Punto vincolato su di una curva
ciao,
ho qualche problema nel capire come trattare i problemi di dinamica del punto vincolato ad una curva.
cioè presa una curva y=f(x) vorrei studiare il moto di un punto soggetto ad un sistema di forze e vincolato a stare su quella curva.
il moto può essere individuato da una funzione $P-O : I -> E , t -> (x1(t),x2(t),x3(t))$ dove I=intervallo temporale e E=spazio ..
oppure fissato un punto della curva O si può definire il moto in funzione dell'ascissa curvilinea, cioè $P=P(s)$ con $s=s(t)$ è l'ascissa curvilinea.
a questo punto come diretta conseguenza dell'equazione fondamentale ho il sistema:
${ ( mddot(s) = Ft + phi t ),( mdot(s)^2/rho = Fn + phi n ),( 0 = phi b ):}$
e da qui si risolve tutto.
il problema è che non so come arrivarci...
nel senso se ho l'equazione della traiettoria $y=f(x)$ come mi muovo?
avevo pensato a fare una parametrizzazione della curva $gamma(t)$ in funzione del tempo in modo da poter ricavare l'ascissa curvilinea integrando il versore tangente lungo la curva:
$s(t) = int_0^t ||gamma(t)|| dt$
ma poi comunque come calcolo le componenti tangenziali e normali delle forze?
un'altra strada che avevo pensato era questa:
data l'equazione cartesiana $y=f(x)$ allora $P- O = (x(t) , f(x(t)) )$
$d/(dt) (P-O) = ( dot(x)(t), f'(x(t)) )$ quindi il versore tangente sarebbe $vec t = (d/(dt) (P-O) ) / (|d/(dt) (P-O)|)$ cioè ponendo $vec V= d/(dt) (P-O)$
$vec t = vec(V)/V$
e $vec n = (d/(dt) vec(t) )/(|d/(dt) vec(t)|)$
a questo punto per trovare le componenti non mi resta che fare il prodotto scalare tra forze e versori...
però voglio dire mi sembra troppo laborioso...o sto sbagliando oppure c'è una via molto piu semplice ...che mi dite?
grazie in anticipo
ho qualche problema nel capire come trattare i problemi di dinamica del punto vincolato ad una curva.
cioè presa una curva y=f(x) vorrei studiare il moto di un punto soggetto ad un sistema di forze e vincolato a stare su quella curva.
il moto può essere individuato da una funzione $P-O : I -> E , t -> (x1(t),x2(t),x3(t))$ dove I=intervallo temporale e E=spazio ..
oppure fissato un punto della curva O si può definire il moto in funzione dell'ascissa curvilinea, cioè $P=P(s)$ con $s=s(t)$ è l'ascissa curvilinea.
a questo punto come diretta conseguenza dell'equazione fondamentale ho il sistema:
${ ( mddot(s) = Ft + phi t ),( mdot(s)^2/rho = Fn + phi n ),( 0 = phi b ):}$
e da qui si risolve tutto.
il problema è che non so come arrivarci...
nel senso se ho l'equazione della traiettoria $y=f(x)$ come mi muovo?
avevo pensato a fare una parametrizzazione della curva $gamma(t)$ in funzione del tempo in modo da poter ricavare l'ascissa curvilinea integrando il versore tangente lungo la curva:
$s(t) = int_0^t ||gamma(t)|| dt$
ma poi comunque come calcolo le componenti tangenziali e normali delle forze?
un'altra strada che avevo pensato era questa:
data l'equazione cartesiana $y=f(x)$ allora $P- O = (x(t) , f(x(t)) )$
$d/(dt) (P-O) = ( dot(x)(t), f'(x(t)) )$ quindi il versore tangente sarebbe $vec t = (d/(dt) (P-O) ) / (|d/(dt) (P-O)|)$ cioè ponendo $vec V= d/(dt) (P-O)$
$vec t = vec(V)/V$
e $vec n = (d/(dt) vec(t) )/(|d/(dt) vec(t)|)$
a questo punto per trovare le componenti non mi resta che fare il prodotto scalare tra forze e versori...
però voglio dire mi sembra troppo laborioso...o sto sbagliando oppure c'è una via molto piu semplice ...che mi dite?
grazie in anticipo
Risposte
Ti stai riferendo ad un caso assolutamente generale?
La componente tangenziale in un punto è
data come intensità dal prodotto scalare tra la forza ed il versore tangente alla curva; e direzione e verso
il versore tangente stesso (Vuol dire che per un'intensità negativa la proiezione ha verso opposto che quello che avevi
preso epr positivo sulla traettoria).
La componente normale è allora ovviamente il vettore forza meno la componente tangenziale.
data come intensità dal prodotto scalare tra la forza ed il versore tangente alla curva; e direzione e verso
il versore tangente stesso (Vuol dire che per un'intensità negativa la proiezione ha verso opposto che quello che avevi
preso epr positivo sulla traettoria).
La componente normale è allora ovviamente il vettore forza meno la componente tangenziale.
grazie dell'attenzione..
@ speculor: vorrei, ma se ciò dovesse complicare troppo un'eventuale trattazione mi fermo su di un esempio tipo una parabola...
@ orazioster: si, è chiaro .. ma il mio dubbio era sulla parte prima,
cioè devo passare attraverso una parametrizzazione?
oppure altrimenti data la curva $y=f(x)$ allora che la generica configurazione del punto coerente col vincolo è$P = (x, f(x) )$
e da qui?
le coordinate del versore tangente e normale come le ottengo?
facciamo un esempio pratico..
per esempio se ho un punto $P(x,y)$ vincolato su di una parabola di equazione $y=(x^2)/(2a)$ in un riferimento con il verso positiv dell'asse delle y diretto come la forza peso (quindi verso il basso)
sul punto agiscono la forza peso e una forza elastica dovuta ad una molla che collega P al punto $A=(4a,0)$ quindi se non sbaglio $vec F e = (-k(x-4a), -ky)$
in particolare poi $k=(mg)/a$
come trovo l'equazione del moto?
@ speculor: vorrei, ma se ciò dovesse complicare troppo un'eventuale trattazione mi fermo su di un esempio tipo una parabola...
@ orazioster: si, è chiaro .. ma il mio dubbio era sulla parte prima,
cioè devo passare attraverso una parametrizzazione?
oppure altrimenti data la curva $y=f(x)$ allora che la generica configurazione del punto coerente col vincolo è$P = (x, f(x) )$
e da qui?
le coordinate del versore tangente e normale come le ottengo?
facciamo un esempio pratico..
per esempio se ho un punto $P(x,y)$ vincolato su di una parabola di equazione $y=(x^2)/(2a)$ in un riferimento con il verso positiv dell'asse delle y diretto come la forza peso (quindi verso il basso)
sul punto agiscono la forza peso e una forza elastica dovuta ad una molla che collega P al punto $A=(4a,0)$ quindi se non sbaglio $vec F e = (-k(x-4a), -ky)$
in particolare poi $k=(mg)/a$
come trovo l'equazione del moto?
L'equazione del moto si ottiene considerando la componente tangenziale di tutte le forze esterne, la reazione vincolare incognita non compare perchè diretta come la normale. In presenza di attrito, che puoi considerare una forza esterna, le cose si complicano.
"speculor":
L'equazione del moto si ottiene considerando la componente tangenziale di tutte le forze esterne, la reazione vincolare incognita non compare perchè diretta come la normale. In presenza di attrito, che puoi considerare una forza esterna, le cose si complicano.
sisi, il mio problema era su come ricundurmi ad un'equazione del tipo $mddot(s) = Ft$ non su come calcolare le componenti delle forze, comunque ho risolto così:
$(P - O) : I -> R^2 , t -> (x(t),(x(t)^2)/(2a))$ è la posizione con $I sub R+ $ = intervallo di tempo
infatti $y=x^2/(2a)$
dunque $d/(dt)(P - O) = ( dot(x)(t) , (xdot(x)(t))/a)$
quindi il versore tangente è individuato da $vec(t) = (d/(dt)(P - O))/|d/(dt)(P - O)|$
cioè essendo $|d/(dt)(P - O)| = sqrt( dot(x)^2 + dot(y)^2) = dot(x)/a * sqrt(a^2 + x^2)$
ho
$vec(t) = ( a/sqrt(a^2 + x^2) , x/sqrt(a^2 + x^2))$
dunque la componente tangente delle forze attive è
$Ft = vec(F)*vec(t) = (4mga)/sqrt(a^2 + x^2) - (mgx^3)/(2a^2*sqrt(a^2 + x^2))$
ok ora per ricondurmi ad un sistema del tipo:
$mddot(s) = Ft$
$mdot(s)^2/rho = Fn + phi$
considero l'ascissa curvilinea
$s(t) = int_0^t |d/(dt)(P - O)| = int_0^t sqrt(dot(x) + dot(y)) = int_0^t dot(x)/a sqrt(a^2 + x^2)$
dunque $dot(s)(t) = dot(x)/a sqrt(a^2 + x^2)$
e $ddot(s) = ddot(x)/a sqrt(a^2 + x^2) + (x*dot(x)^2)/(a*sqrt(a^2 + x^2))$
a questo punto l'equazione del moto è
$ddot(x) sqrt(a^2 + x^2) + (x*dot(x)^2)/(sqrt(a^2 + x^2)) - (4ga^2)/sqrt(a^2 + x^2) + (gx^3)/(2a*sqrt(a^2 + x^2))$
e dunque la configurazione d'equilibrio è $ -4 a^2 g + (g (xe)^3)(2a)=0 $ -> $xe = 2a$
poi dovrei calcolare la reazione vincolare ma non ne ho voglia...
è giusto il ragionamento ?
grazie ad entrambi
Intanto ti faccio notare che $dot(y)(t) = ax(t)dot(x)(t)$.
errore di scrittura, era $y=x^2/(2a)
Ok, ma allora $dot(y)(t) = 1/ax(t)dot(x)(t)$ mentre tu hai scritto $dot(y)(t) = 1/ax(t)dot(x)(t)^2$.
"speculor":
Ok, ma allora $dot(y)(t) = 1/ax(t)dot(x)(t)$ mentre tu hai scritto $dot(y)(t) = 1/ax(t)dot(x)(t)^2$.
XD hai ragione, ma l'ho scritta cosi per distrazione solo li quando a messaggio completato dovevo correggere degli errori di visualizzazione di latex quindi l'errore non si è propagato, ma al di la di queste sviste il procedimento ti sembra adeguato?
Il procedimento è corretto. Come hai ragionato per affermare che quella è la posizione di equilibrio?
beh ho banalmente risolto $Ft(x,dot(x))=0$ in $(xe,0)
grazie mille intanto.
grazie mille intanto.
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