Proiezione ortogonale di un vettore su un altro

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Salve, da un po' di ore mi trovo in difficoltà su una proprietà che i testi che sto usando e gli appunti del professore continuano a sbattermi in faccia ma non capisco perchè si verifica...
Prendete due rette x e y ortogonali e definite i rispettivi versori, il versore di x lo chiamiamo $hat i$, il versore di y lo chiamiamo $hat j$
Di seguito prendete un vettore $vec v$ che abbia origine nell'origine del piano cartesiano,
fatto ciò scomponete il vettore in due componenti $vec v_x$ e $vec v_y$,
ancora risulterà palese che il vettore $vec v=(vec v_x)+(vec v_y)$
Fin qui tutto semplice il problema sorge quando con non chalance il mio libro dice che $(vec v_x)=(vec v)*(hat i)$
e $(vec v_y)=(vec v)*(hat j)$

E qui casca tutto perchè mi sembra assolutamente impossibile! Insomma come è possibile che il vettore $vec v$ sia uguale in modulo a una delle sue componenti per il versore che ha modulo 1? è un uguaglianza del tutto ingiustificata e io non ci capisco più niente..spero di essere riuscito a spiegare il problema

[Sk_Anonymous]

"login":Salve, .......ancora risulterà palese che il vettore $vec v=(vec v_x)+(vec v_y)$
Fin qui tutto semplice il problema sorge quando con non chalance il mio libro dice che $(vec v_x)=(vec v)*(hat i)$
e $(vec v_y)=(vec v)*(hat j)$

E qui casca tutto perchè mi sembra assolutamente impossibile! Insomma come è possibile che il vettore $vec v$ sia uguale in modulo a una delle sue componenti per il versore che ha modulo 1? è un uguaglianza del tutto ingiustificata e io non ci capisco più niente..spero di essere riuscito a spiegare il problema

Devi scomporre il vettore $vecv$ in due vettori componenti, Il vettore $vec v_x$ che giace sull'asse $x$, ed il vettore $vec v_y$ che giace sull'asse $y$ . Quindi $vec v = vec v_x + vec v_y $, e questo dici che ti è chiaro : $vecv$ è la somma vettoriale, o il risultante, dei due vettori giacenti sui due assi.

Considera ora il vettore $vec v_x$ . È parallelo al versore $hat i$ dell'asse $x$. Quindi si può scrivere :

$vec v_x = v_x hati$, dove ho indicato con $v_x$ la componente di $vec v_x$, uguale al modulo di $vec v_x$ col segno $+$ o $-$ a secondo dell'orientamento di $vecv_x$ rispetto a $hati$.

Analogo ragionamento fai per il componente sull'asse $y$ : $vec v_y = v_y hatj$.

In definitiva puoi scrivere : $vec v = v_xhati + v_y hatj$. --------(1)

Tutto chiaro fin qui?

Ora, hai presente come si esegue il prodotto scalare di due vettori? Spero di sì.

E allora, moltiplica scalarmente entrambi i membri della (1) per $hati$ .

Ottieni : $vec v*hati = v_x$ , poiché $ cos0º =1$ e $cos90º = 0$. È chiaro questo "poiché..." ?

Analogamente : $vec v*hatj = v_y$, per la stessa ragione di prima.

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ma entrambi i membri della (1) nel senso che moltiplico $(vec v)*(hat i)=(vec v_x)(hat i)(hat i)+(vec v_y)(hat j)(hat i)$
In questo caso $(vec v)*(hat i)=((v_x)i*i*cos(0°))+((v_y)i*j*cos(90°))$
Da ciò ottengo $(vec v)*(hat i)=((v_x)(i^2)*1)+((v_y)i*j*(0))$
Ancora $(vec v)*(hat i)=(v_x)(i^2)$
E siccome il modulo di i=1 allora ixi=1 quindi $(vec v)*(hat i)=v_x$
Ok quindi adesso ho ottenuto quello che volevo, tuttavia mi sfugge la cosa da un punto di vista geometrico, insomma se moltiplico scalarmente un vettore per il versore di una sua componenete ottengo la componente stessa..mmm devo dedurre che devo vedere la cosa dal punto di vista del prodotto scalare tra $(vec v)$ e $(hat i)$..penso di aver capito più o meno, grazie per la dritta del moltiplicare entrambi i membri per $(hat i)$ scalarmente, fino alla (1) ci ero arrivato ma poi non riuscivo ad andare avanti

[Sk_Anonymous]

Sì, quello che volevo farti capire lo hai capito, mi sembra, a parte un po' di casini con la scrittura delle formulette...ma il succo è quello.
Esempio di calcolo.
Supponi che sia : $vecv = 3hati - 2hatj$ . Moltiplicando scalarmente prima per $hati$ e poi per $hatj$ ottieni :

$vecv*hati = v_x = 3$
$vecv*hatj = v_y = -2$

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Ok capito! Grazie navigatore