Punto di equilibrio stabile

[giantmath]

devo dimostrare che il seguente potenziale efficace $ V_{eff}(theta)=mgbcostheta+l^2/(2ma^2sin^2theta) $ abbia un punto di equilibrio stabile per $ theta∈]pi/2,pi[ $ .

dunque pongo $ x=costheta $ e studio la funzione $ f(x)=mgbx+l^2/(2ma^2(1-x^2) $ $ =alphax+beta/(2(1-x^2) $ la cui derivata prima è $ f'(x)=alpha+(xbeta)/(1-x^2)^2 $ .

quindi dovrei porla uguale a 0 per cercare i punti di equilibrio e verificare se siano stabili, giusto? però non trovo nessun punto che combaci con quello riportato nella domanda. potreste aiutarmi a capire come fare?

ps. buona pasqua!

[giantmath]

up

[LoreT314]

Fa vedere cosa trovi

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$V'(\theta)=-mgbsin\theta-l^2/(ma^2)cos\theta/sin^3\theta$

si dovrebbe risolvere l'equazione sottostante:

$(m^2ga^2b)/l^2sin^4\theta+cos\theta=0$

di difficile risoluzione. A questo punto, meglio procedere teoricamente:

Punto 1

$V'(\pi/2) lt 0$

Punto 2

$lim_(\theta->\pi^-)V(\theta)=+oo rarr$

$rarr EE \theta_0 in ]\pi/2,\pi[ : V'(\theta_0) gt 0$

Punto 3

$V'(\theta)$ continua per $\theta in [\pi/2,\theta_0]$

applicando il teorema degli zeri:

$EE \theta_1 in ]\pi/2,\theta_0[ : V'(\theta_1)=0$

Ovviamente, il punto 2 andrebbe dimostrato rigorosamente. Tuttavia, trattandosi di una questione puramente matematica, si spera che non sia necessario.

[giantmath]

come mai scrivi $ V'(pi/2)<0 $ non risulta essere invece $ V'(pi/2)=alpha*sin^4(pi/2)+cos(pi/2)=alpha+0>0 $ ? con $ alpha>0 $

[anonymous_0b37e9]

Veramente:

$[V'(\theta)=-mgbsin\theta-l^2/(ma^2)cos\theta/sin^3\theta] rarr [V'(\pi/2)=-mgb] rarr [V'(\pi/2) lt 0]$

visto che, presumibilmente, $b gt 0$.

[giantmath]

giusto grazie ancora