Pulsazione moto armonico
Ciao a tutti!
Vi scrivo perché ho un dubbio per quanto riguarda la pulsazione nel moto armonico.
Per chiarire il mio dubbio vi presento questo esercizio: su un piano inclinato di un angolo $pi/6$ giace un disco. Al centro del disco è attaccata una molla con asse parallelo al piano inclinato. Il disco viene abbandonato da fermo con la molla in condizione di riposo (lunghezza a riposo nulla). Il disco rotola senza strisciare (rotolamento puro).
Viene chiesto di trovare il periodo delle oscillazioni che il disco compie.
Io ho posto un sistema di riferimento "in cima" al piano inclinato e con la sua stessa inclinazione, laddove la molla risulta a riposo, con asse $X$ diretto verso destra, asse $Y$ diretto verso l'alto, ed asse $Z$ uscente dal disegno.
Ho scritto la prima cardinale per l'asse $X$ e mi sono ricavato la seguente equazione di moto ($F_a$ = forza di attrito statico):
$(d^2x)/(dt^2) = - k/mx_f + (F_a) /m - gsin(pi/6) $
Dopodichè scrivendo la seconda cardinale con centro di riduzione nel punto di contatto ($C$) ottengo che:
$I_c (d^2phi)/(dt^2) = I_c((d^2x)/(dt^2))/R = - R(-kx_f) + Rmgsin(pi/6) $
Dato che $I_c= 3/2 MR^2$ ottengo che:
$(d^2x)/(dt^2)= - 2/3(-k/mx_f) + 2/3gsin(pi/6) $
Ho due dubbi:
1) Come mai in una equazione di moto (la prima) la pulsazione (ovvero la radice del coefficiente che moltiplica il termine posizione) è uguale a $sqrt(k/m)$ , mentre nell'ultima equazione la pulsazione è uguale a $sqrt(2/3k/m)$?
Come faccio a sapere quale è quella giusta? Da quale equazione solitamente posso ricavare la pulsazione negli esercizi?
2) Penso di aver commesso un errore di segno nell'ultima equazione, qualcuno saprebbe dirmi dove?
Grazie mille a chiunque sia in grado di aiutarmi!!!
Vi scrivo perché ho un dubbio per quanto riguarda la pulsazione nel moto armonico.
Per chiarire il mio dubbio vi presento questo esercizio: su un piano inclinato di un angolo $pi/6$ giace un disco. Al centro del disco è attaccata una molla con asse parallelo al piano inclinato. Il disco viene abbandonato da fermo con la molla in condizione di riposo (lunghezza a riposo nulla). Il disco rotola senza strisciare (rotolamento puro).
Viene chiesto di trovare il periodo delle oscillazioni che il disco compie.
Io ho posto un sistema di riferimento "in cima" al piano inclinato e con la sua stessa inclinazione, laddove la molla risulta a riposo, con asse $X$ diretto verso destra, asse $Y$ diretto verso l'alto, ed asse $Z$ uscente dal disegno.
Ho scritto la prima cardinale per l'asse $X$ e mi sono ricavato la seguente equazione di moto ($F_a$ = forza di attrito statico):
$(d^2x)/(dt^2) = - k/mx_f + (F_a) /m - gsin(pi/6) $
Dopodichè scrivendo la seconda cardinale con centro di riduzione nel punto di contatto ($C$) ottengo che:
$I_c (d^2phi)/(dt^2) = I_c((d^2x)/(dt^2))/R = - R(-kx_f) + Rmgsin(pi/6) $
Dato che $I_c= 3/2 MR^2$ ottengo che:
$(d^2x)/(dt^2)= - 2/3(-k/mx_f) + 2/3gsin(pi/6) $
Ho due dubbi:
1) Come mai in una equazione di moto (la prima) la pulsazione (ovvero la radice del coefficiente che moltiplica il termine posizione) è uguale a $sqrt(k/m)$ , mentre nell'ultima equazione la pulsazione è uguale a $sqrt(2/3k/m)$?
Come faccio a sapere quale è quella giusta? Da quale equazione solitamente posso ricavare la pulsazione negli esercizi?
2) Penso di aver commesso un errore di segno nell'ultima equazione, qualcuno saprebbe dirmi dove?
Grazie mille a chiunque sia in grado di aiutarmi!!!
Risposte
$ (d^2x)/(dt^2) = - k/mx_f + (F_a) /m - gsin(pi/6) $
La molla e la forza di gravita' tirano in direzioni opposte, perche' hanno lo stesso segno ?
Perche' c'e' l'attrito statico ?
1)
$ sqrt(2/3k/m) $
Va bene, perche' non e' un disco che rotola, non una massa semplice.
La molla e la forza di gravita' tirano in direzioni opposte, perche' hanno lo stesso segno ?
Perche' c'e' l'attrito statico ?
1)
$ sqrt(2/3k/m) $
Va bene, perche' non e' un disco che rotola, non una massa semplice.
"Quinzio":
$ (d^2x)/(dt^2) = - k/mx_f + (F_a) /m - gsin(pi/6) $
E' un disco che rotola. L'attrito statico c'è perché il piano inclinato è scabro e perché ho rotolamento puro.
Per quanto riguarda il segno, può darsi che io abbia sbagliato. Questo è ciò che penso:
la molla e la forza di gravità hanno segno opposto perché $x_f$ ha segno negativo dato che ho fissato SDR nel punto in cui la molla è a riposo.
Ad ogni modo, secondo, te come facevo a sapere quale delle due pulsazioni relative alle due diverse equazioni di moto era corretta? In generale, come faccio a sapere da quale equazione ricavare la pulsazione?
A parte la scelta poco felice degli assi, che ti porta a fare errori di segno, la prima non è l'equazione risolutiva dato che la forza d'attrito è incognita. Se risolvi, ti viene come la seconda, che è una scorciatoia, una via più immediata di risolvere
"professorkappa":
A parte la scelta poco felice degli assi, che ti porta a fare errori di segno, la prima non è l'equazione risolutiva dato che la forza d'attrito è incognita. Se risolvi, ti viene come la seconda, che è una scorciatoia, una via più immediata di risolvere
Quindi il coefficiente che moltiplica il termine posizionale è la pulsazione solo quando non ho incognite nell'equazione di moto?
Ok
"anonymous_f3d38a":
[quote="professorkappa"]A parte la scelta poco felice degli assi, che ti porta a fare errori di segno, la prima non è l'equazione risolutiva dato che la forza d'attrito è incognita. Se risolvi, ti viene come la seconda, che è una scorciatoia, una via più immediata di risolvere
Quindi il coefficiente che moltiplica il termine posizionale è la pulsazione solo quando non ho incognite nell'equazione di moto?[/quote]
Per essere esatti, solo se sei certo che l incgnita è costante e non dipende all'accelerazione. In questo caso la forza d attrito non è costante, vale $m/2ddotx$
"professorkappa":
Per essere esatti, solo se sei certo che l incgnita è costante e non dipende all'accelerazione. In questo caso la forza d attrito non è costante, vale $m/2ddotx$
Grande, davvero.
Mi hai fatto capire la situazione nel caso generale, e questo è gia molto.
Tuttavia in questo caso non riesco a capire come mai la forza di attrito (dinamico) non è costante, dato che
$F_a= mu_d Mgcos(pi/6)$
Non c'e' attrito dinamico ma solo statico. Il corpo rotola e l'attrito dipende dall'accelerazione perche deve "aggiustarsi" a causa dell'inerzia
"professorkappa":
Non c'e' attrito dinamico ma solo statico. Il corpo rotola e l'attrito dipende dall'accelerazione perche deve "aggiustarsi" a causa dell'inerzia
Oddio che pollo che sono, pardon per la gaffe. Ho solamente attrito statico dato che ho rotolamento puro.
Il fatto che l'attrito debba aggiustarsi a causa dell'inerzia non mi è chiaro, non pretendo tuttavia che tu sia tanto paziente da spiegarmelo. Sapresti reindirizzarmi verso un testo o una pagina in cui trovare una spiegazione teorica a ciò?
Non si tratta di pazienza, siamo qui per quello.
Non esiste, credo, un testo oin particolare che spieghi questo fenomeno specifico.
Esiste solo la teoria.
Il fatto e' che il centro di massa pulsa, come vedi subito se imponi l'equazione dinamica del momento rspetto al punto di contatto.
In un sdr cristiano, con l'asse x che scende parallelo al piano, e le rotazioni concordi con la discesa, l'equazione e' semplicemente
$mgsinalphaR-kxR=Iddottheta$ [1]
con I momento di inerzia rispetto al punto di contatto.
Per il rotolamento puro $x=Rtheta$
Quindi la [1] si scrive
$mgsinalphaR-kR^2theta=Iddottheta$
Facendo in questo modo si elimina la incognita Forza d'attrito, poiche' passa per il polo.
L'equazione differenzale risolta e' del tipo $theta=Acos(omegat+phi)+C$ (si risolve facilmente) e quindi si trova subito, dalla condizione [2] che anche x e sinusoidale
Ora, ti rendi conto derivando che pure $(d^2x)/(dt^2)$ e' anche essa sinusoidale.
Vale la legge di Newton in cui dobbiamo infilare, tra le forze agenti, anche la forza d'attrito:
$mgsinalpha-kx+F_a=mddotx$, e siccome e' tutto noto (sia $x$, che $ddotx$), ti trovi $F_a$ che come puoi verificare facilmente e', giocoforza, pulsante.
Non esiste, credo, un testo oin particolare che spieghi questo fenomeno specifico.
Esiste solo la teoria.
Il fatto e' che il centro di massa pulsa, come vedi subito se imponi l'equazione dinamica del momento rspetto al punto di contatto.
In un sdr cristiano, con l'asse x che scende parallelo al piano, e le rotazioni concordi con la discesa, l'equazione e' semplicemente
$mgsinalphaR-kxR=Iddottheta$ [1]
con I momento di inerzia rispetto al punto di contatto.
Per il rotolamento puro $x=Rtheta$
Quindi la [1] si scrive
$mgsinalphaR-kR^2theta=Iddottheta$
Facendo in questo modo si elimina la incognita Forza d'attrito, poiche' passa per il polo.
L'equazione differenzale risolta e' del tipo $theta=Acos(omegat+phi)+C$ (si risolve facilmente) e quindi si trova subito, dalla condizione [2] che anche x e sinusoidale
Ora, ti rendi conto derivando che pure $(d^2x)/(dt^2)$ e' anche essa sinusoidale.
Vale la legge di Newton in cui dobbiamo infilare, tra le forze agenti, anche la forza d'attrito:
$mgsinalpha-kx+F_a=mddotx$, e siccome e' tutto noto (sia $x$, che $ddotx$), ti trovi $F_a$ che come puoi verificare facilmente e', giocoforza, pulsante.
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