Punto materiale che rimbalza lanciato su un piano inclinato
Salve. Qualcuno puo gentilmente aiutarmi con questo problema:
Calcolare l’angolo α con cui un punto materiale deve essere lanciato verso un piano perfettamente liscio inclinato a 45◦ in modo che dopo il primo rimbalzo, perfettamente elastico, torni esattamente nel punto di lancio.
Ho cercato di risolverlo come un moto parabolico,
tra i vari calcoli sono arrivato a scrivere $ Phi=arctan (Hmax)/G $, dove $ Hmax $ è l'altezza massima e $ G $ è la gittata. Inoltre ho posto $ Phi = alpha +pi /4 $ .
Da qui arrivo alla conclusione $ alpha = 0 $ , il che mi sembra assurdo.
Qualcuno può gentilmente aiutarmi? Grazie mille in anticipo.
Ho anche tentato un altro approccio considerando il piano inclinato come grafico di un moto rettilineo uniforme. Mettendo a sistema le equazioni del moto parabolico e del moto rettilineo uniforme mi viene
$ 1/2gx^2/v^2=(tanPhi-tanbeta )cos^2alpha $
dove $ pi /4=beta $ . Ma non so se è il procedimento giusto e non so come continuare. Grazie.
Calcolare l’angolo α con cui un punto materiale deve essere lanciato verso un piano perfettamente liscio inclinato a 45◦ in modo che dopo il primo rimbalzo, perfettamente elastico, torni esattamente nel punto di lancio.
Ho cercato di risolverlo come un moto parabolico,
tra i vari calcoli sono arrivato a scrivere $ Phi=arctan (Hmax)/G $, dove $ Hmax $ è l'altezza massima e $ G $ è la gittata. Inoltre ho posto $ Phi = alpha +pi /4 $ .
Da qui arrivo alla conclusione $ alpha = 0 $ , il che mi sembra assurdo.
Qualcuno può gentilmente aiutarmi? Grazie mille in anticipo.
Ho anche tentato un altro approccio considerando il piano inclinato come grafico di un moto rettilineo uniforme. Mettendo a sistema le equazioni del moto parabolico e del moto rettilineo uniforme mi viene
$ 1/2gx^2/v^2=(tanPhi-tanbeta )cos^2alpha $
dove $ pi /4=beta $ . Ma non so se è il procedimento giusto e non so come continuare. Grazie.
Risposte
Io risolverei cosi.
Metterei un SDR con asse x lungo il piano e asse y verticale verso l'alto.
L'alzo del cannone lo conto a partire dall'asse x
Il corpo parte con velocita' iniziali note $v_(0x)$ $v_(0y)$
Trovi le leggi del moto y(t) e x(t)
Calcoli il tempo di impatto, la gittata e le componenti della velocita' di impatto.
Dopo l'impatto, le nuovi componenti della velocita' con cui riparte il corpo sono tali che:
La componente orizzontale si mantiene invariata (uguale a quella di impatto)
La componente verticale si inverte (opposta a quella di impatto)
Mantenendo lo stesso sistema di riferimento, le leggi del moto non cambiano, ovviamente, a meno delle costanti (la posizione e la velocita' da inserire all'istante 0 per calcolare le costanti sono ora quelle dopo l'impatto, a loro volta funzioni di $v_(0x)$ $v_(0y)$).
Imponendo su queste y=0 e x=0 (imposizione che assicura che il corpo ritorni al punto di partenza), si trova in che rapporto stanno $v_(0x)$ $v_(0y)$ per soddisfare il tutto.
Il rapporto $v_(0y)/v_(0x)$ e' proprio la tangente dell'angolo cercato (rispetto al piano)
Metterei un SDR con asse x lungo il piano e asse y verticale verso l'alto.
L'alzo del cannone lo conto a partire dall'asse x
Il corpo parte con velocita' iniziali note $v_(0x)$ $v_(0y)$
Trovi le leggi del moto y(t) e x(t)
Calcoli il tempo di impatto, la gittata e le componenti della velocita' di impatto.
Dopo l'impatto, le nuovi componenti della velocita' con cui riparte il corpo sono tali che:
La componente orizzontale si mantiene invariata (uguale a quella di impatto)
La componente verticale si inverte (opposta a quella di impatto)
Mantenendo lo stesso sistema di riferimento, le leggi del moto non cambiano, ovviamente, a meno delle costanti (la posizione e la velocita' da inserire all'istante 0 per calcolare le costanti sono ora quelle dopo l'impatto, a loro volta funzioni di $v_(0x)$ $v_(0y)$).
Imponendo su queste y=0 e x=0 (imposizione che assicura che il corpo ritorni al punto di partenza), si trova in che rapporto stanno $v_(0x)$ $v_(0y)$ per soddisfare il tutto.
Il rapporto $v_(0y)/v_(0x)$ e' proprio la tangente dell'angolo cercato (rispetto al piano)
Ho qualche perplessità...quando la pallina urta contro il piano, è dotata di una velocità ortogonale al piano e di una parallela, se il piano è completamente liscio, l'impulso che darà alla palla sarà solo ortogonale e quindi la pallina dopo l'urto continuerà a salire...in pratica non può ritornare al punto iniziale dopo il primo rimbalzo...a meno che non urti ortogonalmente il piano, quindi il problema si riconduce alla ricerca della parabola che interseca la retta y=x ortogonalmente.
Non ho risolto, ma se ci fosse una condizione di impossibilita' come descrivi tu, dovrebbe venire al pettine dai calcoli.
Si, la pallina rimbalza simmetricamente rispetto alla normale al piano e di questo viene tenuto conto nell'impostare le nuove condizioni iniziali dopo l'impatto ($v_(x+)=v_(x-)$ e $v_(y+)=-v_(y-)$ con + e - che indicano le velocita' immediatamente dopo e prima dell'impatto.
Si, la pallina rimbalza simmetricamente rispetto alla normale al piano e di questo viene tenuto conto nell'impostare le nuove condizioni iniziali dopo l'impatto ($v_(x+)=v_(x-)$ e $v_(y+)=-v_(y-)$ con + e - che indicano le velocita' immediatamente dopo e prima dell'impatto.
E infatti viene proprio che la componente della velocita' di impatto parallela al piano e' nulla.
L'angolo di alzo deve essere $arctan(1/2)$
L'angolo di alzo deve essere $arctan(1/2)$
Si, anche per via geometrica, imponendo che la generica parabola $y=ax(x-x_0)$ intersechi $y=x$ ortogonalmente si arriva a $a=-3/x_0$, quindi la parabola è del tipo $y=3x-3/x_0x^2$, imponendo l'uguaglianza con l'equazione della parabola del moto parabolico si ha $tantheta=3$, essendo $theta=alpha+pi/4$, usando le formule della tangente di una somma di angoli si arriva a $tanalpha=1/2$
Scusate se disturbo ancora su questo problema, il mio ragionamento è questo, però ad un certo punto mi blocco:
seconda parte:
Grazie in anticipo!
Grazie in anticipo!
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