Puro rotolamento, scelta del corpo

[AnalisiZero]

Ciao,

Nel libro c'è questa domanda teorica:
"Supponiamo che tu stia progettando una macchina per una gara a ruota libera, le macchine in questa gara non hanno motori, esse semplicemente vengono giù a ruota libera da una collina. Ti serviranno delle ruote grandi o piccole? Piene come dischi o vuote come anelli? Pesanti o leggere?"

Secondo me l'unica differenza la fa il coefficiente del momento d'inerzia. Anche perché nell'esempio successivo si dimostra che ogni sfera e cilindro omogenei in moto di puro rotolamento cadono con una velocità e accelerazione indipendentementi da raggio e massa.
Invece il libro nella risposta a questa domanda dice che bisogna minimizzare il momento di inerzia, quindi ruote piene, raggio piccolo e massa piccola...Non capisco

[professorkappa]

A parita di massa e raggio, le relazioni sono

$mgrsintheta=3/2mr^2ddottheta_p$ (ruota piena)
$mgrsintheta=2mr^2ddottheta_c$ (ruota con massa concentrata sulla circonferenza)

da cui, l accelerazione della ruota con massa concentrata sulla periferia e' 3/4 di quella della ruota piena. Quindi masse piene (il che mi pare evidente, perche con una ruota piena la massa verso il centro ha bisogno di meno momento, non "partecipa" al momento di inerzia.

Allo stesso modo risolvi variando i raggi, le masse, etc (tenendo ferme le altre variabili, ovviamente)

[AnalisiZero]

Ma quindi io dove sbaglio? Non ho specificato che mi riferivo al centro di massa. Una volta fissata la forma, velocità e accelerazione lineari del centro di massa dovrebbero essere indipendenti da massa e raggio. Quindi massa e raggio non mi interessano perché non fanno variare velocità e accelerazione lineari del centro di massa, tanto l'importante è che la ruota arrivi prima in fondo. Giusto?

[professorkappa]

E non so dove sbagli.
Qual e' il tuo dubbio? E' tutto nelle formule. Piu basso e' il momento di inerzia e piu' il corpo accelera.
Quindi devi diminuire il raggio e usare ruote piene. Dove ti perplimi?

[AnalisiZero]

Il punto è che a parità di forma e di tutti gli oggetti rotolano dalla stessa collina con la stessa velocità e accelerazione lineare del centro di massa, indipendentemente da raggio e massa. Lo dimostra esplicitamente il libro

[professorkappa]

Mi piacerebbe vedere questa dimostrazione esplicita....secondo me fraintendi qualcosa

[AnalisiZero]

"professorkappa":Mi piacerebbe vedere questa dimostrazione esplicita....secondo me fraintendi qualcosa

Per esempio.
Consideriamo una sfera piena in cima a un piano inclinato (con attrito), che viene lasciata libera da ferma di rotolare. In ogni punto della discesa la velocità del centro di massa (che si muove in una retta) non dipende da raggio o massa della sfera che sta rotolando.
Tanto per scrivere una formula (dall'esempio del libro), una sfera piena che viene lasciata rotolare da ferma dalla cima di un piano inclinato di altezza $h$, avrà alla base del piano una velocità del centro di massa $v_(cm)=sqrt(10/7gh)$

[professorkappa]

Gia;
E un cilindro pieno quanto avra', secondo te?

[AnalisiZero]

"professorkappa":Gia;
E un cilindro pieno quanto avra', secondo te?

Avrà un valore dato da una formula "simile", nel senso che cambierà solo il fattore costante dentro la radice, che dipende dal coefficiente del momento di inerzia.