Puro rotolamento: domanda stupida
Buongiorno a tutti!!
Sto studiando Meccanica razionale e avrei una domanda un po' tanto stupida da farvi, sorta da una apparente contraddizione che ho trovato nei miei appunti...
In dinamica, la prof ha spiegato la seconda equazione cardinale ${d vec(Gamma)_O}/{dt} = vec(M)_O + vec(M')_O -vec(v)_Oxxvec(Q)$ e ha fatto un esempio in cui il termine $vec(v)_Oxxvec(Q)$ si annulla:
nel caso del disco omogeneo pesante che rotola senza strisciare su una guida liscia orizzontale fissa, se prendo come punto O il punto di contatto del disco con la guida, allora $vec(v)_Oxxvec(Q)$ si annulla NON perché $vec(v)_O$ è nulla (anzi, ha detto proprio che essendo O un polo mobile nel tempo allora O NON ha velocità zero, anzi ha la stessa velocità del baricentro del disco, ossia il centro) ma perché è parallela a Q (che è ovviamente parallelo alla velocità del baricentro).
Fin qui ok, ma poi quando ha spiegato il teorema ${dT}/{dt} = Pi + Pi'$ dove $Pi$ è la potenza delle forze attive e $Pi'$ quella delle forze reattive, ha fatto ancora lo stesso esempio in questo modo:
disco omogeneo pesante che rotola su guida liscia fissa orizzontale, esiste una reazione vincolare nel punto di contatto: la potenza $Pi'$ della reazione vincolare però è nulla, perché la velocità $vec(v)_O$ del punto di contatto per definizione di puro rotolamento è nulla...
A questo punto mi chiedo: ma quindi che differenza c'è fra i due esempi? Nel primo caso O è un polo mobile e quindi la sua velocità non è nulla (ma non è puro rotolamento??), nel secondo caso O è un punto che appartiene al disco o alla guida fissa? E non dovrebbe avere comunque la stessa velocità in entrambi i casi?
Insomma, $vec(v)_O$ è nulla o no?
Premetto che ho studiato in fretta perché ho l'esame fra poco e quindi perdonate la eventuale demenza della domanda, ma ho bisogno di capire bene!!
Grazie mille a chi risponderà
Sto studiando Meccanica razionale e avrei una domanda un po' tanto stupida da farvi, sorta da una apparente contraddizione che ho trovato nei miei appunti...
In dinamica, la prof ha spiegato la seconda equazione cardinale ${d vec(Gamma)_O}/{dt} = vec(M)_O + vec(M')_O -vec(v)_Oxxvec(Q)$ e ha fatto un esempio in cui il termine $vec(v)_Oxxvec(Q)$ si annulla:
nel caso del disco omogeneo pesante che rotola senza strisciare su una guida liscia orizzontale fissa, se prendo come punto O il punto di contatto del disco con la guida, allora $vec(v)_Oxxvec(Q)$ si annulla NON perché $vec(v)_O$ è nulla (anzi, ha detto proprio che essendo O un polo mobile nel tempo allora O NON ha velocità zero, anzi ha la stessa velocità del baricentro del disco, ossia il centro) ma perché è parallela a Q (che è ovviamente parallelo alla velocità del baricentro).
Fin qui ok, ma poi quando ha spiegato il teorema ${dT}/{dt} = Pi + Pi'$ dove $Pi$ è la potenza delle forze attive e $Pi'$ quella delle forze reattive, ha fatto ancora lo stesso esempio in questo modo:
disco omogeneo pesante che rotola su guida liscia fissa orizzontale, esiste una reazione vincolare nel punto di contatto: la potenza $Pi'$ della reazione vincolare però è nulla, perché la velocità $vec(v)_O$ del punto di contatto per definizione di puro rotolamento è nulla...
A questo punto mi chiedo: ma quindi che differenza c'è fra i due esempi? Nel primo caso O è un polo mobile e quindi la sua velocità non è nulla (ma non è puro rotolamento??), nel secondo caso O è un punto che appartiene al disco o alla guida fissa? E non dovrebbe avere comunque la stessa velocità in entrambi i casi?
Insomma, $vec(v)_O$ è nulla o no?
Premetto che ho studiato in fretta perché ho l'esame fra poco e quindi perdonate la eventuale demenza della domanda, ma ho bisogno di capire bene!!
Grazie mille a chi risponderà
Risposte
Nessuna domanda è stupida per definizione o principio, neanche la tua.
La potenza, che cosa è, se non un lavoro nell'unità di tempo? E il lavoro, come si calcola? È il prodotto scalare di $vecF$ per $vec(ds)$ (lavoro elementare, se consideri spostamento elementare). Ora, come sono diretti la reazione vincolare e la velocità del punto di contatto, nel tuo caso? Sono perpendicolari tra loro. Il prodotto scalare è zero.
La potenza, che cosa è, se non un lavoro nell'unità di tempo? E il lavoro, come si calcola? È il prodotto scalare di $vecF$ per $vec(ds)$ (lavoro elementare, se consideri spostamento elementare). Ora, come sono diretti la reazione vincolare e la velocità del punto di contatto, nel tuo caso? Sono perpendicolari tra loro. Il prodotto scalare è zero.
"navigatore":
Nessuna domanda è stupida per definizione o principio, neanche la tua.
La potenza, che cosa è, se non un lavoro nell'unità di tempo? E il lavoro, come si calcola? È il prodotto scalare di $vecF$ per $vec(ds)$ (lavoro elementare, se consideri spostamento elementare). Ora, come sono diretti la reazione vincolare e la velocità del punto di contatto, nel tuo caso? Sono perpendicolari tra loro. Il prodotto scalare è zero.
Ti ringrazio per la risposta, sono d'accordo con te sul prodotto scalare ma non sulla direzione di v!! Il prodotto secondo la prof si annulla perché v è zero, non perché è ortogonale alla reazione! Il mio dubbio riguarda proprio la velocità del punto di contatto: come mai la professoressa ha detto in un caso che non è nulla e in un altro sì??
"Gendarmevariante":
come mai la professoressa ha detto in un caso che non è nulla e in un altro sì??
Perché il "punto di contatto" va inteso in due modi diversi.
Nel caso del polo mobile, il punto $O$ va inteso come un punto dello spazio che, ad ogni istante, tu scegli essere coincidente con il punto di contatto tra disco e suolo. E naturalmente in questo senso il polo si muove.
Nel caso del calcolo della potenza, si deve considerare il prodotto tra la forza applicata e lo spostamento del punto a cui viene applicata la forza.
Ora, la reazione vincolare, è applicata ad un punto del disco, e precisamente al punto del disco che tocca il suolo, che, come sai, ha velocità nulla, e quindi il lavoro delle forze reattive è zero.
Il punto di contatto $C$ è centro di istantanea rotazione del disco rispetto al suolo. Non c'è dubbio che esso trasli rispetto al suolo con la stessa velocità del centro disco, quindi il suo vettore velocità rispetto al suolo è perpendicolare alla reazione, su questo non ci piove.
Chiarisco quello che ho detto prima, e nel farlo interpreto così l'affermazione della tua prof. Trattandosi di "centro di istantanea rotazione", puoi dire che il punto $C$ di contatto è "fermo" in un riferimento "istantaneo" che abbia origine in $C$, e due assi, uno verticale e uno orizzontale (parallelo al suolo). Tant'è vero che se in quell'istante tracci le velocità di tutti i punti del diametro verticale, hai che la velocità di $C$ (rispetto a quel riferimento) è zero, ma la velocità del punto $P$ diametralmente opposto (alla sommità del disco) è doppia della velocità $v_O$ del centro disco : $ v_P = 2*\omega*R$ .
Dà un'occhiata al disegnino del post del 16.3.2012 alle 20:08, qui allegato.
il-moto-circolare-uniforme-t92854-20.html#p620015
Chiarisco quello che ho detto prima, e nel farlo interpreto così l'affermazione della tua prof. Trattandosi di "centro di istantanea rotazione", puoi dire che il punto $C$ di contatto è "fermo" in un riferimento "istantaneo" che abbia origine in $C$, e due assi, uno verticale e uno orizzontale (parallelo al suolo). Tant'è vero che se in quell'istante tracci le velocità di tutti i punti del diametro verticale, hai che la velocità di $C$ (rispetto a quel riferimento) è zero, ma la velocità del punto $P$ diametralmente opposto (alla sommità del disco) è doppia della velocità $v_O$ del centro disco : $ v_P = 2*\omega*R$ .
Dà un'occhiata al disegnino del post del 16.3.2012 alle 20:08, qui allegato.
il-moto-circolare-uniforme-t92854-20.html#p620015
Perfetto, ringrazio entrambi per le risposte, credo di avere capito 
In effetti io l'avevo immaginata più come l'ha scritto mathbells, ma di certo state dicendo la stessa cosa in modo diverso!!
Grazie a navigatore per il disegno!!
Riassumendo quindi, il punto C trasla assieme al baricentro quando è pensato come posizione di contatto, mentre se è pensato come punto del disco si ferma ogni volta che raggiunge la guida... Confermate un'ultima volta, per favore
In effetti io l'avevo immaginata più come l'ha scritto mathbells, ma di certo state dicendo la stessa cosa in modo diverso!!
Grazie a navigatore per il disegno!!
Riassumendo quindi, il punto C trasla assieme al baricentro quando è pensato come posizione di contatto, mentre se è pensato come punto del disco si ferma ogni volta che raggiunge la guida... Confermate un'ultima volta, per favore
"Gendarmevariante":
Riassumendo quindi, il punto C trasla assieme al baricentro quando è pensato come posizione di contatto, mentre se è pensato come punto del disco si ferma ogni volta che raggiunge la guida...
Esattamente!
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