Proiettile, pendolo e... giro della morte!
Buondì,
ancora una volta avrei bisogno di una mano con questo problema. Vi scrivo il testo, poi vi espongo i miei pensieri.
ancora una volta avrei bisogno di una mano con questo problema. Vi scrivo il testo, poi vi espongo i miei pensieri.
- Problema. Un proiettile di massa m e velocità $v$ attraversa un blocco di massa $M$ e ne emerge con velocità $v/2$. La massa $M$ è appesa a un estremo di un filo inestensibile di lunghezza $l$ (n.b: il sistema è un pendolo). Si chiede il minimo valore di $v$ affinchè il pendolo possa compiere un giro completo. [/list:u:298tw5iq]
Soluzione. $v_min = 2sqrt(5gl)M/m$
Allora, la prima cosa che ho pensato è stata: impongo la conservazione del momento angolare.
Subito prima dell'urto, il blocco è fermo e il proiettile si muove di moto rettilineo: quindi ha un momento angolare pari a $L_p = mvl$.
Con l'urto, il blocco comincia a oscillare e quindi avrà momento angolare $momegal^2$, ma com'è diretto?
E come contribuisce il momento finale del proiettile ($mvl/2$)?
Ammetto che ho provato a ragionare all'inverso, dalla soluzione ho cercato di tornare indietro: mi sfugge, tuttavia, l'idea di base. Qualcuno sa illuminarmi? Grazie in anticipo.
P.S. Aggiungo che ho fatto qualche considerazione di tipo energetico, ma non mi hanno portato lontano... cercavo un modo intelligente di esprimere $v$ in funzione di $theta$, dove $theta$ è l'angolo che il filo forma con la verticale... ma naturalmente ho fatto un buco nell'acqua.
Risposte
Comincia a scriverla, la conservazione del momento angolare
Grazie per la risposta. Credo di capire dalle tue parole che la conservazione del momento angolare sia la strada giusta.
Il problema, come dicevo sopra, è proprio legato a come scrivere questa equazione: non riesco a capire come è fatto il vettore momento angolare del blocco.
Vettorialmente, $\barL_"p,i" = barL_"b" + barL_"p,f"$, dove con $\barL_"p,i"$ intendo il momento angolare iniziale del proiettile (dovrebbe avere modulo $mvl$), con $barL_"b"$ intendo il momento del blocco (modulo $Momegal^2$) e infine con $barL_"p,f"$ il momento angolare finale del proietteile (modulo $mvl/2$).
Ma com'è l'equazione? Non penso sia $mvl=momegal^2+mvl/2$... sono quantità vettoriali, quindi non posso sommarle così...
Scusa l'ignoranza.
Il problema, come dicevo sopra, è proprio legato a come scrivere questa equazione: non riesco a capire come è fatto il vettore momento angolare del blocco.
Vettorialmente, $\barL_"p,i" = barL_"b" + barL_"p,f"$, dove con $\barL_"p,i"$ intendo il momento angolare iniziale del proiettile (dovrebbe avere modulo $mvl$), con $barL_"b"$ intendo il momento del blocco (modulo $Momegal^2$) e infine con $barL_"p,f"$ il momento angolare finale del proietteile (modulo $mvl/2$).
Ma com'è l'equazione? Non penso sia $mvl=momegal^2+mvl/2$... sono quantità vettoriali, quindi non posso sommarle così...
Scusa l'ignoranza.
Ma non son tutti vettori con la stessa direzione (ortogonale al piano di oscillazione)?
"Maurizio Zani":
Ma non son tutti vettori con la stessa direzione?
... quella perpendicolare al piano del moto. Che stupido che sono, è vero, hai ragione; scusami.
Ci sono quasi, mi manca però un altro pezzo: devo trovare $omega$ e un buon modo per fare questo, secondo me è trovare la tensione della fune nel punto più in alto.
Ho fatto questo ragionamento: il corpo si muove di moto circolare, dunque è sottoposto a una forza centripeta.
Nel punto più basso è facile scrivere che $T-Mg=Mv^2/l$ (assunta come positiva la direzione verso l'alto) e quindi $T=M(g+v^2/l)$.
Rifaccio lo stesso discorso in alto (volendo, con qualche elementare considerazione di trigonometria, si potrebbe fare questo discorso in un punto qualunque della traiettoria). Comunque, nel punto più in alto ho
$-T-Mg=-Mv^2/l$, da cui ricavo che la tensione nel punto più alto ha lo stesso valore di quella nel punto più basso. C'è qualcosa che non va. Dov'è l'errore?
Scusa anche del tempo che ti faccio perdere...
Grazie.
Una volta che conosci la velocità del corpo immediatamente dopo l'urto in funzione della velocità del proiettile (con la conservazione del momento della quantità di moto rispetto al perno del pendolo), devi semplicemente imporre che nel punto più alto la corda non si afflosci, per cui che la forza peso sul blocco fornisca al limite la forza centripeta necessaria in quel punto. Quindi la velocità nel punto più alto ce l'hai.... Un altro modo per dire questo è che nel punto più alto la tensione della corda è nulla al limite.
Il legame tra velocità dopo l'urto e velocità nel punto più alto lo trovi facilmente imponendo la conservazione dell'energia meccanica.
Il legame tra velocità dopo l'urto e velocità nel punto più alto lo trovi facilmente imponendo la conservazione dell'energia meccanica.
"Faussone":
Una volta che conosci la velocità del corpo immediatamente dopo l'urto in funzione della velocità del proiettile (con la conservazione del momento della quantità di moto rispetto al perno del pendolo), devi semplicemente imporre che nel punto più alto la corda non si afflosci, per cui che la forza peso sul blocco fornisca al limite la forza centripeta necessaria in quel punto. Quindi la velocità nel punto più alto ce l'hai.... Un altro modo per dire questo è che nel punto più alto la tensione della corda è nulla al limite.
Il legame tra velocità dopo l'urto e velocità nel punto più alto lo trovi facilmente imponendo la conservazione dell'energia meccanica.
Grazie mille per l'intervento. Ho capito e il problema è venuto, vi ringrazio molto.
Mi resta però una curiosità (nata da questo problema) e avrei bisogno di una vostra conferma/smentita: prendiamo un corpo puntiforme di massa $m$, (fa le veci del blocco del problema). Se questo corpo (legato a una fune inestensibile) si muove su una traiettoria circolare (appunto come il blocco) quanto vale la tensione nel punto più alto della traiettoria?
E' un po' che ci penso: ho ottenuto che la tensione nel punto più alto vale esattamente quella nel punto più basso più sei volte il peso del corpo (EDIT: versione corretta: quella nel punto più basso supera quella nel punto più alto di sei volte il peso del corpo). Mi pare plausibile come risultato: ho ripercorso a grandi linee i ragionamenti di sopra (energia + qualcosa di dinamica). Sono riuscito a scrivere che in un punto qualsiasi la tensione vale $T=mg(3costheta-2)+(mv^2)/l$ essendo $theta$ l'angolo che la corda forma con la verticale. Da qui è abbastanza rapido concludere ($theta=0$ e $theta = pi$).
Comunque, se qualcuno ha voglia di confermare il risultato gliene sarei davvero molto grato.
Grazie di tutto.
Credo tu stia facendo un po' di confusione....
La tensione è massima nel punto più basso non nel punto più alto.
Supponiamo di conoscere la velocità della massa nel punto più basso e che sia pari a $v_0$.
Allora la velocità in funzione dell'angolo $theta$ rispetto alla verticale è data da questa relazione:
$m v^2/2+mgL(1- cos(theta))= mv_0^2/2$
che trovi facilmente applicando la conservazione dell'energia,
mentre per la tensione in funzione di $v$ vale:
$T-mgLcos(theta)=mv^2/2$
che si ottiene considerando che l'accelerazione centripeta è fornita dalla risultante della tensione e della componente del peso.
Da cui la tensione vale:
$T=mgLcos(theta)+mv_o^2/2-mgL(1-cos(theta))$
Come vedi la tensione è massima per $theta=0$ cioè nel punto più basso e minima nel punto più alto $theta=pi$.
La tensione è massima nel punto più basso non nel punto più alto.
Supponiamo di conoscere la velocità della massa nel punto più basso e che sia pari a $v_0$.
Allora la velocità in funzione dell'angolo $theta$ rispetto alla verticale è data da questa relazione:
$m v^2/2+mgL(1- cos(theta))= mv_0^2/2$
che trovi facilmente applicando la conservazione dell'energia,
mentre per la tensione in funzione di $v$ vale:
$T-mgLcos(theta)=mv^2/2$
che si ottiene considerando che l'accelerazione centripeta è fornita dalla risultante della tensione e della componente del peso.
Da cui la tensione vale:
$T=mgLcos(theta)+mv_o^2/2-mgL(1-cos(theta))$
Come vedi la tensione è massima per $theta=0$ cioè nel punto più basso e minima nel punto più alto $theta=pi$.
Grazie che continui a rispondermi.
Però non mi trovo, perdonami.
Ok, fin qui nessun problema, sono d'accordissimo.
Qua secondo me c'è qualcosa che non va. Dimensionalmente non mi tornano i tuoi conti: $T$ è una tensione ($N$), $mgL$ è un'energia (J)!
Forse ti è scappata una $l$ di troppo a primo membro e una di meno a secondo membro. Io infatti mi trovo così: impongo che - in ogni punto - la risultante radiale eguagli la forza centripeta.
$T-mgcostheta = mv^2/l$ (*)
Dall'equazione sulla conservazione dell'energia, ricavo che $v^2=v_0^2-2gl(1-costheta)$
Sostituendo questo valore in (*) ho $T=mgcostheta+m/l[v_0^2-2gl(1-costheta)]$
$T=mgcostheta+mv_0^2/2-2mg(1-costheta)$
$T=-2mg+3mgcostheta+mv_0^2/l=mg(3costheta-2)+mv_0^2/l$
che è un po' diversa da
Comunque adesso ho $T(theta)=mg(3costheta-2)+mv_0^2/l$.
Da qui in poi hai perfettamente ragione, ho sbagliato a scrivere sopra: il coseno è massimo per $theta=0=> T = mg + mv_0^2/l$ e minimo per $theta=pi=>-5mg+mv_0^2/l$.
La versione giusta è quindi che la tensione nel punto più basso eguaglia quella nel punto più alto più sei volte il peso del corpo.
Siamo d'accordo?
Grazie mille per la pazienza.
Però non mi trovo, perdonami.
"Faussone":
Credo tu stia facendo un po' di confusione....
La tensione è massima nel punto più basso non nel punto più alto.
Supponiamo di conoscere la velocità della massa nel punto più basso e che sia pari a $v_0$.
Allora la velocità in funzione dell'angolo $theta$ rispetto alla verticale è data da questa relazione:
$m v^2/2+mgL(1- cos(theta))= mv_0^2/2$
che trovi facilmente applicando la conservazione dell'energia,
Ok, fin qui nessun problema, sono d'accordissimo.
mentre per la tensione in funzione di $v$ vale:
$T-mgLcos(theta)=mv^2/2$
che si ottiene considerando che l'accelerazione centripeta è fornita dalla risultante della tensione e della componente del peso.
Qua secondo me c'è qualcosa che non va. Dimensionalmente non mi tornano i tuoi conti: $T$ è una tensione ($N$), $mgL$ è un'energia (J)!
Forse ti è scappata una $l$ di troppo a primo membro e una di meno a secondo membro. Io infatti mi trovo così: impongo che - in ogni punto - la risultante radiale eguagli la forza centripeta.
$T-mgcostheta = mv^2/l$ (*)
Dall'equazione sulla conservazione dell'energia, ricavo che $v^2=v_0^2-2gl(1-costheta)$
Sostituendo questo valore in (*) ho $T=mgcostheta+m/l[v_0^2-2gl(1-costheta)]$
$T=mgcostheta+mv_0^2/2-2mg(1-costheta)$
$T=-2mg+3mgcostheta+mv_0^2/l=mg(3costheta-2)+mv_0^2/l$
che è un po' diversa da
Da cui la tensione vale:
$T=mgLcos(theta)+mv_o^2/2-mgL(1-cos(theta))$
Comunque adesso ho $T(theta)=mg(3costheta-2)+mv_0^2/l$.
Da qui in poi hai perfettamente ragione, ho sbagliato a scrivere sopra: il coseno è massimo per $theta=0=> T = mg + mv_0^2/l$ e minimo per $theta=pi=>-5mg+mv_0^2/l$.
La versione giusta è quindi che la tensione nel punto più basso eguaglia quella nel punto più alto più sei volte il peso del corpo.
Siamo d'accordo?
Grazie mille per la pazienza.
"Paolo90":
Grazie che continui a rispondermi.
Però non mi trovo, perdonami.
[...]
Be' sì quando ho scritto l'equazione della tensione, dovevo avere il cervello in stand-by....
In realtà era per vedere se hai capito
"Paolo90":
Buondì,
ancora una volta avrei bisogno di una mano con questo problema. Vi scrivo il testo, poi vi espongo i miei pensieri.
Problema. Un proiettile di massa m e velocità $v$ attraversa un blocco di massa $M$ e ne emerge con velocità $v/2$. La massa $M$ è appesa a un estremo di un filo inestensibile di lunghezza $l$ (n.b: il sistema è un pendolo). Si chiede il minimo valore di $v$ affinchè il pendolo possa compiere un giro completo. [/list:u:1zq3eztz]
Soluzione. $v_min = 2sqrt(5gl)M/m$
................omissis....per brevità................................................
P.S. Aggiungo che ho fatto qualche considerazione di tipo energetico, ma non mi hanno portato lontano... cercavo un modo intelligente di esprimere $v$ in funzione di $theta$, dove $theta$ è l'angolo che il filo forma con la verticale... ma naturalmente ho fatto un buco nell'acqua.
Ciao.
Mi sbaglierò probabilmente ma a mio parere, ricordando un esercizio ananlogo di fisica generale i, è più semplice risolvere il problema eguagliando l'energia cinetica rotazionale della Massa dopo l'urto con l'energia potenziale nel punto di altezza massima ( 2l) raggiungibile ovvero:
$ 1/2 I\omega^2 + Mg2l= 0$
dove $\omega^2=1/l^2 m^2/M^2 v_i ^2/4$
$I= Ml^2$
sostituendo e semplificando si ricava $v_i^2= 16 M^2/m^2 gl$ da cui $v_i= 4 M/m sqrt (gl) $
La tensione non è una forza dissipativa e pertanto non entra nel calcolo. Così mi pare corretto andrò a verificare comunque sul mio testo di fisica generale usato a suo tempo.
Ciao.
"goblinblue":
[quote="Paolo90"]Buondì,
ancora una volta avrei bisogno di una mano con questo problema. Vi scrivo il testo, poi vi espongo i miei pensieri.
Problema. Un proiettile di massa m e velocità $v$ attraversa un blocco di massa $M$ e ne emerge con velocità $v/2$. La massa $M$ è appesa a un estremo di un filo inestensibile di lunghezza $l$ (n.b: il sistema è un pendolo). Si chiede il minimo valore di $v$ affinchè il pendolo possa compiere un giro completo. [/list:u:18kv9m46]
Soluzione. $v_min = 2sqrt(5gl)M/m$
................omissis....per brevità................................................
P.S. Aggiungo che ho fatto qualche considerazione di tipo energetico, ma non mi hanno portato lontano... cercavo un modo intelligente di esprimere $v$ in funzione di $theta$, dove $theta$ è l'angolo che il filo forma con la verticale... ma naturalmente ho fatto un buco nell'acqua.
Ciao.
Mi sbaglierò probabilmente ma a mio parere, ricordando un esercizio ananlogo di fisica generale i, è più semplice risolvere il problema eguagliando l'energia cinetica rotazionale della Massa dopo l'urto con l'energia potenziale nel punto di altezza massima ( 2l) raggiungibile ovvero:
$ 1/2 I\omega^2 + Mg2l= 0$
dove $\omega^2=1/l^2 m^2/M^2 v_i ^2/4$
$I= Ml^2$
sostituendo e semplificando si ricava $v_i^2= 16 M^2/m^2 gl$ da cui $v_i= 4 M/m sqrt (gl) $
La tensione non è una forza dissipativa e pertanto non entra nel calcolo. Così mi pare corretto andrò a verificare comunque sul mio testo di fisica generale usato a suo tempo.
Ciao.[/quote]
Sbagliato. Se fai così la massa non farebbe il giro della morte perché la corda si affloscierebbe arrivando la massa in cima a velocità nulla.
"Faussone":
Be' sì quando ho scritto l'equazione della tensione, dovevo avere il cervello in stand-by....
In realtà era per vedere se hai capito
Ah, ok.
Grazie mille ancora.
"Faussone":[/quote][/quote]
[quote="goblinblue"][quote="Paolo90"]Buondì,
....omissis.........
Sbagliato. Se fai così la massa non farebbe il giro della morte perché la corda si affloscierebbe arrivando la massa in cima a velocità nulla.
Hai ragione; dal punto energetico debbo necessariamente considerare che la velocità tangenziale della massa sia diversa da zero e sufficiente a mantenere la tensione del filo inestensibile e quindi debbo sommare all'energia potenziale l'energia cinetica della massa M
intanto ricavo la velocità tangenziale dall'accelerazione centripeta tramite la disuguaglianza $ alpha=v_t^2/l >= g $ da cui $ v_t^2>=gl$ minima accelerazione necessaria a mantenere la tensione del filo;
poi aggiungo l'energia cinetica minima in alto data da $K=1/2 Mv_t^2$ e in questa sostituisco $ v_t^2>=gl$
Quindi dal punto di vista energetico l'energia cinetica iniziale minima deve essere
$ 1/2 I\omega^2 = Mg2l+1/2 Mgl= 5/2 Mgl $
come prima sostituisco anche
$\omega^2=1/l^2 m^2/M^2 v_i ^2/4$
$I= Ml^2$
e finalmente si ricava $v_i^2= 20 M^2/m^2 gl$ da cui $v_i= 2 M/m sqrt (5gl) $
Questo dal punto di vista energetico.
Grazie a Faussone per l'osservazione.
Ciao
questo problema sul web l'ho visto affrontato così.il risultato è lo stesso ma non utilizza il momento di inerzia.Solo che per quanto semplice non capisco come ha utilizzato la conservazione della quantità di moto.
$ mv=Mv(a)+mv/2 $
$ mv=Mv(a)+mv/2 $
tutto chiaro. condizione iniziale e condizione finale nella conservazione della quantità di moto.
Ma nel caso del pendolo balistico? se il proiettile si ancorasse nel blocchetto (urto anelastico) come andrebbe esaminato?
Ma nel caso del pendolo balistico? se il proiettile si ancorasse nel blocchetto (urto anelastico) come andrebbe esaminato?
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