Punto materiale su piano liscio vincolato a due molle
Salve a tutti,
Sono nuovo del forum e chiedo perdono in anticipo se commetterò qualche errore nella presentazione del mio problema. Riporto ora il seguente esercizio:
"Si consideri il sistema composto da un punto materiale P di massa M=1 Kg appoggiato su una superficie piana orizzontale senza attrito di forma quadrata, con lato 2a = 2 m, e connesso attraverso due molle ideali, di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k = 10 N/m, ai punti A e B. Si consideri il sistema di riferimento cartesiano ortognale x-y riportato in figura per lo studio del moto."
a) - In un prima fase il punto materiale viene rilasciato da fermo in un punto dell'asse x con coordinate (a/2; 0). Si determini che tipo di moto compie il punto P e se ne ricavi il periodo e la legge oraria.
b) - Si ricavi il lavoro compiuto dalle forze elastiche per far muovere il punto materiale dalla posizone iniziale all'origine degli assi.
c) - Si consideri ora la situazione generale in cui il punto P può assumere una posizione qualunque sul piano. Si determini la forza a cui è soggetto il punto P quando si trova in una posizione generica (x;y) del piano e si discutano le caratteristiche principali di questa forza.
d) - Se il punto materiale viene rilasciato nel punto (a/2; 0) dell'asse x, quale velocità iniziale in modulo e direzione è necessario fornirgli perchè si muova di moto circolare uniforme?
Per i primi due punti non ho avuto problemi e credo di averli risolti correttamente; il punto materiale P infatti compie un moto armonico lungo l'asse x sotto l'azione della risultante delle componenti lungo x delle forze elastiche, risolvendo quindi l'equazione del moto armonico siamo in grado di determinarne legge oraria e periodo; per il secondo punto invece ho utilizzato la relazione L = U_i - U_f, determinando quindi il lavoro compiuto dalle forze elastiche. Per i successivi due punti, ma soprattuto per il punto c, non so proprio come procedere, vi chiedo quindi umilmente aiuto. Grazie!
Sono nuovo del forum e chiedo perdono in anticipo se commetterò qualche errore nella presentazione del mio problema. Riporto ora il seguente esercizio:
"Si consideri il sistema composto da un punto materiale P di massa M=1 Kg appoggiato su una superficie piana orizzontale senza attrito di forma quadrata, con lato 2a = 2 m, e connesso attraverso due molle ideali, di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k = 10 N/m, ai punti A e B. Si consideri il sistema di riferimento cartesiano ortognale x-y riportato in figura per lo studio del moto."
a) - In un prima fase il punto materiale viene rilasciato da fermo in un punto dell'asse x con coordinate (a/2; 0). Si determini che tipo di moto compie il punto P e se ne ricavi il periodo e la legge oraria.
b) - Si ricavi il lavoro compiuto dalle forze elastiche per far muovere il punto materiale dalla posizone iniziale all'origine degli assi.
c) - Si consideri ora la situazione generale in cui il punto P può assumere una posizione qualunque sul piano. Si determini la forza a cui è soggetto il punto P quando si trova in una posizione generica (x;y) del piano e si discutano le caratteristiche principali di questa forza.
d) - Se il punto materiale viene rilasciato nel punto (a/2; 0) dell'asse x, quale velocità iniziale in modulo e direzione è necessario fornirgli perchè si muova di moto circolare uniforme?
Per i primi due punti non ho avuto problemi e credo di averli risolti correttamente; il punto materiale P infatti compie un moto armonico lungo l'asse x sotto l'azione della risultante delle componenti lungo x delle forze elastiche, risolvendo quindi l'equazione del moto armonico siamo in grado di determinarne legge oraria e periodo; per il secondo punto invece ho utilizzato la relazione L = U_i - U_f, determinando quindi il lavoro compiuto dalle forze elastiche. Per i successivi due punti, ma soprattuto per il punto c, non so proprio come procedere, vi chiedo quindi umilmente aiuto. Grazie!
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum!
Per il caso c) puoi pensare che la massa in un punto generico ha subito due spostamenti rispetto all'origine, uno secondo x, e uno secondo y. Ciascuno dei due spostamenti dà luogo ad un moto armonico, lungo x e lungo y. Insieme, producono un moto che è la sovrapposizione dei due.
Per il caso c) puoi pensare che la massa in un punto generico ha subito due spostamenti rispetto all'origine, uno secondo x, e uno secondo y. Ciascuno dei due spostamenti dà luogo ad un moto armonico, lungo x e lungo y. Insieme, producono un moto che è la sovrapposizione dei due.
Ciao, grazie per la risposta e perdonate il ritardo!
Io avevo pensato di ragionare così; in una posizione generica del piano xy, il punto P è come se fosse soggetto ad una forza di richiamo elastica di costante 2k, ossia una forza centrale con centro in O, e che quindi quest'ultimo compirà di nuovo un moto armonico attorno alla posizione di equilibrio rappresentata dall'origine degli assi. Mi resta tuttavia il problema di determinare una espressione esplicita di tale forza. Vi chiedo quindi aiuto!
Grazie ancora tanto!
Io avevo pensato di ragionare così; in una posizione generica del piano xy, il punto P è come se fosse soggetto ad una forza di richiamo elastica di costante 2k, ossia una forza centrale con centro in O, e che quindi quest'ultimo compirà di nuovo un moto armonico attorno alla posizione di equilibrio rappresentata dall'origine degli assi. Mi resta tuttavia il problema di determinare una espressione esplicita di tale forza. Vi chiedo quindi aiuto!
Grazie ancora tanto!
Ciao.
Nel seguito faccio riferimento a questo disegno (che è solo indicativo):
ed indico con $vec(i)$ e $vec(j)$ i due versori rispettivamente degli assi $x$ ed $y$.
Le due forze sono rispettivamente:
la forza risultante è: $vec(F)=vec(F)_1+vec(F)_2=-2kx*vec(i)-2ky*vec(j)=-2k*vec(OP)" "$, evidentemente rivolta verso l'origine e del tutto equivalente a quella prodotta da un'unica molla, vincolata nell'origine, di costante elastica $2k$ e di lunghezza a riposo nulla. Credo che con questa interpretazione il seguito del problema diventi banale.
In ogni caso, se non ci si fida del modello equivalente sostitutivo si può sempre supporre che la massa $m$ abbia un moto circolare uniforme con
- posizione:$" "(x(t),y(t))=(a/2cos omegat, a/2sin omegat)$,
- velocità:$" "(dotx,doty)=(-a/2 omega sin omegat, a/2omega cos omegat)$
- ed accelerazione:$" "vec(a)=-a/2 omega^2 cos omegat* vec(i) -a/2 omega^2 sinomegat* vec(j)=-omega^2*(x*vec(i)+y*vec(j))" "$;
identificando quest'ultima con$" "vec(F)/m" "$ottieni$" "omega" "$ed infine ricavi la velocità richiesta.
Tra l'altro, se non sbaglio le possibilità per $omega$ sono due valori opposti, che corrispondono al fatto che la massa ruoti in senso antiorario ( $omega>0$ ) oppure orario ( $omega<0$ ), alternative entrambe accettabili in quanto il verso della rotazione non è specificato dal testo.
Salvo, ovviamente, miei errori.
Nel seguito faccio riferimento a questo disegno (che è solo indicativo):
ed indico con $vec(i)$ e $vec(j)$ i due versori rispettivamente degli assi $x$ ed $y$.
Le due forze sono rispettivamente:
$vec(F)_1=k*vec(PA)=k*[-xvec(i)+(a-y)vec(j)]" "$e$" "vec(F)_2=k*vec(PB)=k*[-xvec(i)-(a+y)vec(j)]" "$;
la forza risultante è: $vec(F)=vec(F)_1+vec(F)_2=-2kx*vec(i)-2ky*vec(j)=-2k*vec(OP)" "$, evidentemente rivolta verso l'origine e del tutto equivalente a quella prodotta da un'unica molla, vincolata nell'origine, di costante elastica $2k$ e di lunghezza a riposo nulla. Credo che con questa interpretazione il seguito del problema diventi banale.
In ogni caso, se non ci si fida del modello equivalente sostitutivo si può sempre supporre che la massa $m$ abbia un moto circolare uniforme con
- posizione:$" "(x(t),y(t))=(a/2cos omegat, a/2sin omegat)$,
- velocità:$" "(dotx,doty)=(-a/2 omega sin omegat, a/2omega cos omegat)$
- ed accelerazione:$" "vec(a)=-a/2 omega^2 cos omegat* vec(i) -a/2 omega^2 sinomegat* vec(j)=-omega^2*(x*vec(i)+y*vec(j))" "$;
identificando quest'ultima con$" "vec(F)/m" "$ottieni$" "omega" "$ed infine ricavi la velocità richiesta.
Tra l'altro, se non sbaglio le possibilità per $omega$ sono due valori opposti, che corrispondono al fatto che la massa ruoti in senso antiorario ( $omega>0$ ) oppure orario ( $omega<0$ ), alternative entrambe accettabili in quanto il verso della rotazione non è specificato dal testo.
Salvo, ovviamente, miei errori.
Ciao!
Ti ringrazio davvero tanto per l'aiuto! Un'ultima cosa: per la determinazione della velocità iniziale da dare al punto P affinchè questo si muova di moto circolare uniforme avevo ragionato così: la direzione di tale velocità è quella tangente alla circonferenza che andrà a percorrere il punto durante il moto, individuata dal versore:
\(\displaystyle \hat{\theta} = -\sin(\theta) \hat{i} + \cos(\theta) \hat{j} \)
ossia il versore \(\displaystyle \theta \) delle coordinate polari. Per trovare poi il modulo della velocità iniziale, procedevo tramite la seconda equazione di Newton; sapendo infatti che:
\(\displaystyle Ma = 0 = F_{e} + F_{c} \)
con \(\displaystyle F_{c} = M \omega^{2} R =M \omega^{2} {a \over 2} \) forza centrifuga, si ha:
\(\displaystyle -2kx = M \omega^{2} {a \over 2} \Rightarrow -2k{a \over 2} = M \omega^{2} {a \over 2} \)
dunque:
\(\displaystyle \omega^{2} = {2k \over M} \Rightarrow \omega = \pm \sqrt{{2k \over M}} \)
Poichè per il moto circolare uniforme si ha la seguente relazione tra velocità angolare e velocità tangenziale:
\(\displaystyle \omega = v R \)
Ottengo che il modulo della velocità iniziale che deve avere P affinchè compia un moto circolare uniforme è:
\(\displaystyle v = \pm {2 \over a} \sqrt{{2k \over M}} \)
Ditemi se sto sbagliando qualcosa e se non è corretto ciò che dico. Vi ringrazio infinitamente!
Ti ringrazio davvero tanto per l'aiuto! Un'ultima cosa: per la determinazione della velocità iniziale da dare al punto P affinchè questo si muova di moto circolare uniforme avevo ragionato così: la direzione di tale velocità è quella tangente alla circonferenza che andrà a percorrere il punto durante il moto, individuata dal versore:
\(\displaystyle \hat{\theta} = -\sin(\theta) \hat{i} + \cos(\theta) \hat{j} \)
ossia il versore \(\displaystyle \theta \) delle coordinate polari. Per trovare poi il modulo della velocità iniziale, procedevo tramite la seconda equazione di Newton; sapendo infatti che:
\(\displaystyle Ma = 0 = F_{e} + F_{c} \)
con \(\displaystyle F_{c} = M \omega^{2} R =M \omega^{2} {a \over 2} \) forza centrifuga, si ha:
\(\displaystyle -2kx = M \omega^{2} {a \over 2} \Rightarrow -2k{a \over 2} = M \omega^{2} {a \over 2} \)
dunque:
\(\displaystyle \omega^{2} = {2k \over M} \Rightarrow \omega = \pm \sqrt{{2k \over M}} \)
Poichè per il moto circolare uniforme si ha la seguente relazione tra velocità angolare e velocità tangenziale:
\(\displaystyle \omega = v R \)
Ottengo che il modulo della velocità iniziale che deve avere P affinchè compia un moto circolare uniforme è:
\(\displaystyle v = \pm {2 \over a} \sqrt{{2k \over M}} \)
Ditemi se sto sbagliando qualcosa e se non è corretto ciò che dico. Vi ringrazio infinitamente!
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