Propongo problema carino sul pendolo.
vi propongo questo problema sul pendolo, che richiede un pò di ragionamento ma pochi conti.
Si consideri un filo di massa trascurabile alla cui estremità è appeso un corpo di forma cubica con spigolo pari ad $a$ (l'altra estremità è appesa ad un soffitto). Il corpo è pieno di un liquido di densità $p$ e tale liquido fuoriesce dal corpo provocando una variazione di massa a velocità costante $(dm)/dt$. Si indichi con $L_i$ la lunghezza del filo misurata dal centro di massa iniziale del corpo. Al variare della massa varierà il centro di massa e quindi anche questa lunghezza che genericamente chiameremo $L$. Si indichi infine con $h$ l'altezza del fluido all'interno del corpo (rispetto alla base) in un generico istante. Si trovi il periodo $T$ (per piccole oscillazioni) in funzione del tempo e successivamente la velocità di variazione del periodo in funzione del tempo.
Allego un immagine del sistema sperando che chiarisca il tutto.
Si consideri un filo di massa trascurabile alla cui estremità è appeso un corpo di forma cubica con spigolo pari ad $a$ (l'altra estremità è appesa ad un soffitto). Il corpo è pieno di un liquido di densità $p$ e tale liquido fuoriesce dal corpo provocando una variazione di massa a velocità costante $(dm)/dt$. Si indichi con $L_i$ la lunghezza del filo misurata dal centro di massa iniziale del corpo. Al variare della massa varierà il centro di massa e quindi anche questa lunghezza che genericamente chiameremo $L$. Si indichi infine con $h$ l'altezza del fluido all'interno del corpo (rispetto alla base) in un generico istante. Si trovi il periodo $T$ (per piccole oscillazioni) in funzione del tempo e successivamente la velocità di variazione del periodo in funzione del tempo.
Allego un immagine del sistema sperando che chiarisca il tutto.
Risposte
nessuno che si lancia? =)
Il problema si può risolvere prescindendo dalle leggi della meccanica dei fluidi? Ossia approssimando il sistema a corpo rigido?
"turtle87":
Il problema si può risolvere prescindendo dalle leggi della meccanica dei fluidi? Ossia approssimando il sistema a corpo rigido?
si si senza problemi
Io ci provo, sia chiaro. Sono scarso, io, e non so ragionare.
Dunque, il periodo del pendolo, per piccole oscillazioni, è descrivibile dalla formula:
$T = 2 \pi sqrt ( l /g) $, dove $l$ è un parametro che varia nel tempo, in relazione alla fuoriuscita di liquido.
Definisco quindi $l$ in funzione del tempo. Dunque, parto innanzitutto dalla legge che esprime la velocità con cui la massa esce dal cubo:
$m(t) = dot m * t + p a^3$
Al valore $m(t)$ sostituisco $\ro a^2 h$, sicchè la legge diventa:
$p a^2 h = dot m * t + p a^3$, da cui ricavo $h$:
$h = frac {dot m}{p a^2} * t + a$
Espressa l'altezza h in funzione del tempo, a questo punto introduco un ragionamento che non so quanto possa essere giusto, poichè vado un po' a senso, come si suol dire.
Dunque, devo esprimere $l$ in funzione del tempo. Considero la lunghezza iniziale $l_i$ Aggiungendo ad essa $a/2$, si ottiene la distanza tra il "polo" del pendolo e la base del cubo. se sottraggo $h/2$ ottengo la distanza del polo dal centro di massa in ogni istante $t$.
Ho quindi: $l = l_i + a/2 - h/2$, e sostituendo tale espressione nell'equazione del pendolo, ottengo:
$T = 2 \pi sqrt (( l_i + a/2 - frac{h(t)}{2})/(g))$, dove con $h(t)$ ho indicato il valore variabile nel tempo di $h$, e dove con $dot m$ ho indicato la "portata massica" (fammela chiamare così, ia) uscente.
Dunque, il periodo del pendolo, per piccole oscillazioni, è descrivibile dalla formula:
$T = 2 \pi sqrt ( l /g) $, dove $l$ è un parametro che varia nel tempo, in relazione alla fuoriuscita di liquido.
Definisco quindi $l$ in funzione del tempo. Dunque, parto innanzitutto dalla legge che esprime la velocità con cui la massa esce dal cubo:
$m(t) = dot m * t + p a^3$
Al valore $m(t)$ sostituisco $\ro a^2 h$, sicchè la legge diventa:
$p a^2 h = dot m * t + p a^3$, da cui ricavo $h$:
$h = frac {dot m}{p a^2} * t + a$
Espressa l'altezza h in funzione del tempo, a questo punto introduco un ragionamento che non so quanto possa essere giusto, poichè vado un po' a senso, come si suol dire.
Dunque, devo esprimere $l$ in funzione del tempo. Considero la lunghezza iniziale $l_i$ Aggiungendo ad essa $a/2$, si ottiene la distanza tra il "polo" del pendolo e la base del cubo. se sottraggo $h/2$ ottengo la distanza del polo dal centro di massa in ogni istante $t$.
Ho quindi: $l = l_i + a/2 - h/2$, e sostituendo tale espressione nell'equazione del pendolo, ottengo:
$T = 2 \pi sqrt (( l_i + a/2 - frac{h(t)}{2})/(g))$, dove con $h(t)$ ho indicato il valore variabile nel tempo di $h$, e dove con $dot m$ ho indicato la "portata massica" (fammela chiamare così, ia) uscente.
bravo è corretto 
. Posto la mia soluzione che è del tutto equivalente:
Per ipotesi è $(dm)/dt = k$ con $k$ costante minore di 0. Da cui $dm = k*dt$, d'altronde deve essere $dm = dv*p$ sempre per ipotesi. Eguagliando le due espressioni si ottiene $dv*p = k*dt$. Ora, il volume infinitesimo $dv$ è ottenuto considerando l'altezza infinitesima $dh$ del liquido, cioè $dh*a^2*p = k*dt$, ricaviamo $dh$: si ottiene $dh = k/(p*a^2)*dt$. Integriamo ambo i membri $int_(0)^(h)dh = int_(0)^(t)k/(p*a^2)*dt$ si ottiene immediatamente $ h = (kt)/(p*a^2) + c$ e imponiamo che debba essere $h=a$ per $t=0$ da cui si ricava $c=a$. Allora $h_(t) = (kt)/(p*a^2) + a$. Per questioni di simmetria e per la densità costante del fluido, il centro di massa sarà sempre a $h_t/2$. Ovvero $y_(cm) = (kt)/(2p*a^2) + a/2$. La distanza tra $y_(cm)$ a $t=0$ e ad un generico istante $t$ vale $d_t = a/2 -(kt)/(p*a^2) -a/2$ da cui $d_t = -(kt)/(p*a^2)$. Allora $L_t = L_i -(kt)/(2p*a^2)$. Sostituendo questa lunghezza nella formula per il periodo si ottiene: $T_t = (2pi)/(sqrtg)*sqrt(L_i -(kt)/(2p*a^2))$ o equivalentemente: $T_t = (2pi)/(sqrtg)*sqrt(L_i -((dm)/dt*t)/(2p*a^2))$.
. Posto la mia soluzione che è del tutto equivalente: Per ipotesi è $(dm)/dt = k$ con $k$ costante minore di 0. Da cui $dm = k*dt$, d'altronde deve essere $dm = dv*p$ sempre per ipotesi. Eguagliando le due espressioni si ottiene $dv*p = k*dt$. Ora, il volume infinitesimo $dv$ è ottenuto considerando l'altezza infinitesima $dh$ del liquido, cioè $dh*a^2*p = k*dt$, ricaviamo $dh$: si ottiene $dh = k/(p*a^2)*dt$. Integriamo ambo i membri $int_(0)^(h)dh = int_(0)^(t)k/(p*a^2)*dt$ si ottiene immediatamente $ h = (kt)/(p*a^2) + c$ e imponiamo che debba essere $h=a$ per $t=0$ da cui si ricava $c=a$. Allora $h_(t) = (kt)/(p*a^2) + a$. Per questioni di simmetria e per la densità costante del fluido, il centro di massa sarà sempre a $h_t/2$. Ovvero $y_(cm) = (kt)/(2p*a^2) + a/2$. La distanza tra $y_(cm)$ a $t=0$ e ad un generico istante $t$ vale $d_t = a/2 -(kt)/(p*a^2) -a/2$ da cui $d_t = -(kt)/(p*a^2)$. Allora $L_t = L_i -(kt)/(2p*a^2)$. Sostituendo questa lunghezza nella formula per il periodo si ottiene: $T_t = (2pi)/(sqrtg)*sqrt(L_i -(kt)/(2p*a^2))$ o equivalentemente: $T_t = (2pi)/(sqrtg)*sqrt(L_i -((dm)/dt*t)/(2p*a^2))$.
Per questioni di simmetria e per la densità costante del fluido,
Questa è l'ipotesi di fondo che ovviamente avevo considerato anche io, pur non riuscendo a formalizzarla in maniera compiuta.
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