Pulsazione significato fisico
Salve io conosco il significato matematico e del perchè $ omega=root()((k) / (m)) $ ma al livello fisico cosa significa? Perchè c'è il rapporto tra la costante di elasticità e la massa? Cosa vorrebbe significare il rapporto tra l'intervallo espansione e compressione della molla dovuto ad una massa e quindi capisco che questo rapporto ci fa capire la velocità del oggetto che vado a studiare. Ma come lo si lega con l'equazione $ omega=(d theta)/(dt) $ cioè posso capire il legame tra $ k$ e $d theta $ ma tra $ m$ e $dt $ come si legano?
Risposte
Post un po' confuso, ma credo che anzitutto tu debba ripassare la differenza tra pulsazione (la prima che scrivi) e velocità angolare (la seconda che scrivi)
"Maurizio Zani":
Post un po' confuso, ma credo che anzitutto tu debba ripassare la differenza tra pulsazione (la prima che scrivi) e velocità angolare (la seconda che scrivi)
Il problema e proprio questo il mio libro di fisica i non è molto chiaro quando ne parla infatti la tratta così:
Ho provato a cercare su wikipedia ma mi ha confuso di più le idee
https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_angolare
Qualcuno potrebbe per favore consigliarmi dove studiare o cosa devo rileggere con attenzione?Soprattutto voglio capire bene in dettaglio la pulsazione
p.s
scusate per le immagini tutte capovolte ma ho provato a modificarle e raddrizzarle ma il sito me le ha di nuovo rigirate
p.s
scusate per le immagini tutte capovolte ma ho provato a modificarle e raddrizzarle ma il sito me le ha di nuovo rigirate
Sono concetti che trovi un po' dappertutto, comunque sono facilmente riassunti cosi:
La posizione di un corpo che si muove lungo una circonferenza puo essere individuata tramite 2 coordinate: il raggio R, e l'angolo $theta$ che il raggio vettore forma con l'asse x.
Il raggio vettore (raggio che unisce l'origine col corpo), spazza angoli $Deltatheta$ in tempi $Deltat$.
Il limite per $Deltat->0$ del rapporto incrementale $[Deltatheta]/{Deltat]$ si chiama velocita' angolare istantanea e si indica con $omega$.
Se il moto e' circolare uniforme (cioe' in tempi uguali vengono spazzati angoli uguali), e il corpo si ripresenta al punto di partenza ogni T secondi (T si chiama il periodo), la velocita' angolare e' $omega=[2pi]/T$ e prende il nome di pulsazione. La frequenza e' definita come l'inverso del periodo T ($f=1/T$) e dunque e' legata alla pulsazione da $omega=2pif$.
Il concetto di pulsazione e frequenza e' sottile si puo' mettere in termini di linguaggio corrente se prendiamo come esempio gli autobus turistici hop-on hop-off che vedi in tutte le grandi citta'. Prendiamo un turista che deve scappare all'aeroporto e quindi ha il tempo contato: si mette sotto la pensilina e conta ogni quanto l'autobus si presenta davanti. Diciamo che l'autobus ripassa davanti alla pensilina ogni 62,8 minuti. L'osservatore conclude che:
Il periodo e' $T=62.8 min$
La velocita angolare, o pulsazione e' $[2pi rad]/[62.8m]=0.1[rad]/min$
La frequenza e' 1 autobus ogni 62,8 minuti.
Lui conclude che avra' necessita' di 62.8 minuti per fare un giro turistico completo.
Ora supponi che ci siano 2 autobus totalmente identici che si muovono alla stessa velocita' angolare sul percorso, trovandosi sempre su punti diametralmente opposti lungo il tragitto. L'osservatore, non potendo distinguere i 2 autobus conclude che:
Il periodo e' ora $T=31.4min$
La velocita' angolare o pulsazione e' $[2pi rad]/[31.8m]=0.2[rad]/min$
La frequenza e 1 autobus ogni 31.4 minuti.
Si presenta alla pensilina, salta sull'autobus e con grande scorno si rende conto che dopo 31.4 minuti e' ancora a meta' percorso e che, se non scende, perdera' l'aereo.
Un osservatore che invece sa che sono 2 autobus, ragiona cosi:
Periodo 62.8 minuti (il tempo che impega ogni autobus a mostrare le bellezze turistiche per un percorso intero).
Frequenza': 2 autobus ogni 62.8 minuti quindi frequenza 1 autobus ogni 31.4 minuti.
Pulsazione: 0.1 radianti al minuto (velocita' di ogni autobus)
E' un esempio un po' strano e non precisissimo ma forse un po' aiuta a comprendere il fenomeno con termini terra-terra.
Torniamo al "rigore" della fisica.
Il nostro corpo si muove di moto circolare uniforme con velocita' angolare costante $omega$. Ci chiediamo cosa succede alla proiezione del punto lungo l'asse x. Qual e' la legge oraria del punto? Che velocita' lineare ha? Con che accelerazione, se varia, varia la velocita'?
La proiezione sulla x della posizione del punto, quando esso si trova a un generico angolo $theta$ sulla circonferenza e'
$x=Rcostheta=Rcosomegat$
Per semplice derivazione rispetto al tempo, si ottiene la velocita' del punto:
$dotx=-omegaRsinomegat$ e derivando ancora
$ddotx=-dotomegaRsinomegat-omega^2Rcosomegat=-omega^2Rcosomegat$, avendo tenuto conto che l'accelerazione angolare $dotomega$ e' nulla (definizione di moto circolare uniforme).
Ne consegue che il moto della proiezione del punto su x e' ovviamente funzione della pulsazione, ma soprattuto che vale sempre $omega^2x=-ddotx$ ovvero
$ddotx+omega^2x=0$ (1)
Nota questo fatto e mettilo da parte per ora.
Ora prendiamo una molla, di costante k a cui attacchiamo una massa m. La molla e' messa in oscillazione lungo l'asse longitudinale. Si puo' far questo o imprimendo un velocita' iniziale alla massa in condizioni di riposo, oppure allungando la molla e lasciandola andare. Importa poco ai nostri fini: queste sono la famose condizioni iniziali che non influenzano il moto del sistema dal nostro punto di vista. Quello che importa e' che l'equazione fondamentale della dinamica si scrive considerando tutte le forze applicate (nella fattispecie solo la forza della molla $-kx$) ed eguagliandole a $mddotx$.
Cioe: $-kx=mddotx$ ovvero
$ddotx+k/mx=0$.
Riprendiamo l'equazione 1 e notiamo che sono la stessa identica equazione, se imponiamo che $k/m=omega^2$
Possiamo quindi affermare per analogia che la legge oraria della massa e' $x(t)=Rcosomegat$, dove $omega=sqrt(k/m)$.
Piu' la molla e' rigida (aumenta k) piu' aumenta $omega$: la massa si muove con pulsazione sempre piu' elevata, e il periodo diventa piu' piccolo. La proiezione verticale della massa dall'asse x sulla circonferenza si muove di moto circolare uniforme sempre piu' veloce.
Ci sarebbero anche altre considerazione da fare (introdurre la fase, per esempio), ma mi sembra che questo basti per spiegare la differenza tra velocita' angolare, frequenza e pulsazione e capire come queste grandezze sono correlate con le caratteristiche fisiche del sistema massa-molla.
La posizione di un corpo che si muove lungo una circonferenza puo essere individuata tramite 2 coordinate: il raggio R, e l'angolo $theta$ che il raggio vettore forma con l'asse x.
Il raggio vettore (raggio che unisce l'origine col corpo), spazza angoli $Deltatheta$ in tempi $Deltat$.
Il limite per $Deltat->0$ del rapporto incrementale $[Deltatheta]/{Deltat]$ si chiama velocita' angolare istantanea e si indica con $omega$.
Se il moto e' circolare uniforme (cioe' in tempi uguali vengono spazzati angoli uguali), e il corpo si ripresenta al punto di partenza ogni T secondi (T si chiama il periodo), la velocita' angolare e' $omega=[2pi]/T$ e prende il nome di pulsazione. La frequenza e' definita come l'inverso del periodo T ($f=1/T$) e dunque e' legata alla pulsazione da $omega=2pif$.
Il concetto di pulsazione e frequenza e' sottile si puo' mettere in termini di linguaggio corrente se prendiamo come esempio gli autobus turistici hop-on hop-off che vedi in tutte le grandi citta'. Prendiamo un turista che deve scappare all'aeroporto e quindi ha il tempo contato: si mette sotto la pensilina e conta ogni quanto l'autobus si presenta davanti. Diciamo che l'autobus ripassa davanti alla pensilina ogni 62,8 minuti. L'osservatore conclude che:
Il periodo e' $T=62.8 min$
La velocita angolare, o pulsazione e' $[2pi rad]/[62.8m]=0.1[rad]/min$
La frequenza e' 1 autobus ogni 62,8 minuti.
Lui conclude che avra' necessita' di 62.8 minuti per fare un giro turistico completo.
Ora supponi che ci siano 2 autobus totalmente identici che si muovono alla stessa velocita' angolare sul percorso, trovandosi sempre su punti diametralmente opposti lungo il tragitto. L'osservatore, non potendo distinguere i 2 autobus conclude che:
Il periodo e' ora $T=31.4min$
La velocita' angolare o pulsazione e' $[2pi rad]/[31.8m]=0.2[rad]/min$
La frequenza e 1 autobus ogni 31.4 minuti.
Si presenta alla pensilina, salta sull'autobus e con grande scorno si rende conto che dopo 31.4 minuti e' ancora a meta' percorso e che, se non scende, perdera' l'aereo.
Un osservatore che invece sa che sono 2 autobus, ragiona cosi:
Periodo 62.8 minuti (il tempo che impega ogni autobus a mostrare le bellezze turistiche per un percorso intero).
Frequenza': 2 autobus ogni 62.8 minuti quindi frequenza 1 autobus ogni 31.4 minuti.
Pulsazione: 0.1 radianti al minuto (velocita' di ogni autobus)
E' un esempio un po' strano e non precisissimo ma forse un po' aiuta a comprendere il fenomeno con termini terra-terra.
Torniamo al "rigore" della fisica.
Il nostro corpo si muove di moto circolare uniforme con velocita' angolare costante $omega$. Ci chiediamo cosa succede alla proiezione del punto lungo l'asse x. Qual e' la legge oraria del punto? Che velocita' lineare ha? Con che accelerazione, se varia, varia la velocita'?
La proiezione sulla x della posizione del punto, quando esso si trova a un generico angolo $theta$ sulla circonferenza e'
$x=Rcostheta=Rcosomegat$
Per semplice derivazione rispetto al tempo, si ottiene la velocita' del punto:
$dotx=-omegaRsinomegat$ e derivando ancora
$ddotx=-dotomegaRsinomegat-omega^2Rcosomegat=-omega^2Rcosomegat$, avendo tenuto conto che l'accelerazione angolare $dotomega$ e' nulla (definizione di moto circolare uniforme).
Ne consegue che il moto della proiezione del punto su x e' ovviamente funzione della pulsazione, ma soprattuto che vale sempre $omega^2x=-ddotx$ ovvero
$ddotx+omega^2x=0$ (1)
Nota questo fatto e mettilo da parte per ora.
Ora prendiamo una molla, di costante k a cui attacchiamo una massa m. La molla e' messa in oscillazione lungo l'asse longitudinale. Si puo' far questo o imprimendo un velocita' iniziale alla massa in condizioni di riposo, oppure allungando la molla e lasciandola andare. Importa poco ai nostri fini: queste sono la famose condizioni iniziali che non influenzano il moto del sistema dal nostro punto di vista. Quello che importa e' che l'equazione fondamentale della dinamica si scrive considerando tutte le forze applicate (nella fattispecie solo la forza della molla $-kx$) ed eguagliandole a $mddotx$.
Cioe: $-kx=mddotx$ ovvero
$ddotx+k/mx=0$.
Riprendiamo l'equazione 1 e notiamo che sono la stessa identica equazione, se imponiamo che $k/m=omega^2$
Possiamo quindi affermare per analogia che la legge oraria della massa e' $x(t)=Rcosomegat$, dove $omega=sqrt(k/m)$.
Piu' la molla e' rigida (aumenta k) piu' aumenta $omega$: la massa si muove con pulsazione sempre piu' elevata, e il periodo diventa piu' piccolo. La proiezione verticale della massa dall'asse x sulla circonferenza si muove di moto circolare uniforme sempre piu' veloce.
Ci sarebbero anche altre considerazione da fare (introdurre la fase, per esempio), ma mi sembra che questo basti per spiegare la differenza tra velocita' angolare, frequenza e pulsazione e capire come queste grandezze sono correlate con le caratteristiche fisiche del sistema massa-molla.
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