplicare i due coefficenti e ottengo:
$1/(4π^2h^2)^(3/2)$
Poi, noto che $w=p^2/(2m)$ Questo mi facilita le cose poichè ottengo un integrale del tipo:
$int e^(-iap^2)dp = (π/(ia))^(3/2)$
In questo caso $a= t/(2mh)$
Comunque, devo integrale su tutto il tempo? (e anche sullo spazio
)
"grimx":
Si, allora l'espressione si riscrive così:
$1/(2πh)^(3/2)*int e^((ipr)/h) * e^((-iwp)/h) dp * 1/(2πh)^(3/2)* int e^((-ipr')/h) dp $
Le due $Psi_o$ si sono cancellate perchè $a_p^+$ agiva su $Psi_o$ di destra e aumentava di 1 il numero di particelle. Mentre $a_p$ agisce su quello di sinistra e aumenta anche lui di uno. Quindi si eliminano.
L'espressione di sopra non va bene, perche' la delta di conservazione dell'impulso fa fuori uno dei due integrali.
Comunque devi precisare un po' l'argomento per cui gli operatori dello spazio di Fock vanno via: devi sostituire a $\hat a_p \hat a_q^+$ l'espressione $[\hat a_p, \hat a_q^+]+\hat a_q^+\hat a_p$, il primo termine e' il commutatore canonico (e in generale e' un c-numero che dipende dalla normalizzazione che hai nella tua rappresentazione) e il secondo invece ha valore di aspettazione nullo sul vuoto (intendo lo stato $\Psi_0$).
Adesso una domanda sorge: Devo Integrare tutto sul tempo?? Perchè non viene definito il tempo e quindi in teoria dovrei sommare su tutte le possibilità.. Giusto?
No, perche'? Stai calcolando un propagatore tra un tempo $0$ e un tempo $t$, e tra i punti $r$ e $r'$.
Gli unici integrali li fai sugli impulsi.
Edit: ho aggiustato le formule, prima non erano comprensibili...e dire che avevo guardato la preview...
Grazie mille per la risposta
Perchè è sbagliata la mia espressione?
La delta di conservazione quale integrale fa fuori? Il primo?
Per il resto credo di essere riuscito a trovare il primo fattore nel risultato.
Come ho scritto prima, notando che $w=p^2/(2m)$ ho un integrale facile da risolvere ed ottengo infatti:
$((2mhπ)/(it))^(3/2)$
Moltiplicando questo risultato per i due coefficenti ottengo prorpio :
$[m/(2πthi)]^(3/2)$
Potresti aiutarmi a finirlo?
Perchè è sbagliata la mia espressione?
La delta di conservazione quale integrale fa fuori? Il primo?
Per il resto credo di essere riuscito a trovare il primo fattore nel risultato.
Come ho scritto prima, notando che $w=p^2/(2m)$ ho un integrale facile da risolvere ed ottengo infatti:
$((2mhπ)/(it))^(3/2)$
Moltiplicando questo risultato per i due coefficenti ottengo prorpio :
$[m/(2πthi)]^(3/2)$
Potresti aiutarmi a finirlo?
"grimx":
Perchè è sbagliata la mia espressione?
La delta di conservazione quale integrale fa fuori? Il primo?
L'espressione e' sbagliata perche' contiene due integrali (entrambi su $p$, peraltro): il fatto e' che manca la delta di conservazione dell'impulso. Sta a te decidere quale integrale eseguire per primo, il risultato non cambia: praticamente ammazzi un integrale e metti $q=p$.
Potresti aiutarmi a finirlo?
Ma esattamente in quale punto ti intoppi? Mi sembra che tu abbia chiaro il meccanismo (ricordandoti della $\delta$
)
Si il procedimento in testa abbastanza ce l'ho, ma non ho capito nel risultato finale perchè viene quell'esponenziale:
$e^(i(mr^2)/(2ht))$
Cioè anche se "ammazzo" un integrale, perchè viene quell'esponenziale strano?
So che sono domande molto stupide e me ne scuso
$e^(i(mr^2)/(2ht))$
Cioè anche se "ammazzo" un integrale, perchè viene quell'esponenziale strano?
So che sono domande molto stupide e me ne scuso
"grimx":
Si il procedimento in testa abbastanza ce l'ho, ma non ho capito nel risultato finale perchè viene quell'esponenziale:
$e^(i(mr^2)/(2ht))$
Cioè anche se "ammazzo" un integrale, perchè viene quell'esponenziale strano?
Ma no, non e' strano, e' solo un po' diverso dagli altri che conosci
Si tratta del famoso propagatore della particella libera (vedi per es. qui).
Peraltro per toglierti la curiosita' applica a quel propagatore l'equazione di Schroedinger, otterrai un risultato piuttosto importante. Che poi e' il segno che hai fatto i conti giusti
Grazie mille yoshiharu, davvero! Sei stato veramente di grande aiuto
Scusa, yoshiharu, che risultato importante si trova? Io avrei trovato che o $h = 0$, o $t = oo$ ...
"anonymous_af8479":
Scusa, yoshiharu, che risultato importante si trova?
Questo. Tieni conto che la $K$ e' il nostro propagatore. Grazie a questo fatto il propagatore ha la proprieta' di darti soluzioni dell'equazione a partire da date condizioni iniziali.
Si, grazie, si tratta dell'eq temporale di Schr in forma integrale ... ci feci la tesi 40 anni fa
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