Propagazione degli errori nelle misure indirette
Ciao a tutti,
sono una studentessa di fisica e ho bisogno del vostro aiuto al più presto! Dmn devo consegnare una relazione; e ho un grosso dubbio sull'applicazione della formula di propagazione degli errori.
La grandezza da trovare indirettamente è la tensione superficiale: T= (m*g)/4*3.14*r dove m e r sono massa e raggio . Io ho preso direttamente le misure di quest'ultimi e conosco i relativi scarti quadratici medi..(ho più set).. Ora la formula di propagazione è:
[url]http://www.google.it/imgres?um=1&hl=it&sa=N&biw=1366&bih=643&tbm=isch&tbnid=tO3yhHOICgY-5M:&imgrefurl=http://www.ba.infn.it/~palano/statistica/web/lab/chap2/node7_2.html&imgurl=http://www.ba.infn.it/~palano/statistica/web/lab/chap2/img36.gif&w=268&h=55&ei=DKpEUKLNHKb14QTSn4GICg&zoom=1&iact=hc&vpx=895&vpy=482&dur=637&hovh=44&hovw=214&tx=119&ty=20&sig=101011243184483946689&page=3&tbnh=39&tbnw=188&start=44&ndsp=24&ved=1t:429,r:16,s:44,i:265[/url]
grazie al quale mi ricavo l'errore su t.... ma come si risolvono le derivate parziali nel mio caso particolare???? Io ho provato da sola a farlo ma nn mi convince!: sn nuova e nn so come allegarvi l'immagine della formula che ho tirato fuori io
cmq se qualcuno sa svolgere i calcoli potrebbe aiutarmi e dirmi la formula finale da utilizzare senza derivate??
provo a caricarla ma mi da errori di server..
grazie anticipatamente
sono una studentessa di fisica e ho bisogno del vostro aiuto al più presto! Dmn devo consegnare una relazione; e ho un grosso dubbio sull'applicazione della formula di propagazione degli errori.
La grandezza da trovare indirettamente è la tensione superficiale: T= (m*g)/4*3.14*r dove m e r sono massa e raggio . Io ho preso direttamente le misure di quest'ultimi e conosco i relativi scarti quadratici medi..(ho più set).. Ora la formula di propagazione è:
[url]http://www.google.it/imgres?um=1&hl=it&sa=N&biw=1366&bih=643&tbm=isch&tbnid=tO3yhHOICgY-5M:&imgrefurl=http://www.ba.infn.it/~palano/statistica/web/lab/chap2/node7_2.html&imgurl=http://www.ba.infn.it/~palano/statistica/web/lab/chap2/img36.gif&w=268&h=55&ei=DKpEUKLNHKb14QTSn4GICg&zoom=1&iact=hc&vpx=895&vpy=482&dur=637&hovh=44&hovw=214&tx=119&ty=20&sig=101011243184483946689&page=3&tbnh=39&tbnw=188&start=44&ndsp=24&ved=1t:429,r:16,s:44,i:265[/url]
grazie al quale mi ricavo l'errore su t.... ma come si risolvono le derivate parziali nel mio caso particolare???? Io ho provato da sola a farlo ma nn mi convince!: sn nuova e nn so come allegarvi l'immagine della formula che ho tirato fuori io
cmq se qualcuno sa svolgere i calcoli potrebbe aiutarmi e dirmi la formula finale da utilizzare senza derivate??
provo a caricarla ma mi da errori di server..
grazie anticipatamente
Risposte
Se $T= (m*g)/(4*pi*r)$, e la propagazione degli errori avviene secondo
,
allora, ammesso che non ci sia errore su $g$,
$sigma_T=sqrt(((delT)/(delm))^2*sigma_m^2+((delT)/(delr))^2*sigma_r^2)$.
Ma
$(delT)/(delm)=g/(4*pi*r)$
e
$(delT)/(delr)=-(m*g)/(4*pi*r^2)$.
Quindi
$sigma_T=sqrt((g/(4*pi*r))^2*sigma_m^2+(-(m*g)/(4*pi*r^2))^2*sigma_r^2)=$
$g/(4*pi)*sqrt(1/r^2*sigma_m^2+m^2/r^4*sigma_r^2)$.
,allora, ammesso che non ci sia errore su $g$,
$sigma_T=sqrt(((delT)/(delm))^2*sigma_m^2+((delT)/(delr))^2*sigma_r^2)$.
Ma
$(delT)/(delm)=g/(4*pi*r)$
e
$(delT)/(delr)=-(m*g)/(4*pi*r^2)$.
Quindi
$sigma_T=sqrt((g/(4*pi*r))^2*sigma_m^2+(-(m*g)/(4*pi*r^2))^2*sigma_r^2)=$
$g/(4*pi)*sqrt(1/r^2*sigma_m^2+m^2/r^4*sigma_r^2)$.
Grazie mille veramente... ho capito!
Senza derivate puoi considerare la relazione particolare (che sicuramente a lezione avrai visto) sui prodotti e quozienti (ricavata da quella più generale, ovviamente).
Se $C=\frac{A}{B}$ (e si indicano le deviazioni standard con $\sigma$), allora $(\frac{\sigma_C}{C})^2=(\frac{\sigma_A}{A})^2+(\frac{\sigma_A}{A})^2$.
Nel tuo caso $A=m$ e $B=r$ e quindi $C=T=k\frac{m}{r}$ dove $k=\frac{g}{4 \pi}$.
Allora puoi calcolare:
\[(\frac{\sigma_T}{T})^2=(\frac{\sigma_m}{m})^2+(\frac{\sigma_r}{r})^2\]
Ricordando che $T=k \frac{m}{r}$
\[\sigma_T=k \frac{m}{r} \sqrt{(\frac{\sigma_r}{r})^2+(\frac{\sigma_m}{m})^2}\]
E portando dentro la radice riottieni l'espressione di chiaraotta
\[\sigma_T=k \sqrt{\frac{m^2}{r^2}[(\frac{\sigma_r}{r})^2+(\frac{\sigma_m}{m})^2]}\]
\[\sigma_T=k \sqrt{\frac{m^2 \sigma_r^2}{r^2 r^2}+\frac{m^2 \sigma_m^2}{r^2 m^2}}\]
\[\sigma_T=k \sqrt{\frac{m^2 }{r^4}\sigma_r^2+\frac{1}{r^2}\sigma_m^2}\]
E, ricordando $k=\frac{g}{4 \pi}$,
\[\sigma_T=\frac{g}{4 \pi} \sqrt{\frac{m^2 }{r^4}\sigma_r^2+\frac{1}{r^2}\sigma_m^2}.\]
Se non ti piacciono le derivate parziali, dai un'occhiata qui.
Ciao.
Se $C=\frac{A}{B}$ (e si indicano le deviazioni standard con $\sigma$), allora $(\frac{\sigma_C}{C})^2=(\frac{\sigma_A}{A})^2+(\frac{\sigma_A}{A})^2$.
Nel tuo caso $A=m$ e $B=r$ e quindi $C=T=k\frac{m}{r}$ dove $k=\frac{g}{4 \pi}$.
Allora puoi calcolare:
\[(\frac{\sigma_T}{T})^2=(\frac{\sigma_m}{m})^2+(\frac{\sigma_r}{r})^2\]
Ricordando che $T=k \frac{m}{r}$
\[\sigma_T=k \frac{m}{r} \sqrt{(\frac{\sigma_r}{r})^2+(\frac{\sigma_m}{m})^2}\]
E portando dentro la radice riottieni l'espressione di chiaraotta
\[\sigma_T=k \sqrt{\frac{m^2}{r^2}[(\frac{\sigma_r}{r})^2+(\frac{\sigma_m}{m})^2]}\]
\[\sigma_T=k \sqrt{\frac{m^2 \sigma_r^2}{r^2 r^2}+\frac{m^2 \sigma_m^2}{r^2 m^2}}\]
\[\sigma_T=k \sqrt{\frac{m^2 }{r^4}\sigma_r^2+\frac{1}{r^2}\sigma_m^2}\]
E, ricordando $k=\frac{g}{4 \pi}$,
\[\sigma_T=\frac{g}{4 \pi} \sqrt{\frac{m^2 }{r^4}\sigma_r^2+\frac{1}{r^2}\sigma_m^2}.\]
Se non ti piacciono le derivate parziali, dai un'occhiata qui.
Ciao.
grazie anche a te ! siete stati chiarissimi.. Ho capito =)
effettivamente mi ero fatta intimorire dai quei "mostri" chiamate derivate parziali(sarà il simbolo troppo strano a creare timori XD)! ma in fondo i passaggi sono semplici... grazie di nuovo=)
effettivamente mi ero fatta intimorire dai quei "mostri" chiamate derivate parziali(sarà il simbolo troppo strano a creare timori XD)! ma in fondo i passaggi sono semplici... grazie di nuovo=)
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