Puro rotolamento. Esercizio non standard?
Introduzione barbosa:
L'esericizio che riporto di seguito è abbastanza standard -tanto che si trova come esercizio d'esempio durante l'esposizione della teoria del puro rotolamento-; tuttavia mi sono preoccupato di complicarlo un po'. Probabilmente mi sto perdendo in bicchiere d'acqua, ma mi piacerebbe rifletterci con qualcuno.
Io aggiungo: estrarre una qualche legge che permetta di sapere di più del moto del cilindro. Oscillerà all'infinito intorno al punto di minimo di potenziale: fermarsi alla descrizione della prima salita è un po' limitante.
In breve:
Qualche considerazione energetica: il cilindro si trova inizialmente in quiete ad una certa altezza, il momento della forza d'attrito fa si che il cilindro aumenti la sua velocità angolare e il lavoro della forza peso fa traslare il centro di massa -questo fino al punto in cui vi è frizione con la superficie.
Da quel punto in poi il cilindro continua a ruotare a velocità angolare costante, convertendo tutta l'energia cinetica relativa alla traslazione del centro di massa in energia potenziale fino ad arrivare ad una certa quota (inferiore all'altezza cui era stato lasciato, dal momento che parte dell'energia potenziale iniziale è stata usata per mettere in moto la massa del cilindro intorno al suo centro di massa, e quell'energia non è stata recuperata).
L'esericizio mi chiede di fermarmi qui, tuttavia: cosa succede una volta che ho raggiunto l'altezza trovata nello spoiler? Sicuramente tutta l'energia meccanica che il cilindro ha in quel punto andrà a conservarsi fino al punto in cui vi è il raccordo fra la superficie liscia e quella scabra. Da quel punto in poi le cose si complicano, almeno per me: è chiaro che la velocità angolare non si conservi. Il momento della forza d'attrito durante la salita tenderebbe a far ruotare il cilindro nel senso opposto. In più l'altezza a cui sale il CM dipende anche lei dalla forza d'attrito dato che parte dell'energia meccanica con cui era partito il cilindro verrà dissipata cercando di far ruotare il cilindro nel senso opposto.
La salita terminerà ad un certo angolo $\theta$. La considerazione naif che ho fatto è
$\DeltaE_k = \mathbb{W}$
$\rArr \DeltaE_k = [1/2 k^2 m \omega_f^2] - [1/2 (k^2 + (R/4)^2) m \omega_i^2] = - mgsin\theta - \mu_s mg cos\theta * \thetar = \mathbb{W}$
con $\omega_i^2$ noto. Anche supponendo di poter misurare a mano il coefficiente d'attrito statico della guida, come potrei mai chiudere l'esericizio non conoscendo $\omega_f^2$ né $\theta$?
Quello che mi piacerebbe trovare sarebbe è una relazione che leghi l'altezza iniziale all'altezza raggiunta dopo l'$n$esima oscillazione intorno al punto di potenziale minimo.
Che dite?
Vi ringrazio in anticipo per la collaborazione,
Giuseppe
L'esericizio che riporto di seguito è abbastanza standard -tanto che si trova come esercizio d'esempio durante l'esposizione della teoria del puro rotolamento-; tuttavia mi sono preoccupato di complicarlo un po'. Probabilmente mi sto perdendo in bicchiere d'acqua, ma mi piacerebbe rifletterci con qualcuno.
Un cilindro di raggio R/4 rotola senza strisciare dentro una guida di raggio R. Nella metà di destra della guida l'attrito è nullo. Se all'istante iniziale il cilindro è fermo e la quota del centro di massa è R/2, determinare la posizione di arrivo del cilindro e la velocità angolare.
Io aggiungo: estrarre una qualche legge che permetta di sapere di più del moto del cilindro. Oscillerà all'infinito intorno al punto di minimo di potenziale: fermarsi alla descrizione della prima salita è un po' limitante.
In breve:
Qualche considerazione energetica: il cilindro si trova inizialmente in quiete ad una certa altezza, il momento della forza d'attrito fa si che il cilindro aumenti la sua velocità angolare e il lavoro della forza peso fa traslare il centro di massa -questo fino al punto in cui vi è frizione con la superficie.
Da quel punto in poi il cilindro continua a ruotare a velocità angolare costante, convertendo tutta l'energia cinetica relativa alla traslazione del centro di massa in energia potenziale fino ad arrivare ad una certa quota (inferiore all'altezza cui era stato lasciato, dal momento che parte dell'energia potenziale iniziale è stata usata per mettere in moto la massa del cilindro intorno al suo centro di massa, e quell'energia non è stata recuperata).
L'esericizio mi chiede di fermarmi qui, tuttavia: cosa succede una volta che ho raggiunto l'altezza trovata nello spoiler? Sicuramente tutta l'energia meccanica che il cilindro ha in quel punto andrà a conservarsi fino al punto in cui vi è il raccordo fra la superficie liscia e quella scabra. Da quel punto in poi le cose si complicano, almeno per me: è chiaro che la velocità angolare non si conservi. Il momento della forza d'attrito durante la salita tenderebbe a far ruotare il cilindro nel senso opposto. In più l'altezza a cui sale il CM dipende anche lei dalla forza d'attrito dato che parte dell'energia meccanica con cui era partito il cilindro verrà dissipata cercando di far ruotare il cilindro nel senso opposto.
La salita terminerà ad un certo angolo $\theta$. La considerazione naif che ho fatto è
$\DeltaE_k = \mathbb{W}$
$\rArr \DeltaE_k = [1/2 k^2 m \omega_f^2] - [1/2 (k^2 + (R/4)^2) m \omega_i^2] = - mgsin\theta - \mu_s mg cos\theta * \thetar = \mathbb{W}$
con $\omega_i^2$ noto. Anche supponendo di poter misurare a mano il coefficiente d'attrito statico della guida, come potrei mai chiudere l'esericizio non conoscendo $\omega_f^2$ né $\theta$?
Quello che mi piacerebbe trovare sarebbe è una relazione che leghi l'altezza iniziale all'altezza raggiunta dopo l'$n$esima oscillazione intorno al punto di potenziale minimo.
Che dite?
Vi ringrazio in anticipo per la collaborazione,
Giuseppe
Risposte
Interessante.. Per capire gli strumenti da usare ti consiglio prima il seguente problema.
Un cilindro viene lanciato su un piano scabro con velocità di rotazione e traslazione iniziali note. Calcolare la velocità angolare finale e, noto il coefficiente di attrito dinamico, dopo quanto tempo il cilindro rotola senza strisciare.
Un cilindro viene lanciato su un piano scabro con velocità di rotazione e traslazione iniziali note. Calcolare la velocità angolare finale e, noto il coefficiente di attrito dinamico, dopo quanto tempo il cilindro rotola senza strisciare.
Un cilindro viene lanciato su un piano scabro con velocità di rotazione e traslazione iniziali note. Calcolare la velocità angolare finale e, noto il coefficiente di attrito dinamico, dopo quanto tempo il cilindro rotola senza strisciare.
Non ho ancora ripensato al problema originale. Dato che riflettere all'esercizio qui sopra mi ha dato del filo da torcere, per il momento mi "fermo" qui. Spero ci sia disponibilità a dare un'occhiata.
Innanzi tutto: se il cilindro dell'esericizio ha una velocità di traslazione iniziale più bassa della velocità di rotazione, il corpo strisciando risentirà della frizione con la superficie e rallenterà fino a fermarsi, continuando però a "sgommare" all'infinito (vedi nota in fondo).
Quindi supponiamo che il cilindro lanciato sul piano scabro strisci più di quanto rotoli.
Per la traslazione del centro di massa vale
$ma_("cm") = -\mu_d m g$
Per la massa in rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa:
$\vecr \times \vecf = I_("cm") \vec\alpha$ $\rArr \mu_d m g r = I_("cm") \alpha$
L'utilità di questo approccio sta nel poter ricavare le due leggi cinematiche relative alla traslazione del centro di massa e alla rotazione del corpo. Infatti:
$a_("cm") = - \mu_d m g$ $\rArr v(t) = v_0 - \mu_d mg * t$
$\alpha = (\mu_d mg r) / I_("cm")$ $\rArr \omega(t) = \omega_0 + (\mu_d mg r) / I_("cm") * t$
Il moto di traslazione del centro di massa viene decelerato dal lavoro della forza d'attrito; il momento della forza d'attrito invece genera un'accelerazione angolare che aumenta il modulo della velocità angolare.
Si avrà un certo $t^\star$ per cui $v_(CM) = \omega * r$: per $t^\star$ -e per istanti successivi- si assiste ad un puro rotolamento (vedi nota in fondo).
Ormai quindi basta risolvere un'equazione di primo grado:
$\omega_0 + (\mu_d mg r^2) / I_("cm") * t^\star= v_0 - \mu_d mg * t^\star$
trovando che
$t^\star ((\mu_d mg r^2) / I_("cm") + \mu_d mg) = v_0 - \omega_0 r$
In conclusione, per chiudere l'esericizio: la velocità angolare finale è data dalla relativa "legge del moto" valutata all'istante finale; l'istante in cui il moto diventa di puro rotolamento è l'istante $t^\star$.
Alcuni dubbi che questo esercizio ha sollevato, sebbene non mi abbia ancora fatto andare avanti con il problema iniziale: è vera la situazione che penso succeda se la velocità di traslazione è più bassa di quella rotazione -e cioé che il corpo smetta di traslare a un certo istante, ma continui a ruotare attorno al centro di massa-?
L'altra cosa che non mi è chiara, e probabilmente qui farei meglio a riconsultare la teoria: ho sempre dato per assodato che nel puro rotolamento il punto di contatto con il terrreno, rimanendo fermo, fa si che il lavoro della forza d'attrito sia nullo ... ma è assurdo, ripensando a questo esercizio: com'è possibile che nel momento in cui vi è concordanza (mi si perdoni l'imprecisione) fra velocità di traslazione e velocità di rotazione "magicamente" la forza d'attrito smetta di compiere lavoro e il moto diventi uniforme?
Continuo a rifletterci, comunque. Grazie per l'attenzione intanto!
Quello che hai scritto per l'esercizio proposto va abbastanza bene però fai attenzione...
Questo non ha senso.
Anche se la velocità di traslazione iniziale fosse nulla il cilindro non si potrà fermare, striscerà fino ad un certo punto e poi inizierà a rotolare senza strisciare.
Per inciso, anche se il coefficiente di attrito dinamico non è noto (ma sappiamo maggiore di zero, per cui si innesca alla fine il rotolamento), puoi sempre calcolare quale sia la velocità finale di rotolamento dati solo il raggio del cilindro, la sua massa e la velocità angolare iniziale. Per trovare invece il tempo che impiega a raggiungere la condizione di rotolamento il coefficiente di attrito dinamico è necessario. Prova a pensarci.
Chiarito questo puoi risolvere il tuo problema iniziale subito introducendo una piccola semplificazione: cioè assumere che il coefficiente di attrito dinamico tra cilindro e guida sia altissimo, in altre parole che il cilindro inizi praticamente subito a rotolare senza strisciare.
Il caso più generale è più complesso, ma gli strumenti da usare sono sempre gli stessi.
[ot]PS: Non ho capito cosa vuoi dire con la frase sui cattolici nella firma, spero non voglia significare quello che temo, in Italia una frase come quella è del tutto priva di senso, anche come provocazione...[/ot]
"giuscri":
Innanzi tutto: se il cilindro dell'esericizio ha una velocità di traslazione iniziale più bassa della velocità di rotazione, il corpo strisciando risentirà della frizione con la superficie e rallenterà fino a fermarsi, continuando però a "sgommare" all'infinito
Questo non ha senso.
Anche se la velocità di traslazione iniziale fosse nulla il cilindro non si potrà fermare, striscerà fino ad un certo punto e poi inizierà a rotolare senza strisciare.
Per inciso, anche se il coefficiente di attrito dinamico non è noto (ma sappiamo maggiore di zero, per cui si innesca alla fine il rotolamento), puoi sempre calcolare quale sia la velocità finale di rotolamento dati solo il raggio del cilindro, la sua massa e la velocità angolare iniziale. Per trovare invece il tempo che impiega a raggiungere la condizione di rotolamento il coefficiente di attrito dinamico è necessario. Prova a pensarci.
Chiarito questo puoi risolvere il tuo problema iniziale subito introducendo una piccola semplificazione: cioè assumere che il coefficiente di attrito dinamico tra cilindro e guida sia altissimo, in altre parole che il cilindro inizi praticamente subito a rotolare senza strisciare.
Il caso più generale è più complesso, ma gli strumenti da usare sono sempre gli stessi.
[ot]PS: Non ho capito cosa vuoi dire con la frase sui cattolici nella firma, spero non voglia significare quello che temo, in Italia una frase come quella è del tutto priva di senso, anche come provocazione...[/ot]
Comincio a scrivere qualcosa velocemente, però devo ammettere che ancora non sono tornato sul problema.
Questo non ha senso.
Anche se la velocità di traslazione iniziale fosse nulla il cilindro non si potrà fermare, striscerà fino ad un certo punto e poi inizierà a rotolare senza strisciare.
[/quote]
Come posso immaginarmelo? Intendo dire: da cosa viene accelerato? Mhn, be', dalla forza d'attrito ...
Comincio a capirci qualcosa. Ad ogni modo mi disturba il fatto che sia più probabile, per un cilindro su un piano scabro, rotolare senza strisciare piuttosto che rimanere fermo. Cioé, se le forze d'attrito sono solo quelle relative al piano, il cilindro -qualunque siano le condizioni iniziali- si mette a rotolare prima o poi?
[ot]
http://www.zerozone.it/tag/omosessuali/[/ot]
"Faussone":
[quote="giuscri"]
Innanzi tutto: se il cilindro dell'esericizio ha una velocità di traslazione iniziale più bassa della velocità di rotazione, il corpo strisciando risentirà della frizione con la superficie e rallenterà fino a fermarsi, continuando però a "sgommare" all'infinito
Questo non ha senso.
Anche se la velocità di traslazione iniziale fosse nulla il cilindro non si potrà fermare, striscerà fino ad un certo punto e poi inizierà a rotolare senza strisciare.
[/quote]
Come posso immaginarmelo? Intendo dire: da cosa viene accelerato? Mhn, be', dalla forza d'attrito ...
"Faussone":
Per inciso, anche se il coefficiente di attrito dinamico non è noto (ma sappiamo maggiore di zero, per cui si innesca alla fine il rotolamento), puoi sempre calcolare quale sia la velocità finale di rotolamento dati solo il raggio del cilindro, la sua massa e la velocità angolare iniziale. Per trovare invece il tempo che impiega a raggiungere la condizione di rotolamento il coefficiente di attrito dinamico è necessario. Prova a pensarci.
Comincio a capirci qualcosa. Ad ogni modo mi disturba il fatto che sia più probabile, per un cilindro su un piano scabro, rotolare senza strisciare piuttosto che rimanere fermo. Cioé, se le forze d'attrito sono solo quelle relative al piano, il cilindro -qualunque siano le condizioni iniziali- si mette a rotolare prima o poi?
[ot]
"Faussone":
PS: Non ho capito cosa vuoi dire con la frase sui cattolici nella firma, spero non voglia significare quello che temo, in Italia una frase come quella è del tutto priva di senso, anche come provocazione...
http://www.zerozone.it/tag/omosessuali/[/ot]
"giuscri":
Come posso immaginarmelo? Intendo dire: da cosa viene accelerato? Mhn, be', dalla forza d'attrito ...
Esatto.
"giuscri":
Comincio a capirci qualcosa. Ad ogni modo mi disturba il fatto che sia più probabile, per un cilindro su un piano scabro, rotolare senza strisciare piuttosto che rimanere fermo. Cioé, se le forze d'attrito sono solo quelle relative al piano, il cilindro -qualunque siano le condizioni iniziali- si mette a rotolare prima o poi?
Se ha una velocità angolare di rotazione maggiore di zero sì.
Non ho capito sinceramente cosa ti disturba.
EDIT: Una piccola precisazione a quanto detto nel precedente messaggio: per il cilindro rotante su un piano scabro orizzontale con velocità di traslazione iniziale nulla, la velocità angolare (finale) di rotolamento senza strisciamento è una frazione ben precisa della velocità angolare iniziale, indipendentemente dalla dimensione e dalla massa del cilindro (oltre che indipendentemente dal coefficiente di attrito).
[ot]
"giuscri":
[quote="Faussone"]PS: Non ho capito cosa vuoi dire con la frase sui cattolici nella firma, spero non voglia significare quello che temo, in Italia una frase come quella è del tutto priva di senso, anche come provocazione...
http://www.zerozone.it/tag/omosessuali/[/quote]
Dal primo periodo che hai estratto non si capiva l'ironia dove andasse a parare, avevo pensato fosse diretta nel senso opposto![/ot]
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