Proprietà della componente del momento angolare perpendicolare all'asse di rotazione
Buonasera, ho difficoltà nella comprensione delle proprietà del momento angolare $\vec{L}$ nella rotazione dei corpi rigidi, in particolare della componente di quest'ultimo perpendicolare all'asse di rotazione fisso $z$, che chiamo $\vec{L_n}$.
Supponiamo che la velocità di rotazione $\Omega$ sia costante in direzione ma che possa variare in modulo.
$| \vec{L_{n,i}}|=m_i r_i R_i \Omega cos\theta_i\implies|\vec{L_n}|=\Omega \sum m_i r_i R_i cos\theta_i $
Si può dunque affermare che $|\vec{L_n} |\propto|\vec{\Omega} |$ (1)?
Se così è allora se supponiamo di applicare un momento meccanico perprendicolare all'asse e parallelo a $\vec{L_n}$, in modo che il modulo di tale vettore aumenti, segue da (1) che ci dovrebbe essere una accelerazione angolare $\vec{\alpha}$, sebbene siamo in assenza di un momento con componente assiale non nulla.
Questo non andrebbe contro il fatto che $I_z \vec{\alpha}=\vec{M_z}$? (dove $I_z$ è il momento di inerzia rispetto all'asse e $M_z$ è appunto un momento con componente assiale non nulla, a differenza da quello considerato prima).
Supponiamo che la velocità di rotazione $\Omega$ sia costante in direzione ma che possa variare in modulo.
$| \vec{L_{n,i}}|=m_i r_i R_i \Omega cos\theta_i\implies|\vec{L_n}|=\Omega \sum m_i r_i R_i cos\theta_i $
Si può dunque affermare che $|\vec{L_n} |\propto|\vec{\Omega} |$ (1)?
Se così è allora se supponiamo di applicare un momento meccanico perprendicolare all'asse e parallelo a $\vec{L_n}$, in modo che il modulo di tale vettore aumenti, segue da (1) che ci dovrebbe essere una accelerazione angolare $\vec{\alpha}$, sebbene siamo in assenza di un momento con componente assiale non nulla.
Questo non andrebbe contro il fatto che $I_z \vec{\alpha}=\vec{M_z}$? (dove $I_z$ è il momento di inerzia rispetto all'asse e $M_z$ è appunto un momento con componente assiale non nulla, a differenza da quello considerato prima).
Risposte
No non è in conflitto per due ragioni che dipendono dal fatto che il sistema sia vincolato o libero.
Se è vincolato al fatto che esso può per qualche ragione ruotare solo attorno all'asse $z$, nel momento in cui tu applichi un momento perpendicolare a tale asse (e che quindi genera una rotazione attorno ad un asse perpendicolare a $z$ ma non attorno a $z$) non ottieni nessun risultato, appunto perché il sistema è vincolato a ruotare attorno all'asse $z$ e quindi ogni sforzo o momento che non abbia componenti lungo tale asse è vano perché la sua azione viene assorbita dal vincolo che non permette la rotazione. Quindi non hai un aumento di $|L_n|$.
Se il sistema è libero allora nel momento stesso in cui tu applichi un momento meccanico perpendicolare a $z$ allora hai immediatamente variato la direzione sia di $L_n$ che di $\Omega$ e anche in questo caso non si verifica il "paradosso" che hai sollevato.
Se è vincolato al fatto che esso può per qualche ragione ruotare solo attorno all'asse $z$, nel momento in cui tu applichi un momento perpendicolare a tale asse (e che quindi genera una rotazione attorno ad un asse perpendicolare a $z$ ma non attorno a $z$) non ottieni nessun risultato, appunto perché il sistema è vincolato a ruotare attorno all'asse $z$ e quindi ogni sforzo o momento che non abbia componenti lungo tale asse è vano perché la sua azione viene assorbita dal vincolo che non permette la rotazione. Quindi non hai un aumento di $|L_n|$.
Se il sistema è libero allora nel momento stesso in cui tu applichi un momento meccanico perpendicolare a $z$ allora hai immediatamente variato la direzione sia di $L_n$ che di $\Omega$ e anche in questo caso non si verifica il "paradosso" che hai sollevato.
Grazie davvero per la risposta!!
Se posso chiederti ma in ogni caso (1) vale?
Considerando l'esempio di un manubrio inclinato che ruota attorno a un asse verticale fisso con velocità angolare costante: in quel caso il vettore momento angolare compie un moto di precessione proprio perché vi è un momento meccanico perpendicolare all'asse, che fa variare in direzione (ma non in modulo, appunto) $\vec{L_n}$.. In quel caso il momento meccanico (prodotto dal vincolo) è perpendicolare sia all'asse di rotazione, che a $\vec{L_n}$. Se io "aggiungessi" una componente del momento meccanico parallela a $\vec{L_n}$, non cambierei l'orientazione del manubrio, ma non cambierei il modulo di $\vec{L_n}$?
Nel caso che hai citato di moto libero invece, intendi dire che anche in quel caso il modulo di $\vec{L_n}$ non cambierebbe, ma che il vettore cambierebbe solo in direzione, come anche $\vec{Omega}$? Perché anche in questo caso, applicando un momento perpendicolare diciamo all'asse istantaneo di rotazione ma parallelo a $\vec{L_n}$ penso che il modulo di quest'ultimo dovrebbe cambiare (e dunque cambiare il modulo di $\vec{\Omega}$, sempre se vale qualcosa di simile alla (1)).
Se posso chiederti ma in ogni caso (1) vale?
Considerando l'esempio di un manubrio inclinato che ruota attorno a un asse verticale fisso con velocità angolare costante: in quel caso il vettore momento angolare compie un moto di precessione proprio perché vi è un momento meccanico perpendicolare all'asse, che fa variare in direzione (ma non in modulo, appunto) $\vec{L_n}$.. In quel caso il momento meccanico (prodotto dal vincolo) è perpendicolare sia all'asse di rotazione, che a $\vec{L_n}$. Se io "aggiungessi" una componente del momento meccanico parallela a $\vec{L_n}$, non cambierei l'orientazione del manubrio, ma non cambierei il modulo di $\vec{L_n}$?
Nel caso che hai citato di moto libero invece, intendi dire che anche in quel caso il modulo di $\vec{L_n}$ non cambierebbe, ma che il vettore cambierebbe solo in direzione, come anche $\vec{Omega}$? Perché anche in questo caso, applicando un momento perpendicolare diciamo all'asse istantaneo di rotazione ma parallelo a $\vec{L_n}$ penso che il modulo di quest'ultimo dovrebbe cambiare (e dunque cambiare il modulo di $\vec{\Omega}$, sempre se vale qualcosa di simile alla (1)).
No (1) in generale non vale.
è vero al massimo o che $|\vec{L}|\propto |\vec{\Omega}|$ oppure che $|\vec{L_n}|\propto |\vec{\Omega_n}|$
Non vale ad esempio nel caso del manubrio nel quale alterando la forza di gravità (si fa per dire) non viene alterata la velocità angolare $\Omega_z$ attorno all'asse verticale, ma viene alterata la velocità angolare dovuta alla precessione.
Un altro esempio in cui non vale (1) è il seguente, immagina un cilindro posto in maniera orizzontale nel vuoto, che ruota sia attorno l'asse verticale che infilza a metà il cilindro come fosse un mini wuster, che contemporaneamente ruota attorno all'asse che trafigge il cilindro attraverso le due basi. Abbiamo quindi due assi di rotazione sempre reciprocamente perpendicolari e non fissi. Adesso è chiaro che i momenti angolari lungo tali assi saranno proporzionali alle rispettive velocità angolari, tuttavia non vale (1) perché io posso aumentare la velocità angolare a piacimento lungo l'asse orizzontale senza alterare il momento angolare lungo l'asse $z$ in alcun modo.
la formula che hai ricavato è valida solo se il corpo ruota attorno ad un singolo asse.
Per rispondere al tuo esempio, nel caso del manubrio se aggiungi in qualche modo un momento lungo l'asse di $L_n$ aumenti si il modulo di $L_n$ ma ne alteri anche il moto di precessione. Pensa ad una trottola che idealmente gira a velocità angolare infinita , essa non precede, la precessione si fa sempre più evidentemente man mano che $L_n$ diminuisce.
In ogni caso mi pare che stai confondendo componenti e vettori, Se dici che $L_n$ è la componente lungo l'asse verticale del momento angolare allora è chiaro che essa non potrà mai cambiare di direzione rispetto all'asse, essa sarà sempre parallela all'asse ad al massimo potrà cambiare di modulo, quali che siano le forze o i momenti applicati, quello che potrà cambiare di direzione sarà l'asse di rotazione. Però tutto dipende in che sistema di coordinate ti trovi, di solito in questi casi si scelgono gli assi di Eulero.
Io comunque intendevo che il momento angolare totale cambia di direzione. Perché appunto per come hai definito $L_n$ esso non può cambiare di direzione, ma può variare solo in modulo.
è vero al massimo o che $|\vec{L}|\propto |\vec{\Omega}|$ oppure che $|\vec{L_n}|\propto |\vec{\Omega_n}|$
Non vale ad esempio nel caso del manubrio nel quale alterando la forza di gravità (si fa per dire) non viene alterata la velocità angolare $\Omega_z$ attorno all'asse verticale, ma viene alterata la velocità angolare dovuta alla precessione.
Un altro esempio in cui non vale (1) è il seguente, immagina un cilindro posto in maniera orizzontale nel vuoto, che ruota sia attorno l'asse verticale che infilza a metà il cilindro come fosse un mini wuster, che contemporaneamente ruota attorno all'asse che trafigge il cilindro attraverso le due basi. Abbiamo quindi due assi di rotazione sempre reciprocamente perpendicolari e non fissi. Adesso è chiaro che i momenti angolari lungo tali assi saranno proporzionali alle rispettive velocità angolari, tuttavia non vale (1) perché io posso aumentare la velocità angolare a piacimento lungo l'asse orizzontale senza alterare il momento angolare lungo l'asse $z$ in alcun modo.
la formula che hai ricavato è valida solo se il corpo ruota attorno ad un singolo asse.
Per rispondere al tuo esempio, nel caso del manubrio se aggiungi in qualche modo un momento lungo l'asse di $L_n$ aumenti si il modulo di $L_n$ ma ne alteri anche il moto di precessione. Pensa ad una trottola che idealmente gira a velocità angolare infinita , essa non precede, la precessione si fa sempre più evidentemente man mano che $L_n$ diminuisce.
In ogni caso mi pare che stai confondendo componenti e vettori, Se dici che $L_n$ è la componente lungo l'asse verticale del momento angolare allora è chiaro che essa non potrà mai cambiare di direzione rispetto all'asse, essa sarà sempre parallela all'asse ad al massimo potrà cambiare di modulo, quali che siano le forze o i momenti applicati, quello che potrà cambiare di direzione sarà l'asse di rotazione. Però tutto dipende in che sistema di coordinate ti trovi, di solito in questi casi si scelgono gli assi di Eulero.
Io comunque intendevo che il momento angolare totale cambia di direzione. Perché appunto per come hai definito $L_n$ esso non può cambiare di direzione, ma può variare solo in modulo.
Grazie mille per la precisazione sulla (1), mi è molto chiaro l'esempio del cilindro che ruota attorno a due assi, mentre non riesco a capire cosa intendi con $\vec{\Omega_n}$, la velocità angolare non è per definizione parallela all'asse di rotazione?
Anche nel caso del momento angolare, io ho indicato con $\vec{L_n}$ la componente perpendicolare/normale all'asse di rotazione, non quella parallela ad esso..
E ho utilizzato la notazione vettoriale anche per le componenti, il che non è del tutto corretto ma era per mettere in evidenza che $\vec{L_n}$ può variare in direzione oltre che in modulo (nella precessione ad esempio)
Nel caso della trottola il momento angolare è totalmente parallelo all'asse di rotazione della trottola ( $\vec{L_n}=0$), però forse tu intendi qui con $\vec{L_n}$ la componente del momento angolare perpendicolare all'asse attorno a cui la trottola precede, è cosi?
Comunque quello che alla fine volevo sapere è se è possibile variare questo (maledetto) modulo della componente perpendicolare all'asse di rotazione del momento angolare, e, nel caso, se ciò può comportare un accelerazione angolare, anche in assenza di un momento con una componente assiale. Da quanto mi sembra di capire la risposta è no, giusto?
Anche nel caso del momento angolare, io ho indicato con $\vec{L_n}$ la componente perpendicolare/normale all'asse di rotazione, non quella parallela ad esso..
E ho utilizzato la notazione vettoriale anche per le componenti, il che non è del tutto corretto ma era per mettere in evidenza che $\vec{L_n}$ può variare in direzione oltre che in modulo (nella precessione ad esempio)
Nel caso della trottola il momento angolare è totalmente parallelo all'asse di rotazione della trottola ( $\vec{L_n}=0$), però forse tu intendi qui con $\vec{L_n}$ la componente del momento angolare perpendicolare all'asse attorno a cui la trottola precede, è cosi?
Comunque quello che alla fine volevo sapere è se è possibile variare questo (maledetto) modulo della componente perpendicolare all'asse di rotazione del momento angolare, e, nel caso, se ciò può comportare un accelerazione angolare, anche in assenza di un momento con una componente assiale. Da quanto mi sembra di capire la risposta è no, giusto?
Si ma non solo la velocità angolare è parallela all'asse di rotazione ma lo è anche il momento angolare.
Quindi se tu parli di un momento angolare $L_n$ allora deve esistere per forza una velocità angolare $\Omega_n$ poiché essi sono legati dalla relazione $L_n=I_n\Omega_n$. Ora se l'asse di rotazione è unico allora le componenti del momento angolare perpendicolari a tale esse ($L_n$ appunto) sono nulle. Per non essere nulle deve esserci un altro asse di rotazione.
per la trottola, si intendevo quello.
Se questo è il quesito la risposta è si. Perché io posso applicare un momento perpendicolare all'asse di rotazione $z$ diciamo, che quindi ha componente nulla lungo tale asse, in questo modo sto accelerando angolarmente il mio corpo lungo un nuovo asse $n$ e quindi sto aumentando in modulo la mia componente $L_n$ e anche la componente $\Omega_n$. Il momento angolare totale cambierà ovviamente anche di direzione, però il momento $L_n$ potrà cambiare solo in modulo.
Quindi se tu parli di un momento angolare $L_n$ allora deve esistere per forza una velocità angolare $\Omega_n$ poiché essi sono legati dalla relazione $L_n=I_n\Omega_n$. Ora se l'asse di rotazione è unico allora le componenti del momento angolare perpendicolari a tale esse ($L_n$ appunto) sono nulle. Per non essere nulle deve esserci un altro asse di rotazione.
per la trottola, si intendevo quello.
Se questo è il quesito la risposta è si. Perché io posso applicare un momento perpendicolare all'asse di rotazione $z$ diciamo, che quindi ha componente nulla lungo tale asse, in questo modo sto accelerando angolarmente il mio corpo lungo un nuovo asse $n$ e quindi sto aumentando in modulo la mia componente $L_n$ e anche la componente $\Omega_n$. Il momento angolare totale cambierà ovviamente anche di direzione, però il momento $L_n$ potrà cambiare solo in modulo.
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