Punto che si muove sulla circonferenza
Ho un problema di cinematica relativa che ho provato a risolvere in diversi modi ma con esiti tutti negativi.
La circonferenza ruota con velocità angolare \(\displaystyle \overrightarrow{\omega} = \overrightarrow{\omega} \hat{i} \wedge\hat{j} \). Il punto fisso è O. Il raggio è $R$. Scegliamo come parametro (non sono sicuro si chiami lagrangiano) l'angolo $\theta$ indicato. Devo trovare la velocità di P.
Ho provato a risolvere ragionando in termini vettoriali. \(\displaystyle\overrightarrow{\omega} =\dot\phi \hat{k} \), quindi posso esprimere l'angolo formato da $OA$ in termini di $\phi$.Esprimo le coordinate di P rispetto alla terna scelta:
\(\displaystyle x_P=Rcos\phi + Rcos(\theta+\phi) \)
\(\displaystyle y_P=Rsen\phi + Rsen(\theta+\phi) \)
\(\displaystyle \dot x_P=-Rsen\phi\dot\phi -Rsen(\theta+\phi)(\dot\theta+\dot\phi) \)
\(\displaystyle \dot y_P=Rcos\phi\dot\phi +Rcos(\theta+\phi)(\dot\theta+\dot\phi) \)
\(\displaystyle |v_P|=\sqrt{\dot x_P^2+\dot y_P^2}=R\sqrt{\dot\theta^2+2\omega(\omega+\dot\theta)}\)
La mia soluzione però mi indica \(\displaystyle |v_P|=\sqrt{\dot x_P^2+\dot y_P^2}=R\sqrt{\dot\theta^2+2\omega(1+cos\theta)(\omega+\dot\theta)}\)
Da dove spunta quel $1+cos\theta$? Mi sono perso qualcosa? Ho sbagliato a quadrare? Ho provato a controllare i miei calcoli ma mi sembrano corretti.
Volevo anche risolvere il problema usando il teorema di compisizione delle velocità ma non riesco a procedere, potete darmi un suggerimento? Grazie.
La circonferenza ruota con velocità angolare \(\displaystyle \overrightarrow{\omega} = \overrightarrow{\omega} \hat{i} \wedge\hat{j} \). Il punto fisso è O. Il raggio è $R$. Scegliamo come parametro (non sono sicuro si chiami lagrangiano) l'angolo $\theta$ indicato. Devo trovare la velocità di P.
Ho provato a risolvere ragionando in termini vettoriali. \(\displaystyle\overrightarrow{\omega} =\dot\phi \hat{k} \), quindi posso esprimere l'angolo formato da $OA$ in termini di $\phi$.Esprimo le coordinate di P rispetto alla terna scelta:
\(\displaystyle x_P=Rcos\phi + Rcos(\theta+\phi) \)
\(\displaystyle y_P=Rsen\phi + Rsen(\theta+\phi) \)
\(\displaystyle \dot x_P=-Rsen\phi\dot\phi -Rsen(\theta+\phi)(\dot\theta+\dot\phi) \)
\(\displaystyle \dot y_P=Rcos\phi\dot\phi +Rcos(\theta+\phi)(\dot\theta+\dot\phi) \)
\(\displaystyle |v_P|=\sqrt{\dot x_P^2+\dot y_P^2}=R\sqrt{\dot\theta^2+2\omega(\omega+\dot\theta)}\)
La mia soluzione però mi indica \(\displaystyle |v_P|=\sqrt{\dot x_P^2+\dot y_P^2}=R\sqrt{\dot\theta^2+2\omega(1+cos\theta)(\omega+\dot\theta)}\)
Da dove spunta quel $1+cos\theta$? Mi sono perso qualcosa? Ho sbagliato a quadrare? Ho provato a controllare i miei calcoli ma mi sembrano corretti.
Volevo anche risolvere il problema usando il teorema di compisizione delle velocità ma non riesco a procedere, potete darmi un suggerimento? Grazie.
Risposte
"Mito125":
Mi sono perso qualcosa? Ho sbagliato a quadrare?
Credo di sì. A me quel termine $(1+cosvartheta)$ risulta. Ma ovviamente dirti dove ti sei perso qualcosa è impossibile senza vedere tutti i conti che hai fatto, probabilmente commetti qualche errore sistematico di cui quindi non ti accorgi neanche ricontrollando.
Non te li riporto tutti, ma in ogni caso ad un certo punto si arriva a:
$v^2=R^2[2omega^2+dotvartheta^2+2omega dotvartheta+(2omega^2+2omegadotvartheta)[sin phi*sin(phi+vartheta)+cos phi*cos(phi+vartheta)]]=$
$" "=R^2(2omega^2+dotvartheta^2+2omegadotvartheta+2omega^2cos vartheta+2omegadotvarthetacos vartheta)" "$,
da cui il risultato.
Possibile che io non sappia più quadrare? Non riesco nemmeno a capire dove commetto l'errore.
\(\displaystyle v_P^2=R^2sen^2\phi\omega^2+R^2sen^2(\theta+\phi)(\dot\theta+\omega)^2+R^2cos^2\theta\omega^2+R^2cos^2(\theta+\phi)(\dot\theta+\omega)^2 =R^2[\omega^2+(\dot\theta+\omega)^2]=R^2(\omega^2+\dot\theta^2+\omega^2+2\dot\theta\omega)=R^2(2\omega^2+\dot\theta^2+2\dot\theta\omega)\)
Spero di averlo scritto correttamente, ma io ho sviluppato sempre così i quadrati ed ho usato il fatto che il quadrato del seno e coseno si sommano in 1... Ancora rimane aperta la parte sulla velocità di trascinamento. Grazie
\(\displaystyle v_P^2=R^2sen^2\phi\omega^2+R^2sen^2(\theta+\phi)(\dot\theta+\omega)^2+R^2cos^2\theta\omega^2+R^2cos^2(\theta+\phi)(\dot\theta+\omega)^2 =R^2[\omega^2+(\dot\theta+\omega)^2]=R^2(\omega^2+\dot\theta^2+\omega^2+2\dot\theta\omega)=R^2(2\omega^2+\dot\theta^2+2\dot\theta\omega)\)
Spero di averlo scritto correttamente, ma io ho sviluppato sempre così i quadrati ed ho usato il fatto che il quadrato del seno e coseno si sommano in 1... Ancora rimane aperta la parte sulla velocità di trascinamento. Grazie
"Mito125":Direi di sì, visto che dimentichi i doppi prodotti
Possibile che io non sappia più quadrare?
Lasciando perdere l'$R^2$ , hai:
$" "[-dotphisinphi-(dotphi+dotvartheta)sin(phi+vartheta)]^2+[dotphicosphi+(dotphi+dotvartheta)cos(phi+vartheta)]^2=$
$" "=dotphi^2sin^2phi+(dotphi+dotvartheta)^2sin^2(phi+vartheta)+2*dotphisinphi*(dotphi+dotvartheta)sin(phi+vartheta)+$
$" "+dotphi^2cos^2phi+(dotphi+dotvartheta)^2cos^2(phi+vartheta)+2*dotphicosphi*(dotphi+dotvartheta)cos(phi+vartheta)" "$;
tutte le coppie del tipo: $sin^2(…)+cos^2(…)$ si sommano eliminando la dipendenza dagli angoli, mentre i termini dei doppi prodotti conservano quel $cos vartheta$ come ti ho scritto nel post precedente.
Hai perfettamente ragione, ecco l'errore classico che faccio... Prendo le cose e le tratto brutalmente... Quadrare una somma senza mettere le parentesi è un errore classico, che ripeto da sempre e che sempre mi dimentico... Spero di impararlo prima o poi... Il quadrato di una somma non è il solo quadrato dei termini ma dimentico sempre il doppio prodotto... Errore comune per me che sbatto sempre in questi errori stupidi...
Invece per la composizione delle velocità??? Puoi aiutarmi??? Grazie
Invece per la composizione delle velocità??? Puoi aiutarmi??? Grazie
"Mito125":
Invece per la composizione delle velocità?
Non so se sia una via proficua, in ogni caso lascio volentieri la palla a chi ne sapesse più di me.
Per quanto riguarda la composizione delle velocità , visto che sappiamo :
"velocità assoluta = velocità relativa + velocità di trascinamento"
nel caso in esame abbiamo che $C$ si muove moto rotatorio con velocità angolare costante $omega = dot\phi$ rispetto ad $O$ , e questo è il moto di trascinamento, per cui : $v_t = v_(CO)= dot\phiR$ ( non metto il segno di vettore , ma dovrebbe essere chiaro), cioè la velocità di trascinamento è la velocita $v_(CO)$ di $C$ rispetto ad $O$ .
D'altronde , il punto $P$ ha velocità relativa $v_r = v_(PC) = dot\thetaR $ rispetto a $C$, e per ipotesi anche $dottheta = "cost" $ . Quindi , la velocità assoluta di $P$ rispetto ad $O$ è il risultante vettoriale :
$vecv_(PO) = vecv_(PC) + vecv_(CO) $
in ogni istante , data la posizione di $P$ sulla sulla traiettoria relativa (= circonferenza di centro $C$ e raggio $R$) , la velocità assoluta rispetto ad $O$ è un vettore, perpendicolare in $P$ alla congiungente $OP$; graficamente si fa subito a trovare il vettore risultante; ma la costruzione grafica non aiuta molto dal punto di vista analitico, cioè per il calcolo del modulo della velocità assoluta. Si potrebbe forse fare qualcosa con i numeri complessi, ma non so se valga la pena, visto quanto è già stato scritto.
Nel caso in esame, i raggi delle due circonferenze sono uguali. Si potrebbe pensare al caso in cui i raggi siano diversi, con $PC <$$< CO $ . Allora , abbiamo $P$ che percorre la circonferenza di raggio PC piccolo , mentre il centro C di questa percorre la circonferenza di raggio CO grande . La traiettoria assoluta di P è una "epicicloide" (spero di non sbagliare il nome!). Questa curva , se non sbaglio, è quella che si pensava fosse la traiettoria dei pianeti rispetto alla terra , nel sistema astronomico tolemaico ( la terra al centro...) , per giustificare i moti apparenti progressivi e retrogradi dei pianeti , derivante quindi dalla composizione dei due moti relativi prima detti , entrambi circolari .
Su internet c'è un sito molto bello, dove sono trattate sia analiticamente che graficamente, anche con animazioni, moltissime curve in 2D e anche 3D , questo :
https://www.mathcurve.com
in particolare, l'epicicloide ( e le altre curve della famiglia delle cicloidi) è trattata qui :
https://www.mathcurve.com/courbes2d/epi ... hoid.shtml
nell'animazione non si vede la circonferenza descritta da C , ma si capisce facilmente dove passa.
Non credo di poter aggiungere altro. Personalmente , ogni qualvolta guardo questo sito mi sento sconvolto dalla sua bellezza. La geometria è arte.
"velocità assoluta = velocità relativa + velocità di trascinamento"
nel caso in esame abbiamo che $C$ si muove moto rotatorio con velocità angolare costante $omega = dot\phi$ rispetto ad $O$ , e questo è il moto di trascinamento, per cui : $v_t = v_(CO)= dot\phiR$ ( non metto il segno di vettore , ma dovrebbe essere chiaro), cioè la velocità di trascinamento è la velocita $v_(CO)$ di $C$ rispetto ad $O$ .
D'altronde , il punto $P$ ha velocità relativa $v_r = v_(PC) = dot\thetaR $ rispetto a $C$, e per ipotesi anche $dottheta = "cost" $ . Quindi , la velocità assoluta di $P$ rispetto ad $O$ è il risultante vettoriale :
$vecv_(PO) = vecv_(PC) + vecv_(CO) $
in ogni istante , data la posizione di $P$ sulla sulla traiettoria relativa (= circonferenza di centro $C$ e raggio $R$) , la velocità assoluta rispetto ad $O$ è un vettore, perpendicolare in $P$ alla congiungente $OP$; graficamente si fa subito a trovare il vettore risultante; ma la costruzione grafica non aiuta molto dal punto di vista analitico, cioè per il calcolo del modulo della velocità assoluta. Si potrebbe forse fare qualcosa con i numeri complessi, ma non so se valga la pena, visto quanto è già stato scritto.
Nel caso in esame, i raggi delle due circonferenze sono uguali. Si potrebbe pensare al caso in cui i raggi siano diversi, con $PC <$$< CO $ . Allora , abbiamo $P$ che percorre la circonferenza di raggio PC piccolo , mentre il centro C di questa percorre la circonferenza di raggio CO grande . La traiettoria assoluta di P è una "epicicloide" (spero di non sbagliare il nome!). Questa curva , se non sbaglio, è quella che si pensava fosse la traiettoria dei pianeti rispetto alla terra , nel sistema astronomico tolemaico ( la terra al centro...) , per giustificare i moti apparenti progressivi e retrogradi dei pianeti , derivante quindi dalla composizione dei due moti relativi prima detti , entrambi circolari .
Su internet c'è un sito molto bello, dove sono trattate sia analiticamente che graficamente, anche con animazioni, moltissime curve in 2D e anche 3D , questo :
https://www.mathcurve.com
in particolare, l'epicicloide ( e le altre curve della famiglia delle cicloidi) è trattata qui :
https://www.mathcurve.com/courbes2d/epi ... hoid.shtml
nell'animazione non si vede la circonferenza descritta da C , ma si capisce facilmente dove passa.
Non credo di poter aggiungere altro. Personalmente , ogni qualvolta guardo questo sito mi sento sconvolto dalla sua bellezza. La geometria è arte.
@Shackle: grazie per i link, meravigliosi.
"Palliit":
@Shackle: grazie per i link, meravigliosi.
Di nulla , per me come sai è un vero piacere, certe volte. Un sito che pure è molto buono, e non si occupa solo di geometria , è quello di Mathword Wolfram , ma penso che le animazioni di quello francese siano più spettacolari. Comunque , tutto è utile, e bello, quando si guarda con amore. Sul sito Wolfram ho trovato questi due articoli relativi all'epicicloide e all'ipocicloide, che fanno proprio vedere la genesi delle due curve in oggetto :
http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html
http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html
l'aspetto della curva dipende chiaramente dal rapporto tra i raggi , come mostrano gli sviluppi analitici.
Ora mi piacerebbe anche avere un feed back dall'OP, ma sembra che non gli interessi.
"Shackle":
Ora mi piacerebbe anche avere un feed back dall'OP, ma sembra che non gli interessi.
Scusami per le non risposte, non è che non mi interessa, ma sto aspettando stasera per poter rispondere in modo corretto al quesito rimanente in modo appropriato. Non ho aggiunto proprio niente per evitare di crearmi più confusione di quanta io non ne abbia già. L'avevo scritto pure stamattina in un altro topic. Stasera spero di poter chiudere questa discussione con la soluzione esatta.
Posso finalmente continuare con questo problema. Ho guardato i link postati, sicuramente l'epicicloide avrà le sue qualità e riuscirà ad interessare un pubblico più matematico rispetto a quanto possa aiutare me che di matematico ho ben poco. Perdonami se non riesco a capirlo, ma grazie per avermi aiutato invece per quanto riguarda le velocità, quelle mi sono veramente utili per i miei scopi.
Adesso io ho provato a chiedere aiuto e sono arrivato a dire:
$(\vec{v}^a)_P=(\vec{v}^r)_P+(\vec{v}^\tau)_P=\dot\theta\hat{k}\wedge(P-C)+\omega\hat{k}\wedge(P-O)=\hat{k}\wedge[\dot\theta (P-C)+\omega(P-O)]$
$|v_P|=|\dot\theta (P-C)+\omega(P-O)|$
Ovviamente il modulo di $k$ è unitario essendo il versore. Purtroppo io ho capito solo la velocità relativa, pensata rispetto ad una terna $O'x'y'$ avente asse orizzontale sul diametro della circonferenza. Si riconosce subito il moto rotatorio. Ma la velocità di trascinamento è ancora poco chiara.
La velocità di trascinamento viene calcolata pensando al punto solidale con la terna mobile, quindi come se P non si muovesse. Ma allora la velocità di trascinamento è solo la velocità del punto C? Qualsiasi sia il punto questa non cambia a meno del $(P-O)$ quindi della distanza del punto dall'origine della terna fissa? Penso di fare un po' di confusione.
Inoltre la velocità relativa sarà calcolata lungo dei versori della terna mobile, andranno poi questi versori riportati sui versori della terna fissa per poter sommare le due velocità? Purtroppo non ho calcoli espliciti perchè ancora non sono sicuro come muovermi.
Adesso io ho provato a chiedere aiuto e sono arrivato a dire:
$(\vec{v}^a)_P=(\vec{v}^r)_P+(\vec{v}^\tau)_P=\dot\theta\hat{k}\wedge(P-C)+\omega\hat{k}\wedge(P-O)=\hat{k}\wedge[\dot\theta (P-C)+\omega(P-O)]$
$|v_P|=|\dot\theta (P-C)+\omega(P-O)|$
Ovviamente il modulo di $k$ è unitario essendo il versore. Purtroppo io ho capito solo la velocità relativa, pensata rispetto ad una terna $O'x'y'$ avente asse orizzontale sul diametro della circonferenza. Si riconosce subito il moto rotatorio. Ma la velocità di trascinamento è ancora poco chiara.
La velocità di trascinamento viene calcolata pensando al punto solidale con la terna mobile, quindi come se P non si muovesse. Ma allora la velocità di trascinamento è solo la velocità del punto C? Qualsiasi sia il punto questa non cambia a meno del $(P-O)$ quindi della distanza del punto dall'origine della terna fissa? Penso di fare un po' di confusione.
Inoltre la velocità relativa sarà calcolata lungo dei versori della terna mobile, andranno poi questi versori riportati sui versori della terna fissa per poter sommare le due velocità? Purtroppo non ho calcoli espliciti perchè ancora non sono sicuro come muovermi.
La velocità di $C$ rispetto ad $O$ è $ \vecomegatimes (C-O) $ , non devi mettere $(P-O)$ .
Io ancora non continuo a capire la velocità di trascinamento... Perchè $C$??? La velocità di trascinamento è solo la velocità con cui si sposta la terna mobile??? Posso fregarmene del punto??? Io ho proprio chiesto e come inizio del problema mi è stata data questa strada... Potrebbe essere sbagliata...
Si scusa, hai ragione tu, non devi fregartene del punto. La velocità di trascinamento è, in ogni istante, la velocità periferica del punto $P$ del riferimento mobile , nel moto rotatorio rispetto ad O con la sola velocità angolare $vecomega$ , che si trova sovrapposto con P nel moto relativo, in ogni istante. Lascia stare quello che ho detto finora, potrebbero esserci errori.
LA composizione della velocità di trascinamento con la velocità relativa consente, da un punto di vista grafico, di trovare in fretta la velocita assoluta, ma per trovare le componenti devi far ricorso alla trattazione analitica già fatta.
LA composizione della velocità di trascinamento con la velocità relativa consente, da un punto di vista grafico, di trovare in fretta la velocita assoluta, ma per trovare le componenti devi far ricorso alla trattazione analitica già fatta.
A me sfugge proprio la trattazione analitica, perchè ho diversi sistemi di riferimento e non so trattarli. Con le componenti cartesiane il risultato salta fuori, ma con la composizione delle velocità non riesco proprio ad uscirne...
LA soluzione analitica è quella che avete già trovato, tu e il moderatore : componenti cartesiane. Con i vettori , puoi al più disegnare un risultante, in ogni punto che vuoi. Ma non puoi fare altro.
Si quella con le componenti è una soluzione analitica, io vorrei trovare la soluzione analitica con la composizione delle velocità, cioè un secondo metodo per arrivare allo stesso risultato. Può sembrare pazzo, ma meglio avere due strade da percorrere piuttosto che avere una strada che poi potrebbe risultare difficile.
Ma se guardi bene, le risposte del moderatore e di Shackle gia' sono esaurienti.
Comunque ci provo anche io.
Per risolverlo con la composizione delle velocita' devi scegliere il sistema fisso (diciamo gli assi x e y) e il sistema non inerziale. Per esempio (ma e' una scelta arbitraria), scegliamo il sistema con l'origine coincidente con il centro della circonferenza, l'asse solidale al diametro della circonferenza (caratterizzato dal versore $vectau$) e l'asse a questo ortogonale (caratterizzato del versore $vecmu$.
Ora sei in grado di scrivere la velocita del punto nel sistema mobile.
E' ovviamente: $vecv_R=dotthetaRveckxxvec(CP)$
Ma nel sistema mobile $vec(CP)=Rcosthetavectau+Rsinthetavecmu$. Esegui il prodotto vettoriale e banalmente ti viene $vecv_R=-dotthetaRsinthetavectau+dotthetaRcosthetavecmu$.
La velocita di trascinamento e' $vecv_t=vecv_C+dotphiRxxvec(CP)$
Ma $v_C=-dotphiRsinphiveci+dotphiRcosphi vecj$
e il termine
$dotphiRxxvec(CP)=Rdotphicosthetavecmu-Rdotphisinthetavectau$.
Quindi $vecv_P=-dotthetaRsinthetavectau+dotthetaRcosthetavecmu-dotphiRsinphiveci+dotphiRcosphi vecj+Rdotphicosthetavecmu-Rdotphisinthetavectau$
Moltiplichi scalarmente per $veci$ e $vecj$, tenendo conto, per esempio, che $vecivectau=cosphi$ e ottieni le compnenti della velocita nel sistema fisso.
Comunque ci provo anche io.
Per risolverlo con la composizione delle velocita' devi scegliere il sistema fisso (diciamo gli assi x e y) e il sistema non inerziale. Per esempio (ma e' una scelta arbitraria), scegliamo il sistema con l'origine coincidente con il centro della circonferenza, l'asse solidale al diametro della circonferenza (caratterizzato dal versore $vectau$) e l'asse a questo ortogonale (caratterizzato del versore $vecmu$.
Ora sei in grado di scrivere la velocita del punto nel sistema mobile.
E' ovviamente: $vecv_R=dotthetaRveckxxvec(CP)$
Ma nel sistema mobile $vec(CP)=Rcosthetavectau+Rsinthetavecmu$. Esegui il prodotto vettoriale e banalmente ti viene $vecv_R=-dotthetaRsinthetavectau+dotthetaRcosthetavecmu$.
La velocita di trascinamento e' $vecv_t=vecv_C+dotphiRxxvec(CP)$
Ma $v_C=-dotphiRsinphiveci+dotphiRcosphi vecj$
e il termine
$dotphiRxxvec(CP)=Rdotphicosthetavecmu-Rdotphisinthetavectau$.
Quindi $vecv_P=-dotthetaRsinthetavectau+dotthetaRcosthetavecmu-dotphiRsinphiveci+dotphiRcosphi vecj+Rdotphicosthetavecmu-Rdotphisinthetavectau$
Moltiplichi scalarmente per $veci$ e $vecj$, tenendo conto, per esempio, che $vecivectau=cosphi$ e ottieni le compnenti della velocita nel sistema fisso.
Intanto ti ringrazio, era proprio questo che cercavo... Domani mattina proverò a risolverò e posterò i risultati ottenuti... L'unico problema che ho è nel capire il secondo addendo della velocità di trascinamento... Non capisco perchè abbia due addendi insomma... Cioè la velocità di trascinamento è quella che il punto avrebbe se fosse solidale col sistema mobile, cioè se $P$ fosse fisso rispetto ad $O'$, allora $O'$ si muove di moto rotatorio intorno ad $O$... Almeno così sembra a me... Il mio grosso problema sta proprio nel capire bene la velocità di trascinamento...
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