Proiettile lanciato nello spazio
Ciao! Non so bene come comportarmi con questo problema.
Un proiettile viene sparato verticalmente dalla superficie della Terra con velocità iniziale v0. Determinare il valore minimo per il quale il proiettile può sfuggire all'attrazione terrestre. Nel caso in cui proiettile parta con tale velocità minima, determinare il tempo necessario perché raggiunga una distanza dal centro della Terra pari al doppio del raggio terrestre.
Il valore minimo per sfuggire all'attrazione terrestre è la velocità di fuga e su questo punto non ho particolari dubbi. Per la seconda parte del problema, invece, non so bene che fare perchè ho provato ad utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato e mi sono resa conto che ovviamente non sono la strada giusta perchè l'accelerazione gravitazionale è costante solo fino a dove il proiettile è soggetto all'attrazione gravitazionale, mentre dopo l'accelerazione varia in base alla distanza dalla terra. Ho provato a pensare anche a un approccio legato all'energia ma non so come inserire il tempo in questo ragionamento.
Potete aiutarmi? Grazie
Un proiettile viene sparato verticalmente dalla superficie della Terra con velocità iniziale v0. Determinare il valore minimo per il quale il proiettile può sfuggire all'attrazione terrestre. Nel caso in cui proiettile parta con tale velocità minima, determinare il tempo necessario perché raggiunga una distanza dal centro della Terra pari al doppio del raggio terrestre.
Il valore minimo per sfuggire all'attrazione terrestre è la velocità di fuga e su questo punto non ho particolari dubbi. Per la seconda parte del problema, invece, non so bene che fare perchè ho provato ad utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato e mi sono resa conto che ovviamente non sono la strada giusta perchè l'accelerazione gravitazionale è costante solo fino a dove il proiettile è soggetto all'attrazione gravitazionale, mentre dopo l'accelerazione varia in base alla distanza dalla terra. Ho provato a pensare anche a un approccio legato all'energia ma non so come inserire il tempo in questo ragionamento.
Potete aiutarmi? Grazie
Risposte
Conviene partire dalla conservazione dell'energia meccanica:
$1/2mdotr^2-G(Mm)/r=E$
esplicitare la velocità prendendo la determinazione positiva della radice:
$dotr=sqrt(2/m(E+G(Mm)/r))$
e separare le variabili:
$(dr)/sqrt(2/m(E+G(Mm)/r))=dt$
Imponendo le dovute condizioni si può concludere. Ovviamente è necessario svolgere l'integrale di quella funzione irrazionale. Tra l'altro, essendo nel tuo caso $E=0$, il procedimento è molto più semplice.
P.S.
Se non hai mai affrontato le equazioni differenziali a variabili separabili, ti consiglio di dargli un'occhiata.
$1/2mdotr^2-G(Mm)/r=E$
esplicitare la velocità prendendo la determinazione positiva della radice:
$dotr=sqrt(2/m(E+G(Mm)/r))$
e separare le variabili:
$(dr)/sqrt(2/m(E+G(Mm)/r))=dt$
Imponendo le dovute condizioni si può concludere. Ovviamente è necessario svolgere l'integrale di quella funzione irrazionale. Tra l'altro, essendo nel tuo caso $E=0$, il procedimento è molto più semplice.
P.S.
Se non hai mai affrontato le equazioni differenziali a variabili separabili, ti consiglio di dargli un'occhiata.
Ok ora provo a rifare il problema, però ci sono ancora un paio di cose che non mi sono chiare..
Perchè nel mio caso E=0?
r sarebbe la distanza di arrivo del proiettile, cioè 2 volte il raggio terrestre?
e ultima cosa quando dici di svolgere l'integrale della funzione irrazionale intendi che nella formula per trovare dt devo porre l'integrale del primo membro uguale all'integrale del secondo membro?
Perchè nel mio caso E=0?
r sarebbe la distanza di arrivo del proiettile, cioè 2 volte il raggio terrestre?
e ultima cosa quando dici di svolgere l'integrale della funzione irrazionale intendi che nella formula per trovare dt devo porre l'integrale del primo membro uguale all'integrale del secondo membro?
"pasina":
Nel caso in cui proiettile parta con tale velocità minima, determinare il tempo necessario perché raggiunga una distanza dal centro della Terra pari al doppio del raggio terrestre.
Il proiettile parte con la velocità di fuga. Non so come hai risolto il primo punto, tipicamente si impone che l'energia meccanica iniziale, per motivi che dovresti conoscere, sia uguale a zero.
"gordnbrn":
$(dr)/sqrt(2/m(E+G(Mm)/r))=dt$
$r$ è la distanza dipendente dal tempo del proiettile dal centro della terra. All'inizio vale $R_T$, alla fine $2R_T$. Essendo $E=0$:
$(dr)/sqrt((2GM)/r)=dt$
$\int_{R_T}^{2R_T}(dr)/sqrt((2GM)/r)=\int_{0}^{t}dt$
Svolgendo i due integrali definiti ottieni un'equazione nell'incognita $t$.
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