Proprietà Tensoriali
Dimostrare che il fatto che un tensore covariante di rango 2 sia simmetrico (o antisimmetrico) in un sistema di coordinate è una proprietà tensoriale.
Inoltre se \( {X}^{ab} \) è antisimmetrico e \( {Y}^{}_{\phantom{1}ab}\text{} \) è simmetrico dimostrare che \( {X}^{ab} \) \( {Y}^{}_{\phantom{1}ab}\text{} \) $= 0$
Inoltre se \( {X}^{ab} \) è antisimmetrico e \( {Y}^{}_{\phantom{1}ab}\text{} \) è simmetrico dimostrare che \( {X}^{ab} \) \( {Y}^{}_{\phantom{1}ab}\text{} \) $= 0$
Risposte
Be', provaci almeno! Non è difficile!
Le proprietà tensoriali sulla simmetria (o antisimmetria) sta nel dimostrare che se un tensore è simmetrico (o antisimmetrico) in un sistema di riferimento allora lo è anche per un cambio di coordinate:
\( {X'}^{ab}=\frac{\partial^{}x'^a}{\partial x^i}\frac{\partial^{}x'^b}{\partial x^j}{X}^{ij}=\frac{\partial^{}x'^b}{\partial x^i}\frac{\partial^{}x'^a}{\partial x^j}{X}^{ji}={X'}^{ba} \)
Mentre per la seconda parte i calcoli dovrebbero essere questi:
\( {X}^{(ab)} {Y}^{}_{\phantom{}[ab]}\text{}=\frac{1^{}}{4}({X}^{ab}+{X}^{ba})({Y}^{}_{\phantom{}ab}\text{}-{Y}^{}_{\phantom{}ba}\text{})=0 \)
Questo poiché l'indice a può essere sostituito con l'indice b, essendo indici muti.
Mi puoi dire almeno se i ragionamenti sono corretti.
\( {X'}^{ab}=\frac{\partial^{}x'^a}{\partial x^i}\frac{\partial^{}x'^b}{\partial x^j}{X}^{ij}=\frac{\partial^{}x'^b}{\partial x^i}\frac{\partial^{}x'^a}{\partial x^j}{X}^{ji}={X'}^{ba} \)
Mentre per la seconda parte i calcoli dovrebbero essere questi:
\( {X}^{(ab)} {Y}^{}_{\phantom{}[ab]}\text{}=\frac{1^{}}{4}({X}^{ab}+{X}^{ba})({Y}^{}_{\phantom{}ab}\text{}-{Y}^{}_{\phantom{}ba}\text{})=0 \)
Questo poiché l'indice a può essere sostituito con l'indice b, essendo indici muti.
Mi puoi dire almeno se i ragionamenti sono corretti.
Giusto!
Per quanto riguarda il primo quesito, anche senza scrivere passaggi algebrici, si può dire : un tensore covariante simmetrico del 2º ordine è rappresentabile con una matrice simmetrica.
Quindi, a puro titolo di esempio, nello spaziotempo a 4 dimensioni della RG il tensore metrico $g_(\mu\nu)$, che è simmetrico, è rapprsentabile con una matrice simmetrica 4x4 : le componenti diverse sono dunque 4 + 3 + 2 +1 = 10.
Ora, una matrice simmetrica non cambia la sua simmetria per effetto di una trasformazione lineare di coordinate, giusto? Si vede in Geometria, ma non chiedermi la dimostrazione perchè non me la ricordo.
Per il secondo, anche qui senza scrivere nulla, si potrebbe dire : il tensore covariante è simmetrico, quello controvariante è antisimmetrico. Quindi in quest'ultimo, rappresentato come matrice, i termini della diagonale principale sono tutti nulli e i termini disposti simmetricamente rispetto a tale diagonale hanno segno opposto. Quando vai a fare la moltiplicazione e quindi la contrazione tra i due tensori, che è una somma di prodotti , ci saranno tanti termini positivi e altrettanti termini negativi, di ugual valore assoluto : essi si elidono a due a due.
Vedi che pian piano stai capendo le cose? Il calcolo tensoriale in fondo non è difficile, si tratta solo di capire bene il gioco degli indici, sopra e sotto...è un gioco a cui bisogna fare attenzione, ma una volta imparato che un indice saturato lo puoi chiamare come vuoi, tanto su di esso è sottintesa una sommatoria, questo ti porta naturalmente alle conclusioni.
Per quanto riguarda il primo quesito, anche senza scrivere passaggi algebrici, si può dire : un tensore covariante simmetrico del 2º ordine è rappresentabile con una matrice simmetrica.
Quindi, a puro titolo di esempio, nello spaziotempo a 4 dimensioni della RG il tensore metrico $g_(\mu\nu)$, che è simmetrico, è rapprsentabile con una matrice simmetrica 4x4 : le componenti diverse sono dunque 4 + 3 + 2 +1 = 10.
Ora, una matrice simmetrica non cambia la sua simmetria per effetto di una trasformazione lineare di coordinate, giusto? Si vede in Geometria, ma non chiedermi la dimostrazione perchè non me la ricordo.
Per il secondo, anche qui senza scrivere nulla, si potrebbe dire : il tensore covariante è simmetrico, quello controvariante è antisimmetrico. Quindi in quest'ultimo, rappresentato come matrice, i termini della diagonale principale sono tutti nulli e i termini disposti simmetricamente rispetto a tale diagonale hanno segno opposto. Quando vai a fare la moltiplicazione e quindi la contrazione tra i due tensori, che è una somma di prodotti , ci saranno tanti termini positivi e altrettanti termini negativi, di ugual valore assoluto : essi si elidono a due a due.
Vedi che pian piano stai capendo le cose? Il calcolo tensoriale in fondo non è difficile, si tratta solo di capire bene il gioco degli indici, sopra e sotto...è un gioco a cui bisogna fare attenzione, ma una volta imparato che un indice saturato lo puoi chiamare come vuoi, tanto su di esso è sottintesa una sommatoria, questo ti porta naturalmente alle conclusioni.
Certo, piano piano si impara. Ho iniziato da poco a studiare la relatività. Alcune volte però non sono sicuro sui ragionamenti fatti quindi chiedo conferma.
Comunque grazie per la tua risposta.
Comunque grazie per la tua risposta.
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